古希臘哲學家柏拉圖曾言："倘若你曾在生者當中像晨星那樣耀輝，那麼在死者群像裡會似晚星閃爍。"華羅庚說過："數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。"
數形結合的歷史源遠流長，我國古代數學中，處處可以尋覓到它的印跡。早期作為歷史最長計數工具的算籌和算盤，便可以看作是"數形結合"的雛形。我國流傳至今的一部最早的數學著作《周髀算經》中就已記載："數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。"在《九章算術》"商功"章節中所敘述的體積之術文，其實就已經孕育著幾何代數化方法。
數學是研究數量關係及圖形結構的一門學科。在西方，古希臘的畢達哥拉斯學派也曾將"數"與"形"結合起來研究。他們在研究"數"時，就常常把"數"同畫在平面上的"點"聯繫起來，按照"點"的形狀將數進行分類，進而結合圖形性質推導出數的性質。
1+3+5+…+（2n-1）=？如圖，畢達哥拉斯早已利用圖形給出了幾何解釋。
如圖2所示，由謝爾賓斯基三角形可以得出：
數與形有著密切的聯繫，我們常用代數的方式研究圖形問題；另一方面，也運用圖形來處理代數問題，這種數與形相互作用，是一種重要的數學思想——數形結合思想。
例１．如圖，四個有理數在數軸上的對應點分別為M，P，N，Ｑ,若點M，N表示的有理數互為相反數，則圖中表示絕對值最小的數的點是（）
A.點M B.點N C.點P D.點Ｑ
解析：圖中表示絕對值最小的數的點，應是到原點的距離最小的點 。∵點M，N表示的有理數互為相反數，∴原點的位置大約在圖中O點處。.表示絕對值最小的數的點是點P.故選C.
數軸是聯繫數與形的工具之一。運用數軸解題的優點主要體現在：運用數軸可直觀地表示有理數，形象地解釋相反數，準確地比較有理數的大小，恰當地解決與絕對值相關聯的問題．
例2．如圖，數軸上，點A表示的數為1，現點A做如下移動：第1次點A向左移動3個單位長度至點A₁，第2次從點A₁向右移動6個單位長度至點A₂，第3次從點A₂向左移動9個單位長度至點A₃，…，按照這種移動方式進行下去，點A2019表示的數是______．
【解析】奇數次移動是左移，偶數次移動是右移，第n次移動3n個單位．每左移右移各一次後，點A右移3個單位，故第2018次右移後，點A向右移動3×（2018÷2）個單位，第2019次左移2019×3個單位，故點A2019表示的數是3×（2018÷2）﹣2019×3+1．
第n次移動3n個單位，第2019次左移2019×3個單位，每左移右移各一次後，點A右移3個單位，所以A2019表示的數是3×（2018÷2）﹣2019×3+1＝﹣3029．故答案為：﹣3029．
變式. 如圖，在數軸上，點A表示數1，現將點A沿數軸作如下移動：第1次點A向左移動3個單位長度到達點A₁，第2次從點A向右移動6個單位長度到達點A₂，第3次從點A向左移動9個單位長度到達點A₃…，按照這種移動規律進行下去，第n次移動到達點A.如果點An,與原點的距離為20，那麼n的最小值為_________
解析：有理數都可以用數軸上的點表示，探尋點對應數的變化規律是解題的關鍵.
序號為奇數的點在點A的左邊，A₁，Ａ₃，A５，…，Ａｎ。對應的數分別為一2，-5，-8，….－（3n+1）／２：序號為偶數的點在點A的右邊，A２，A４，A６.，Ａｎ。對應的數分別為4，7，10，…，（3n+2）／２；當-（3n+1）／２=20時，得n=３８/３；當（3n+2）／２=20時，n=３8/３（捨去）。故n的最小值為13.
