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今日大放送

1.1 集合的概念与运算

一、选择题

1．已知集合A＝{(x，y)|x，y是实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y是实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )．

A．0 B．1 C．2 D．3

2．集合M＝{a，b}，N＝{a＋1,3}，a，b为实数，若M∩N＝{2}，则M∪N＝( )

A．{0,1,2} B．{0,1,3}

C．{0,2,3} D．{1,2,3}

3．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．图中的阴影表示的集合是( )

A．(∁_UA)∩B B．(∁_UB)∩A

C．∁_U(A∩B) D．∁_U(A∪B)

5．设集合M＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x2－y＝0，x∈R}，y∈R，则集合M∩N中元素的个数为( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是( )

A．2 B．2或3

C．1或3 D．1或2

7．已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i}(a∈R，i是虚数单位)，若A⊆R，则a＝( )．

A．1 B．－1 C．±1 D．0

二、填空题

8．已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.

9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.

10．已知集合M＝{x|x－2(x)<0}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于________．

11．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁_UA＝________.

12．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝____________________.

三、解答题

13．已知集合A＝{x|(x－2)(x－3a－1)<0}，函数y＝lgx－(a2＋1)(2a－x)的定义域为集合B.

(1)若a＝2，求集合B；(2)若A＝B，求实数a的值．

14．设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.

15．A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．

16．设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

【点评】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，是历年来高考考查的重点，其基本思路是将一个复杂的数学问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.

1.1 集合的概念与运算 答案及解析 点评

一、选择题

1．解析 集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合，集合B表示直线y＝x上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A∩B的元素个数为2.

答案 C

2．解析：∵M∩N＝2，∴2∈M,2∈N.

∴a＋1＝2，即a＝1.

又∵M＝{a，b}，∴b＝2.

∴A∪B＝{1,2,3}．

答案：D

3．解析 若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．

答案 A

4．解析：阴影部分在集合B中而不在集合A中，故阴影部分可表示为(∁_UA)∩B.

答案：A

5．解析 (数形结合法)x2＋y2＝1表示单位圆，y＝x2表示开口方向向上的抛物线，画出二者的图形，可以看出有2个交点，故选B.

答案 B

【点评】 本题画出方程的曲线，立即得到正确的答案，避免了计算求解，提高了解题速度.

6．解析：由题意得，当a＝1时，方程x2－ax＋1＝0无解，集合B＝∅，满足题意；当a＝2时，方程x2－ax＋1＝0有两个相等的实根1，集合B＝{1}，满足题意；当a＝3时，方程x2－ax＋1＝0有两个不相等的实根2(5)，2(5)，集合B＝{2(5)，2(5)}，不满足题意．所以满足A∩B＝B的a的值为1或2.

答案：D

7．解析 ∵A⊆R，∴A中的元素为实数，所以a2－1＝0，即a＝±1.

答案 C

二、填空题

8．解析 A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．

答案 {－1,2}

9．解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．

答案 {(0,1)，(－1,2)}

10．解析：M＝{x|0

答案：[1,2)

11．解析 ∁_UA＝{x|x＜1}．

答案 {x|x＜1}

12．解析 由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[1,3]，

∴A*B＝[0,1)∪(3，＋∞)．

答案 [0,1)∪(3，＋∞)

三、解答题

13．解：(1)当a＝2时，由x－5(4－x)>0得4

故集合B＝{x|4

(2)由题意可知，B＝{x|2a

①若2<3a＋1，即a>3(1)时，A＝{x|2

又因为A＝B，所以a2＋1＝3a＋1(2a＝2)，无解；

②若2＝3a＋1时，显然不合题意；

③若2>3a＋1，即a<3(1)时，A＝{x|3a＋1

又因为A＝B，所以a2＋1＝2(2a＝3a＋1)，解得a＝－1.

综上所述，a＝－1

14．解 由9∈A，可得x2＝9或2x－1＝9，

解得x＝±3或x＝5.

当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素重复，故舍去；

当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}；

当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，

此时A∩B＝{－4,9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．

综上所述，A∪B＝{－8，－4,4，－7,9}．

15．解 ∵A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴b＝3，

又A∪B＝{x|x＞－2}，

∴－2＜a≤－1，

又A∩B＝{x|1＜x＜3}，

∴－1≤a＜1，

∴a＝－1.

16．思路分析 本题体现了分类讨论思想，应对集合B中所含元素个数分类讨论．

解 ∵A＝{0，－4}，∴B⊆A分以下三种情况：

(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得a2－1＝0，(－2(a＋1)＝－4，)解得a＝1.

(2)当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意．

(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．

【点评】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，是历年来高考考查的重点，其基本思路是将一个复杂的数学问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.