先講一個笑話：
村口王師傅：“我只給那些自己不刮鬍子的人刮鬍子。”有一天，王師傅站在鏡子前手拿刮鬍刀，看著自己日漸蔥鬱的鬍渣子，猶豫了，刮還是不刮？
其實這是著名數學家和哲學家羅素提出的一個悖論：理髮師悖論。這個悖論引發了第三次數學危機！
一、前兩次危機回顧
第一次數學危機顛覆了畢達哥拉斯“萬物皆數”的哲學理念而發現無理數；第二次數學危機是萊布尼茨和牛頓的微積分工具所致。由於採用無窮小的分析手段，但微積分本身對無窮小量的理解和運用卻是一團糟，從問世一開始就遭到各方反對。典型的反對者就是主教貝克萊，最後由柯西等數學家建立起了微積分理論的基礎：上層基礎是極限理論，中層是實數理論，而下層則是集合論，至此第二次危機才得以消除。
集合論指出，任何確定的對象組成一個集合，每一個對象稱為集合的元素。集合可以劃分為兩類，一是本身不是本身的元素，如自然數集；另一類是本身也是本身的元素，比如一切建築群組成的集合。
二、羅素悖論及第三次數學危機
數學家羅素
數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“……藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”
羅素指出集合論是有漏洞的，消息一出震驚數學界！
他提出了一個關於合集的悖論：設集合S是由一切不屬於自身的集合所組成，即“S={x|x∉x}”。那麼問題是：S屬於S是否成立？首先，若S屬於S，則不符合x∉x，則S不屬於S；其次，若S不屬於S，則符合x∉x，S屬於S。
在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”
相信你們都不想看這麼晦澀的表達，不過沒關係，這裡有很多通俗化的表達，最常見的就是文章開頭提到的理髮師悖論。
羅素悖論被提出後，人們才發現，我們最基礎的科學基石是不穩固的，在我們兢兢業業地鋪磚添瓦的時候往往會忽視了最根本的東西，這也引發了所謂的“第三次數學危機”。
在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”
來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？
如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
羅素指出的是合集論中最為基礎的問題，非常的淺顯易懂，但是卻引發了數學界的深思。
關於這一悖論提出還有這麼一個小插曲：
德國的著名邏輯學家弗雷格在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒黴的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所幹的工作的基礎崩潰了。”
三、第三次數學危機的影響
其重大影響是使科學家們開始考慮數學命題在什麼情況下具有真理性，什麼情況下失靈，於是產生了一門新的數學分支―――數學基礎論。
危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統 。
在策梅洛（Zermelo）和弗倫克爾（Fraenkel）等提出的ZF公理系統（也稱ZFC公理系統）中，嚴格規定了一個集合存在的條件（簡單地說，存在一個空集【空集公理】；每個集合存在冪集【冪集公理】；每個集合裡所有的集合取並也形成集合【並集公理】；每個集合的滿足某條件的元素構成子集【子集公理】；一個”定義域“為A的”函數“存在“值域”【替換公理】等），這樣無法定義出悖論中的集合。
第三次數學危機就此完美解決。
四、三次數學危機的意義
歷史上的三次數學危機,給人們帶來了極大的麻煩,危機的產生使人們認識到了現有理論的缺陷,科學中悖論的產生常常預示著人類的認識將進入一個新階段,所以悖論是科學發展的產物,又是科學發展源泉之一.第一次數學危機使人們發現無理數,建立了完整的實數理論,歐氏幾何也應運而生並建立了幾何公理體系；第二次數學危機的出現,直接導致了極限理論、實數理論和集合論三大理論的產生和完善,使微積分建立在穩固且完美的基礎之上；第三次數學危機,使集合論成為一個完整的集合論公理體系（ZFC系統）,促進了數學基礎研究及數理邏輯的現代性。
數學發展的歷史表明對數學基礎的深入研究、悖論的出現和危機的相對解決有著十分密切的關係,每一次危機的消除都會給數學帶來許多新內容、新認識,甚至是革命性的變化,使數學體系達到新的和諧,數學理論得到進一步深化和發展.悖論的存在反映了數學概念、原理在一定歷史階段會存在很多矛盾,導致人們的懷疑,產生危機感,然而事物就是在不斷產生矛盾和解決矛盾中逐漸發展完善起來的,舊的矛盾解決了,新的矛盾還會產生,而就是在其過程中,人們便不斷積累了新的認識、新的知識,發展了新的理論.數學家對悖論的研究和解決促進了數學的繁榮和發展,數學中悖論的產生和危機的出現,不單是給數學帶來麻煩和失望,更重要的是給數學的發展帶來新的生機和希望。
數學中悖論和危機的歷史也說明了這一點：已有的悖論和危機消除了,又產生新的悖論和危機.但是人的認識是發展的,悖論或危機遲早都能獲得解決.“產生悖論和危機,然後努力解決它們,而後又產生新的悖論和危機.”這是一個無窮反覆的過程,也就不斷推動著數學的發展,這個過程也是數學思想獲得重要發展的過程。