例3．王老師從拉麵的製作受到啟發，設計了一個數學問題：
如圖，在數軸上截取從原點到1的對應點的線段AB，對摺後（點A與B重合）再均勻地拉成1個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（如在第一次操作後，原線AB上的1/4，3/4均變成1/2，1/2變成1等），那麼在線段AB上（除A、B）的點中，在第2次操作後，恰好被拉到與1重合的點所對應的數之和是_____，在第10次操作後，恰好被拉到與1重合的點所對應的數之和是______．
變式.題目已知與例2相同，確定在第n次操作後，恰好被拉到與1重合的點所對應的數為______．
捕捉問題所蘊含的信息，理解"一次操作"的意義：將線段沿中點翻折，中點左側的點不動，中點右側的點翻折到左側的對應位置上，由原來的一個等分點變為兩個等分點。以油條製作過程為背景，將線段的"等分點、對稱、平移"等知識融入其中，有效考查了閱讀理解、分析轉化、數形結合等思想方法。
例4.某省遭受雪災，在一段筆直的高速公路上依次停著100輛受阻的汽車，救援部隊要設置一個臨時食品供應站P，使這100輛汽車到供應站P的距離總和最小，供應站P應設在何處？（寫出解答過程）
（2）利用上述問題的解題規律求：|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|+|x-20|的最小值。（寫出解答過程）
解析：從數軸上看|a一b|的意義是表示數a，b對應的兩點間的距離。
對於（2），即在數軸上求出表示x的點.使它到表示數1，2，3…，20對應的點的距離最小.
（1）通過對2輛車、3輛車、4輛車試驗可以發現：
當車輛數n為偶數時，P應設在第n/2號輛與號n/2 +1輛之間的任何地方，此時，這n輛車到供應站P的距離總和最小；當車輛數n為奇數時，P應設在正中間的第(n+1)/2號輛車處，此時，這n輛車到供應站P的距離總和最小.故當車輛數為100時，P應設在50至51之間的任何地方，
（2）|x-1|+x-2|+|x-3]+…+|x-19|+|x-20|可以看成x所對應的點到1至20這20個點的距離之和，所以當10
9.5+8.5+7.5+…+0.5+0.5+1.5+…+7.5+8.5+9.5=100.
許多代數結構都有著對應的幾何意義，據此，可以將數與形進行巧妙地轉化。
（1）將a>0與距離互化；
（2）將a²與面積互化；
（3）將a²+b²+ab=a²+b²-2lallblcose（e=60°或=120°）與餘弦定理溝通；
（4）將a²b²c>0且b+c>a中的a、b、c與三角形的三邊溝通；
（5）將有序實數對（或複數）和點溝通；
（6）將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應的圓錐曲線對應；
（7）遇分式聯想斜率、點到直線距離公式、導數定義；
（8）遇根式聯想兩點間距離公式。
古語云：泰山不讓土壤，故能成其大；河海不擇細流，故能就其深。教師要學會把教學內容中"隱性"的數形結合思想方法"顯性"地傳遞給學生，使學生在潛移默化中日積月累，達到提升高階思維能力的目的。
數形相依，發展學生的發散思維。在解決問題時，我們可以先從數的方面去分析，進行抽象思維，又從形的方面去研究，進行形象思維，發揮兩種思維的優勢，從一個目標出發，沿著不同的途徑去思考，探求多種答案。數形結合，便於揭示數學問題的數量關係，從而展開發散思維，激發學習興趣。
數形相構，發展學生的創造思維。創造思維是思維的最高境界。《數學課程標準》的基本理念中明確指出：數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維。
數和形是我們認識事物的兩個方面，而數學是研究數量關係和空間形式的科學，因此，從數和形的角度認識事物，就是從數學的角度認識事物。"形"構成數學的直觀化圖形語言，"數"構成數學的抽象化符號語言，各有優勢。數學上常常利用兩者的優勢互補來解決問題，這就是我們熟知的數形結合思想方法。數形結合的實質就是透過數量關係去發現其幾何背景，使代數問題幾何化，使數量關係變成圖形關係；或者根據幾何圖形特徵，通過合適的手段使幾何問題代數化，使問題解決算法化。
日本數學家米山國藏說過："作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發生作用，使人終身受益。"可見，數學的精髓不在於知識本身，而在於數學知識中所蘊含的數學思想方法。
而數形結合的思想就是數學思想方法中重要一類，它通過數與形之間的對應與轉化來解決數學問題，利用它可使複雜問題簡單化、具體化、形象化，它兼有數的嚴謹，並有圖的直觀化，是優化解題過程的重要途徑之一，有助於把握數學問題的本質，"數"與"形"是密切聯繫的。我們在研究"數"的時候，往往要藉助於"形"，在探討"形"的性質時，又往往離不開"數"。由於使用了數形結合的方法，很多問題會迎刃而解。
