考點解析（後面附詳細答案）
1．有理數的乘法
（1）有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘．
（2）任何數同零相乘，都得 0．
（3）多個有理數相乘的法則：①幾個不等於 0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，
當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因
數為 0，積就為 0．
（4）方法指引：
①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．
②多個因數相乘，看 0因數和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單．
2．科學記數法—表示較大的數
（1）科學記數法：把一個大於 10的數記成 a×10n的形式，其中 a是整數數位只有一位的
數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中 1≤a＜10，
n為正整數．】
（2）規律方法總結：
①科學記數法中 a的要求和 10的指數 n的表示規律為關鍵，由於 10 的指數比原來的整數
位數少 1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出 10的指數 n．
②記數法要求是大於 10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大於 10的負數同樣可用
此法表示，只是前面多一個負號．
3．估算無理數的大小
估算無理數大小要用逼近法．
思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值．
4．同底數冪的乘法
（1）同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
am•an＝am+n（m，n是正整數）
（2）推廣：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數）
（3）概括整合：同底數冪的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵．在
運用時要抓住"同底數"這一關鍵點，同時注意，有的底數可能並不相同，這時可以適當變
形為同底數冪．
5．分式的加減法
（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．
（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，
經過通分，異分母分式的加減就轉化為同分母分式的加減．
說明：
①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是
多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．
②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為
較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分
式變成分母相同的較複雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的
分式來說的．
6．二次根式的混合運算
（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學習二次
根式的混合運算應注意以下幾點：
①與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最後加減，有括號的先算括號裡面
的．
②在運算中每個根式可以看做是一個"單項式"，多個不同類的二次根式的和可以看作"多
項式"．
（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．
（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當
的解題途徑，往往能事半功倍．
7．解二元一次方程組
（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個係數比較簡單的方程，
將這個方程組中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來．②將變形後的關係式
代入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求
出 x（或 y）的值．④將求得的未知數的值代入變形後的關係式中，求出另一個未知數的值．⑤
把求得的 x、y的值用"{"聯立起來，就是方程組的解．
（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數
的係數既不相等又不互為相反數，就用適當的數去乘方程的兩邊，使某一個未知數的係數相
等或互為相反數．②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元
一次方程．③解這個一元一次方程，求得未知數的值．④將求出的未知數的值代入原方程
組的任意一個方程中，求出另一個未知數的值．⑤把所求得的兩個未知數的值寫在一起，
就得到原方程組的解，用{x＝ax＝b的形式表示．
8．在數軸上表示不等式的解集
用數軸表示不等式的解集時，要注意"兩定"：
一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，
若邊界點含於解集為實心點，不含於解集即為空心點；
二是定方向，定方向的原則是："小於向左，大於向右"．
【規律方法】不等式解集的驗證方法
某不等式求得的解集為 x＞a，其驗證方法可以先將 a代入原不等式，則兩邊相等，其
次在 x＞a的範圍內取一個數代入原不等式，則原不等式成立．
9．解一元一次不等式組
（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組
成的不等式組的解集．
（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．
（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，
再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．
方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數軸求公共部分．
解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．
10．座標與圖形性質
1、點到座標軸的距離與這個點的座標是有區別的，表現在兩個方面：①到 x軸的距離與縱
座標有關，到 y軸的距離與橫座標有關；②距離都是非負數，而座標可以是負數，在由距
離求座標時，需要加上恰當的符號．
2、有圖形中一些點的座標求面積時，過已知點向座標軸作垂線，然後求出相關的線段長，
是解決這類問題的基本方法和規律．
3、若座標系內的四邊形是非規則四邊形，通常用平行於座標軸的輔助線用"割、補"法去
解決問題．
11．一次函數圖象上點的座標特徵
一次函數 y＝kx+b，（k≠0，且 k，b為常數）的圖象是一條直線．它與 x軸的交點座標是（﹣
，0）；與 y軸的交點座標是（0，b）．
直線上任意一點的座標都滿足函數關係式 y＝kx+b．
12．一次函數的應用
1、分段函數問題
分段函數是在不同區間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值範圍的劃分，既要科
學合理，又要符合實際．
2、函數的多變量問題
解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關係，選取其中一個變量作為自變量，然後根
據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數．
3、概括整合
（1）簡單的一次函數問題：①建立函數模型的方法；②分段函數思想的應用．
