在第一次数学危机中，人们通过引入“不可公度量”部分性地解决了无理数的存在性问题。然而，一波未平，一波又起，随着17世纪微积分的创立, 许多有关数与量的本质问题又开始暴露，并直指微积分的基础——“无穷小量”问题, 导致了第二次数学危机的产生。
让我们先从“芝诺悖论”谈起。公元前5世纪，古希腊爱利亚学派有一位名叫芝诺（Zeno）的哲学家，尤为擅长就物理世界提出一些看似无知的问题，但这些问题常常会引发哲学上的大混乱，比如他曾提出过有关“二分法”的悖论：一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循环下去，这个人与B点总存在一段极小但不等于0的距离，他永远不能到终点。芝诺的这一悖论适用于所有的目的地，如步行穿越大街，迈出一步，等等。也就是说，所有的运动都是不可实现的。基于同样的道理，芝诺遂提出更多的悖论，诸如“落后的兔子永远追不上乌龟”、“飞矢不动悖论”、“运动场悖论”等等。
据说犬儒学派的第欧根尼（Diogenes）驳斥了芝诺悖论，他站起来走到了房间的对面。这个举动完美地证明芝诺眼中那些不可能的运动是可以完成的，那么，芝诺的证明肯定出了问题。但是，问题出在哪儿呢？芝诺悖论里所体现出对运动极限过程中无穷小线段的看法，给古希腊造成了深深的困惑。这样的困惑，一直延伸到了微积分的诞生。
17 世纪 ,英国科学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）分别独立发明了微积分。这时的微积分只有方法, 没有严密的理论作为基础 ,许多地方存在漏洞 ,还不能自圆其说。例如牛顿当时是这样求函数的微商的:
再求微商，用函数的增量除以自变量的增量，得
1734年 ，英国哲学家、大主教贝克莱（Berkeley）发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头直至微积分的基础——无穷小问题，即所谓的“贝克莱悖论”：牛顿在求x^n的微商时，采取先给x以增量0，应用二项式（x+0）^n，从中减去x^n以求得增量，并除以0以求出x^n的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾论的手续——先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。他批评道：“这是依靠双重错误得到了不科学却正确的结果……无穷小量是消失的量的鬼魂（the ghosts of departed quantities）”。
对于莱布尼茨，贝克莱则讽刺说：一些著名人物，不满足知晓一条有限线段可以分成无穷多个部分，还进一步认为每一个这样的无穷小量又可分成无穷多个部分，即二阶无穷小，没完没了，而另一些人则掌握了低于一阶的无穷小到空无一物。
这些批评一针见血，直击要害：无穷小量究竟是不是零？原先建立的无穷小及其分析是否合理？数学界甚至哲学界进行了长达一个半世纪的争论，这导致了数学史上的第二次危机。
18世纪的微积分的确不够严密，更多的强调形式的计算结果而忽视了其原理的可靠性。由于无穷小量的概念没有得到澄清，与此相关的微商、微分、积分，并由此衍生的发散级数的求和等等都成了棘手的问题。
很长一段时间以来，法国数学家达朗贝尔（D’Alembert）、拉格朗日（Lagrange）及挪威数学家阿贝尔（Abel）、捷克数学家波尔查诺（Bolzano）相继为这些问题付出了大量的努力，力图实现分析的严格化。但事情的伟大转折则要归功于法国的数学家柯西（Cauchy）。
1821年，柯西在《代数分析教程》中给出了精确的极限定义，并抓住极限的概念，明确指出了无穷小量既不是0，也区别于很小很小的具体常数，而是这样一个存在：它是小于任意大于0的数的“变量”，它可以是个
函数，也可以是个数列，其极限才是我们省略的0,而本身却不能直接视为0。例如：
在这些工作的基础上，德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）进一步认为实数是分析的本源，要使分析严格化，首要任务就是建立严密的实数理论。为此他创造了一整套的语言，消除了柯西理论中不确切的地方，给出了现在通用的极限、连续定义，并把微商、积分等概念都严格地建立在极限的基础上。这一工作被称为“分析的算术化”，魏尔斯特拉斯亦被誉为“现代分析之父”。
其中数列为无穷小量的ε-N定义如下：
1872 年，戴德金、康托尔等人也几乎同时发表了他们各自的实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上，这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除，第二次数学危机解除了。
第二次数学危机洗礼了微积分自身，使其得到了不断的系统化，完整化，扩展出了不同的分支，成为了18世纪数学世界的“霸主”，也使得数学界更深入探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论无矛盾性问题，而这正是20世纪数学基础中的首要问题。
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