本文作者 [遇見數學翻譯小組] 核心成員：王域丁
每年的 3 月 14 日是圓周率日。在這一天，很多全世界的數學愛好者都會烘烤各種口味的餡餅(pie)以此來慶祝數學中最具代表性的無理數：π。畢竟 3.14 日是一年之中紀念這個重要數學常數的最佳時刻。
圓周率(π 或 Pi)是一個圓的周長與直徑的比值。它作為無理數，它不能被表示為兩個整數的分數，而是一個無窮無盡、永不重複的數。
圓的周長略大於其直徑的三倍長。
但是這個無理數是如何被發現的？經過人們幾千年的研究，這個數字還有其他什麼秘密嗎？從這個數字的古老起源，到它未知的神秘性質，這下面就是關於圓周率 π 的 10 個令人驚異的事實。 [現存的 9 個最龐大的數字]（超鏈接）
記憶背誦 π 的數位
據吉尼斯世界紀錄記載，圓周率最多的記錄屬於印度韋洛爾的拉傑維爾·米納，他在 2015 年 3 月 21 日花費了 9 小時 27 分鐘內背誦了 7 萬個圓周率的小數位。而此前的記錄保持者，根據吉尼斯世界紀錄，中國趙璐曾在 2005 年背誦到第 67890 位。
據英國《衛報》報道，還有一位非官方記錄保持者，日本原口證（Akira Haraguchi），他在 2005 年錄製了自己背誦圓周率小數點後 10 萬位的視頻，最近更是突破了 11.7 萬位。
全球的數字愛好者們為了記住 π 的更多數位，會使用一些輔助記憶技巧手段，如被稱為“π 學”的記憶技巧來輔助記憶。
“ 山巔一寺一壺酒（3.14159），爾樂苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒殺爾（932），殺不死（384），樂爾樂（626）。”
而國外發燒友他們用 π 語寫的詩（每個單詞中的字母數對應一個 π 的數位），比如這段 π 文詩的節選：
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees, Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe. （詩譯：一堆量子力學講座後，我想喝點什麼，比如來點酒， 我跌倒在樹下，一個疲憊酒醉的鄉下人， 漂流在紅樹林旁，歐洲的暮色中。） （“How”單詞有三個字符，“I”有一個，“want”有四個，依此類推。）
圓周率文字學的誕生
文學愛好者們發明了一種“π 語”，叫做 Pilish，這種語言類似上面記憶數位的技巧，連續單詞中的字符個數與 π 數位一致。例如，邁克·基思（Mike Keith）的《Not A Wake》書中（2010 年，Vinculum Press 出版社）完全是用 π 語寫成的：
Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees, Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.
可以利用這種方式來背誦 π，當然記憶大巨長的 π 的數位值時顯然是缺乏效率。
人類認識 π 的程度呈指數增長
▲π的近似值記錄時間軸圖,注意垂直座標使用了對數座標。(圖自維基)
圓周率是一個無限不循環小數，根據定義，人類永遠也沒法確定圓周率的所有位數。但是自 π 使用以來，數學家計算出來的小數位數確呈指數增長。
公元前 2000 年，巴比倫人認為分數 31/8 已經足夠精細，而《舊約全書》作者似乎非常樂意使用整數 3 作為圓周率的近似值。公元 5 世紀時，南朝宋數學家祖沖之用幾何方法將圓周率計算到小數點後 7 位數字。後來到了 1665 年，艾薩克·牛頓已經將 π 計算到小數點後 16 位。根據 1719 年，法國數學家托馬斯·範泰德·拉尼計算出了 127 位小數，但遺憾是隻有 112 位是正確的。
而計算機的出現，更是飛速提升了人類對 π 精度的認知。當數學家發現新的算法、電腦變得普及時，π的已知小數位急劇增加(如上面圖形所示)。
根據《圓周率的歷史》，1949 年至 1967 年間，圓周率的已知小數位數從 2037 猛增至巴黎 ENIAC 型計算機 CDC6600 得出的 50 萬。而在 2019 年圓周率那天，谷歌工程師利用雲計算更是計算到小數點後 31.4 萬億位，刷新了新的世界記錄。
手算圓周率的方法
可以用最原始的方法計算圓周率，可以用一把尺子、一個圓罐和一根細繩、或者用一把圓規和一支鉛筆來完成這項任務。用罐頭法的缺點也很明顯，首先我們需要是一個完美的圓形，還有能否準確圍繞其周長繞一圈繩子也將直接影響其精確度。同樣，用圓規畫個圓，然後用尺子測量其直徑或半徑，也對準確和精度也需要較高挑戰。
而更精確的選擇是使用幾何方法，比如割圓術。把一個圓分成多個部分（就像八片或十片切開的披薩一樣）。然後，計算一條直線的長度，這條直線將把切片變成有兩邊相等的等腰三角形。加上所有的邊對 π 產生粗略的近似。當分割的片段越多，對 π 的逼近就越精確。
π 的發現