（2）理清題意是採用分段函數解決問題的關鍵．
13．反比例函數圖象上點的座標特徵
反比例函數 y＝k/x（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，
①圖象上的點（x，y）的橫縱座標的積是定值 k，即 xy＝k；
②雙曲線是關於原點對稱的，兩個分支上的點也是關於原點對稱；
③在 y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向 x軸和 y軸分別作垂線，與座標軸圍成的矩形
的面積是定值|k|．
14．二次函數圖象與係數的關係
二次函數 y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項係數 a決定拋物線的開口方向和大小．
當 a＞0 時，拋物線向上開口；當 a＜0 時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|
越大開口就越小．
②一次項係數 b和二次項係數 a共同決定對稱軸的位置．
當 a與 b同號時（即 ab＞0），對稱軸在 y軸左側； 當 a與 b異號時（即 ab＜0），對稱軸在
y軸右側．（簡稱：左同右異）
③．常數項 c決定拋物線與 y軸交點． 拋物線與 y軸交於（0，c）．
④拋物線與 x軸交點個數．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與 x軸有 2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與 x軸有 1個交
點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與 x軸沒有交點．
15．二次函數圖象上點的座標特徵
二次函數 y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點座標是（﹣ ， ）．
①拋物線是關於對稱軸 x＝﹣ 成軸對稱，所以拋物線上的點關於對稱軸對稱，且都滿足
函數函數關係式．頂點是拋物線的最高點或最低點．
②拋物線與 y軸交點的縱座標是函數解析中的 c值．
③拋物線與 x軸的兩個交點關於對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其
對稱軸為 x＝ ．
16．拋物線與 x軸的交點
求二次函數 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與 x軸的交點座標，令 y＝0，即 ax2+bx+c
＝0，解關於 x的一元二次方程即可求得交點橫座標．
（1）二次函數 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程 ax2+bx+c＝0
根之間的關係．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與 x軸的交點個數．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與 x軸有 2個交點；
△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與 x軸有 1個交點；
△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與 x軸沒有交點．
（2）二次函數的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋
物線與 x軸的交點座標（x1，0），（x2，0）．
17．二次函數綜合題
（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題
解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出係數的符號，然後判斷新的函數關係
式中係數的符號，再根據係數與圖象的位置關係判斷出圖象特徵，則符合所有特徵的圖象即
為正確選項．
（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用
將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵
是善於將函數問題轉化為方程問題，善於利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，
並注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數在實際生活中的應用題
從實際問題中分析變量之間的關係，建立二次函數模型．關鍵在於觀察、分析、創建，建立
直角座標系下的二次函數圖象，然後數形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數的
取值範圍要使實際問題有意義．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等於斜邊長的平
方．
如果直角三角形的兩條直角邊長分別是 a，b，斜邊長為 c，那麼 a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式 a2+b2＝c2 的變形有：a＝ ，b＝ 及 c＝ ．
（4）由於 a2+b2＝c2＞a2，所以 c＞a，同理 c＞b，即直角三角形的斜邊大於該直角三角形
中的每一條直角邊．
19．菱形的性質
（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
（2）菱形的性質
①菱形具有平行四邊形的一切性質；
②菱形的四條邊都相等；
③菱形的兩條對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角；
④菱形是軸對稱圖形，它有 2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．
（3）菱形的面積計算
①利用平行四邊形的面積公式．
②菱形面積＝ ab．（a、b是兩條對角線的長度）
20．正方形的性質
（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
（2）正方形的性質
①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；
②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，並且每條對角線平分一組對角；
③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．
④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，
有四條對稱軸．
21．四邊形綜合題
四邊形綜合題．
22．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點在圓上，並且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不
可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的
圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能
技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形
的頂點和底角的關係進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其"橋樑"﹣﹣﹣圓心角
轉化．③定理成立的條件是"同一條弧所對的"兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條
件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．
23．切線的性質
（1）切線的性質
①圓的切線垂直於經過切點的半徑．
②經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點．
