在第一次數學危機中，人們通過引入“不可公度量”部分性地解決了無理數的存在性問題。然而，一波未平，一波又起，隨著17世紀微積分的創立, 許多有關數與量的本質問題又開始暴露，並直指微積分的基礎——“無窮小量”問題, 導致了第二次數學危機的產生。
讓我們先從“芝諾悖論”談起。公元前5世紀，古希臘愛利亞學派有一位名叫芝諾（Zeno）的哲學家，尤為擅長就物理世界提出一些看似無知的問題，但這些問題常常會引發哲學上的大混亂，比如他曾提出過有關“二分法”的悖論：一個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循環下去，這個人與B點總存在一段極小但不等於0的距離，他永遠不能到終點。芝諾的這一悖論適用於所有的目的地，如步行穿越大街，邁出一步，等等。也就是說，所有的運動都是不可實現的。基於同樣的道理，芝諾遂提出更多的悖論，諸如“落後的兔子永遠追不上烏龜”、“飛矢不動悖論”、“運動場悖論”等等。
據說犬儒學派的第歐根尼（Diogenes）駁斥了芝諾悖論，他站起來走到了房間的對面。這個舉動完美地證明芝諾眼中那些不可能的運動是可以完成的，那麼，芝諾的證明肯定出了問題。但是，問題出在哪兒呢？芝諾悖論裡所體現出對運動極限過程中無窮小線段的看法，給古希臘造成了深深的困惑。這樣的困惑，一直延伸到了微積分的誕生。
17 世紀 ,英國科學家牛頓（Newton）和德國數學家萊布尼茲（Leibniz）分別獨立發明了微積分。這時的微積分只有方法, 沒有嚴密的理論作為基礎 ,許多地方存在漏洞 ,還不能自圓其說。例如牛頓當時是這樣求函數的微商的:
再求微商，用函數的增量除以自變量的增量，得
1734年 ，英國哲學家、大主教貝克萊（Berkeley）發表《分析學家或者向一個不信正教數學家的進言》，矛頭直至微積分的基礎——無窮小問題，即所謂的“貝克萊悖論”：牛頓在求x^n的微商時，採取先給x以增量0，應用二項式（x+0）^n，從中減去x^n以求得增量，併除以0以求出x^n的增量與x的增量之比，然後又讓0消逝，這樣得出增量的最終比。這裡牛頓做了違反矛盾論的手續——先設x有增量，又令增量為零，也即假設x沒有增量。他批評道：“這是依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果……無窮小量是消失的量的鬼魂（the ghosts of departed quantities）”。
對於萊布尼茨，貝克萊則諷刺說：一些著名人物，不滿足知曉一條有限線段可以分成無窮多個部分，還進一步認為每一個這樣的無窮小量又可分成無窮多個部分，即二階無窮小，沒完沒了，而另一些人則掌握了低於一階的無窮小到空無一物。
這些批評一針見血，直擊要害：無窮小量究竟是不是零？原先建立的無窮小及其分析是否合理？數學界甚至哲學界進行了長達一個半世紀的爭論，這導致了數學史上的第二次危機。
18世紀的微積分的確不夠嚴密，更多的強調形式的計算結果而忽視了其原理的可靠性。由於無窮小量的概念沒有得到澄清，與此相關的微商、微分、積分，並由此衍生的發散級數的求和等等都成了棘手的問題。
很長一段時間以來，法國數學家達朗貝爾（D’Alembert）、拉格朗日（Lagrange）及挪威數學家阿貝爾（Abel）、捷克數學家波爾查諾（Bolzano）相繼為這些問題付出了大量的努力，力圖實現分析的嚴格化。但事情的偉大轉折則要歸功於法國的數學家柯西（Cauchy）。
1821年，柯西在《代數分析教程》中給出了精確的極限定義，並抓住極限的概念，明確指出了無窮小量既不是0，也區別於很小很小的具體常數，而是這樣一個存在：它是小於任意大於0的數的“變量”，它可以是個
函數，也可以是個數列，其極限才是我們省略的0,而本身卻不能直接視為0。例如：
在這些工作的基礎上，德國數學家魏爾斯特拉斯（Weierstrass）進一步認為實數是分析的本源，要使分析嚴格化，首要任務就是建立嚴密的實數理論。為此他創造了一整套的語言，消除了柯西理論中不確切的地方，給出了現在通用的極限、連續定義，並把微商、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上。這一工作被稱為“分析的算術化”，魏爾斯特拉斯亦被譽為“現代分析之父”。
其中數列為無窮小量的ε-N定義如下：
1872 年，戴德金、康托爾等人也幾乎同時發表了他們各自的實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上，這樣長期以來圍繞著實數概念的邏輯循環得以徹底消除，第二次數學危機解除了。
第二次數學危機洗禮了微積分自身，使其得到了不斷的系統化，完整化，擴展出了不同的分支，成為了18世紀數學世界的“霸主”，也使得數學界更深入探討數學分析的基礎——實數論的問題。這不僅導致集合論的誕生，並且由此把數學分析的無矛盾性問題歸結為實數論無矛盾性問題，而這正是20世紀數學基礎中的首要問題。
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