最早有記載的對圓周率估值在古埃及和巴比倫，在 4000 年前，古巴比倫人就知道了 π 的存在。科學家發現一塊公元前 1900 年到公元前 1680 年間的巴比倫泥板上顯示出圓周率為 ，而公元前 1650 年，埃及的著名數學文獻之一的萊因德數學紙草書上記錄其值為 。
在《聖經》中對於 的近似值也這樣描述過："他又鑄一個銅海，樣式是圓的，高五肘，徑十肘，圍三十肘。" 其中肘就是用來估計 π 值的一個古老的長度單位，一肘相當於從手肘到中指尖的長度（估計大約 46 釐米）。
希臘數學家阿基米德（公元前 28—212 年）用圓內接多邊形和相似圓外切多邊形，當邊數足夠大時，兩多邊形的周長便一個由上，一個由下的趨近於圓周長。他先用六邊形，以後逐次加倍邊數，到了九十六邊形，阿基米德計算出其面積，並且指出圓周率的值在 223/71
我國數學家祖沖之(公元 429~500)利用某種近似的方法計算出了 的近似值是 。直到16世紀，阿拉伯數學家阿爾·卡西才打破了這一紀錄。
π 符號的誕生
歐拉
在把符號 π 專指圓周率之前，數學家們不得不說一長串數值來代表它。據考古學家對古書的研究，在一本老書中發現了一個拉丁短語“quantitas in quam cum multiflicetur diameter, proveniet circumferencia”，意指“乘以直徑可以等於周長的定量”，也就是圓周率 π 了。
而 π 第一次被提到是在一個鮮為人知的數學家威廉·瓊斯（William Jones）的書中，他在 1706 年的《帕爾馬里奧·馬塞索斯概要》（Synopsis Palmariorum Matheseos）一書中使用了 希臘字母 π 代指圓周率。瓊斯選用了 π 的原因可能是因為它是希臘文中“周邊”一詞“περιφέρεια”的第一個字]。
巴塞爾問題是一個著名的數論問題，就是計算所有平方數的倒數和的準確值是什麼，這個問題難倒了之前的數學家。1735年，偉大的瑞士數學家歐拉解決了，找到它與 π 的關係。
在 1736 年，歐拉在他的新書《力學》裡用到的 π 這個符號，並且由於他頻繁會與歐洲各國數學家通信往來討論數學問題，其他數學家就紛紛接受這種用法，於是將 π 指代為圓周率傳播開來，推廣到整個世界。
π 是正規數嗎？
儘管數學家已經揭開了這個無理數的許多謎團，但仍然有一些問題還等著人們進一步探索。比如，無窮無盡的 π 如此神秘，它屬於正規數(Normal Number)嗎？
截止目前為止，數學家仍然不知道圓周率是否屬於所謂的正規數(即所有數字出現頻率相同的數)，或者說這個數字中的 0 到 9 出現的概率是不是平均為 10%，而兩位數值的任何組合(比如"36")也平均為 1% 的概率出現。在 arXiv 雜誌 2016 年 11 月 30 日出版的預印本上，作者Peter Trueb計算出，至少根據前 2.24 萬億的數字，數字 0 到 9 的頻率表明 π 是正規數。這樣基於實驗證據，數學家猜想它很可能是正規數。當然考慮到 π 有無窮多個數字，唯一能證明這一點的方法就是給出嚴格的數學證明。
數學家們還在為此而努力，希望找到這個最著名無理數 π，以及另外一些無理數 √2、e、ln{2} 的證明，儘管他們已經對其數字的性質和分佈取得了一些成果。
超越數
雖然科學家不知道圓周率是否正規數，但他們對圓周率的其他特性以已經有了更多瞭解。18世紀的數學家約翰·海因裡希·蘭伯特（JohannHeinrichLambert）利用
的無窮連分數表達式證明了π是超越數(Transcendentalnumber)。
後來，數學家證明 π 也是超越數的。在數學術語中，超越數意味著這個數不能是任何有理數係數多項式的根。換句話說沒有一個有限的、求根公式可以用有理數來計算出 π。
而超越數的證明，其實解決了幾千年來數學上關於尺規作圖三大難題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。
π 的危機
雖然許多數學愛好者對 π 很感興趣，但另一種意見正在滋長。有人認為 π 是一個派生出來的常量，而 τ（等於 2π）其實是一個更直觀好用的無理數。
圖自：taoday.com
《Tau 宣言》的作者邁克爾·哈特爾（Michael Hartl）認為用 τ 能將很多數學、物理上的公式簡化，使得變得更加優雅。比如，直接能將周長與半徑聯繫起來，而半徑在數學上是一個更重要的值。
當然，τ 在三角計算中也有簡化的效果，例如， 弧度對應於剛好掃過四分之一圓的角度。
在國際數學日慶祝 π 日！
1988 年，物理學家賴瑞·蕭在舊金山探險家科學博物館舉辦了首次圓周率派對，然後每年的這天，那裡的工作人員和遊客們都舉著 π 的某位數值在那裡舉行一次環形遊行，活動裡當然免不了還要品嚐下美味的餡餅。
▲ 賴瑞·蕭及 Pi Day 的環形遊行
在 2019 年聯合國教科文組織第四十屆大會上正式宣佈每年的 3 月 14 日是“國際數學日”，相信在這個特殊的日子裡開展紀念和慶祝活動會讓更多學子欣賞數學，瞭解它在我們日常生活中的美麗，作為理解世界的運作和探索未來不可或缺的重要工具，而計算更精確的 π 值的追求也永遠在路上。
閱讀更多 遇見數學 的文章