③經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．
（2）切線的性質可總結如下：
如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那麼它一定滿足第三個條件，這三個條件是：
①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質的運用
由定理可知，若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關係．簡記作：
見切點，連半徑，見垂直．
24．作圖—複雜作圖
複雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方
法．
解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把複雜作圖拆解
成基本作圖，逐步操作．
25．軸對稱圖形
（1）軸對稱圖形的概念：
如果一個圖形沿一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，
這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關於這條直線（成軸）對稱．
（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質圖形，被一條直線分割成的
兩部分沿著對稱軸摺疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至
無數條．
（3）常見的軸對稱圖形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．
26．翻折變換（摺疊問題）
1、翻折變換（摺疊問題）實質上就是軸對稱變換．
2、摺疊的性質：摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，
位置變化，對應邊和對應角相等．
3、在解決實際問題時，對於摺疊較為複雜的問題可以實際操作圖形的摺疊，這樣便於找到
圖形間的關係．
首先清楚摺疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的並且可利用的條件．解題時，我們常常設要求
的線段長為 x，然後根據摺疊和軸對稱的性質用含 x的代數式表示其他線段的長度，選擇適
當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．我們運用方程解決時，應認真審題，設
出正確的未知數．
27．旋轉的性質
（1）旋轉的性質：
①對應點到旋轉中心的距離相等． ②對應點與旋轉中心所連線段的夾角
等於旋轉角． ③旋轉前、後的圖形全等． （2）旋轉三要素：①旋轉中心； ②
旋轉方向； ③旋轉角度． 注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣．
28．特殊角的三角函數值
（1）特指 30°、45°、60°角的各種三角函數值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）應用中要熟記特殊角的三角函數值，一是按值的變化規律去記，正弦逐漸增大，餘弦
逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規律去記．
（3）特殊角的三角函數值應用廣泛，一是它可以當作數進行運算，二是具有三角函數的特
點，在解直角三角形中應用較多．
29．解直角三角形的應用-仰角俯角問題
（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．
（2）解決此類問題要了解角之間的關係，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形
中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式
給出時，要善於讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關係問題加以解決．
30．簡單組合體的三視圖
（1）畫簡單組合體的三視圖要循序漸進，通過仔細觀察和想象，再畫它的三視圖．
（2）視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一
個平面上．
（3）畫物體的三視圖的口訣為：
主、俯：長對正；
主、左：高平齊；
俯、左：寬相等．
31．用樣本估計總體
用樣本估計總體是統計的基本思想．
1、用樣本的頻率分佈估計總體分佈：
從一個總體得到一個包含大量數據的樣本，我們很難從一個個數字中直接看出樣本所包含的
信息．這時，我們用頻率分佈直方圖來表示相應樣本的頻率分佈，從而去估計總體的分佈情
況．
2、用樣本的數字特徵估計總體的數字特徵（主要數據有眾數、中位數、平均數、標準差與
方差 ）．
一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越
精確．
32．扇形統計圖
（1）扇形統計圖是用整個圓表示總數用圓內各個扇形的大小表示各部分數量佔總數的百分
數．通過扇形統計圖可以很清楚地表示出各部分數量同總數之間的關係．用整個圓的面積表
示總數（單位 1），用圓的扇形面積表示各部分佔總數的百分數．
（2）扇形圖的特點：從扇形圖上可以清楚地看出各部分數量和總數量之間的關係．
（3）製作扇形圖的步驟
①根據有關數據先算出各部分在總體中所佔的百分數，再算出各部分圓心角的度數，公式
是各部分扇形圓心角的度數＝部分佔總體的百分比×360°． ②按比例取適當半徑畫一
個圓；按扇形圓心角的度數用量角器在圓內量出各個扇形的圓心角的度數；
④在各扇形內寫上相應的名稱及百分數，並用不同的標記把各扇形區分開來．
33．條形統計圖
（1）定義：條形統計圖是用線段長度表示數據，根據數量的多少畫成長短不同的矩形直條，
然後按順序把這些直條排列起來．
（2）特點：從條形圖可以很容易看出數據的大小，便於比較．
（3）製作條形圖的一般步驟：
①根據圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線．
②在水平射線上，適當分配條形的位置，確定直條的寬度和間隔．
③在與水平射線垂直的射線上，根據數據大小的具體情況，確定單位長度表示多少．
④按照數據大小，畫出長短不同的直條，並註明數量．
34．算術平均數
（1）平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數．它是反映數據集中趨勢的
一項指標．
（2）算術平均數：對於 n個數 x1，x2，…，xn，則 ＝ （x1+x2+…+xn）就叫做這 n個數的
算術平均數．
（3）算術平均數是加權平均數的一種特殊情況，加權平均數包含算術平均數，當加權平均
數中的權相等時，就是算術平均數．
35．中位數
（1）中位數：
將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處於中間
位置的數就是這組數據的中位數．
如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．
（2）中位數代表了這組數據值大小的"中點"，不易受極端值影響，但不能充分利用所有數
據的信息．
（3）中位數僅與數據的排列位置有關，某些數據的移動對中位數沒有影響，中位數可能出
現在所給數據中也可能不在所給的數據中出現，當一組數據中的個別數據變動較大時，可用
中位數描述其趨勢．
36．眾數
（1）一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數．
（2）求一組數據的眾數的方法：找出頻數最多的那個數據，若幾個數據頻數都是最多且相
同，此時眾數就是這多個數據．
（3）眾數不易受數據中極端值的影響．眾數也是數據的一種代表數，反映了一組數據的集
中程度，眾數可作為描述一組數據集中趨勢的量．．
37．概率公式
（1）隨機事件 A的概率 P（A）＝
（2）P（必然事件）＝
（3）P（不可能事件）＝
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