等积变形之共边定理

三角形的一个顶点在平行线上的运动不改变图形的面积。这是前面我们讲过的

换一个角度来思考，如下图所示，让三角形的顶点A与B固定，而顶点C在边BC所处的直线上运动到D点，假设此时BD的长度是CB长度的x倍，这样新产生的△DCA与△ABC的面积有什么关系呢？

△ABC的面积=BC×h×1/2

△ADC的面积=CD×h×1/2

由于△ACD与△ABC的高相同，而CD是BC的（x-1）倍。因此可以得：S△ADC:S△ABC=CD:BC

即：过三角形一个顶点，引直线分三角形为两个小三角形，这两个小三角形的面积的倍数关系等于该直线分对边所得的两条线段的倍数关系。这就是共边定理（1）

共边定理所反映的图形结构是一种基本的图形结构。

有了共边定理所揭示的规律，就可以把三角形的面积关系，转换成对应线段的长度关系进行分析。换一个角度讲，从长度上面反映的信息可以折射出相关三角形面积之间的数量关系。

例如，“用不同的方法把一个已知三角形的面积，分成面积相等的4个小三角形”这个与问题运用共边定理就可以得出下面各种不同的分割方法：

由上面的共边定理很容易推导得出：两个三角形的高相等，则它们的面积之比等于底边之比。这个结论很重要，它把面积与长度两个数量进行了转化，在解决面积比的有关问题时，可转而去考虑相应的长度比。

例1:在四边形ABC D中，E、F分别是AD、BC的三个等分点，设四边形ABCD的面积为1，求四边形AECF的面积。

思路分析

我们可以通过添加辅助线的方式对问题进行分析。

连接AC，那么在△ABC与△ACD中就分别出现了两个结构。

根据分析可得S△AFC=2/3×S△ABC，S△AEC=2/3×S△ACD，所以:S四边形AECF=S△AFC+S△AEC=2/3×(S△ABC+S△ACD)=2/3×S四边形ABCD=2/3×1=2/3。

你能举一反三解决下面的问题吗？

如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边BC、DA的三等分点，设四边行ABCD的面积为1，求四边形EFGH的面积。