极简微积分——莱布尼茨对曲线和微分的思考

现代微积分对导数的定义是：

(1)

但是极限理论是到了19世纪初建立起来的，那么莱布尼茨在没有极限理论的情况下是怎样定义导数的呢？（关于微分的定义可参见 ）

莱布尼茨的无穷小量

在莱布尼茨那个年代，关于微积分的伟大数学思想是建立在“无穷小”这个概念的基础上的。对于(1)式，莱布尼茨认为当Δx趋于0时，Δx和Δy都会变的“无穷小”,因此可以想象dy/dx作为两个无穷小的商的极限，也是一个商，它的分子分母分别被标识为dy和dx。莱布尼茨认为无穷小是一个很特殊的数字，它不是0，但它比所有正数都要小。

图1

图1是对莱布尼茨无穷小思想的几何版本解释。在无穷小的观点下，一条曲线被认为是有无穷多个长度无穷小的线段连接组成，这条曲线的一条切线就是包含曲线中一个无穷小线段的直线。为了找到曲线上一点P(x,y)的斜率，我们沿曲线移动一个无穷小的距离到达Q(x+dx,y+dy)，连接这两点的是一个长度为无穷小的线段，我们能够计算出这个小线段的斜率就是这两个无穷小增量的商——dy/dx。

莱布尼茨用dy和dx来记录因变量y和自变量x对应的无穷小增量，下面来看莱布尼茨怎样处理这样的函数：

（2）

如果我们让(2)式中的y和x分别有无穷小的增量dy和dx，那么上面的方程变为：

这时，莱布尼茨做了一次伟大的设想并实施如下：

(3)

他把dx的平方项给直接去掉了，并得出了(3)式，也就是我们熟悉的微分形式，莱布尼茨认为本身dx就是一个无穷小，那它的平方就是无穷小中的去穷小，可以忽略不计。由此他得出了导数dy/dx是分数，是两个无穷小的商，并且以无穷小思想为基础的微积分得到了广泛的应用。

现代极限理论的完善

用莱布尼茨的无穷小观点和现在极限理论作对比，将有助于我们对导数和微分进行更深刻的理解。我们用极限的方法同样去处理(2)式，我们让x有用一个非0的增量Δx，Δy是其因变量y的对应增量，同样我们能获得：

在这一步，我们没有像莱布尼茨那样直接把Δx的平方去掉，在现代理论方法下，我们在方程两边同时除以Δx(Δx不为0)，得到：

然后我们定义导数作为这个商在Δx趋于0时的极限：

（4）

(4)式把莱布尼茨的无穷小替换为了极限的计算。

事实上莱布尼茨的无穷小的设想是有缺陷的：我们能证明不存在比所有正数都小的正数。

莱布尼茨，欧拉，拉格朗日这样的伟大数学家，在没有精确数学理论支撑的时代，能够对所研究问题的合理性和正确性有敏锐的直觉，尽管从我们今天来看是有些许缺陷和不严谨的。虽然莱布尼茨的差异已经被现代的极限理论所完善和替代，但是莱布尼茨的伟大发现和敏锐的直觉，仍然让我们敬佩不已。