01.22 欧拉神作之五——因为“最美公式”成立，所以上帝存在！

基本上任何的科学理论（应该要去掉广义相对论）的建立都不会是从天而降，而是慢慢的汇集才会逐步完善。在这个漫长的过程，要经过许许多多的人的奉献才能获得成功。

15世纪，因为三次四次方程的公式解的确立，使人们越来越注意到，许多负数的开平方应该也是可能的，如果解方程的时候人为地舍弃了那些看起来“毫无意义”的根会让整个解方程的理论变得支离破碎。到了16世纪，人们已经普遍认可了虚数的存在，认为在某种情况下的负数开平方也是可以的。于是数的概念就上升到了复数，这是一个比之前实数集更加宽广的研究海洋。人们开始把之前用在实数领域的公式扩展到了复数域，包括三角函数，指数函数，对数函数等等。一直到欧拉这里，人们开始真正了解这个复数。

1740年，欧拉发现有一个微分方程可以有两种完全不同的解的形式：

他把这个发现写信告诉了自己的老师约翰·伯努利。

我们将这两个风格迥异的解代入这个微分方程很容易验证这是对的。我们现在清楚这里究竟是怎么回事，但是当时的欧拉觉得很诧异，因为在当时的数学环境下，实数域中的指数函数，三角函数之间是很难建立等价关系的，这样的式子的确让人难以接受。欧拉天才般的直觉意识到，

这两个解虽然形式上很不相同，但是内在必定存在着某种联系，又或者这两个解压根就是相等的？

欧拉继续研究下去，大约1743年，欧拉又发现了另外两个等式：

这个形式从根本上表示了自然指数函数与三角函数之间在复数域上的深刻关系。当然i在这个时候还没被正式启用，所以就用上图的定义式表示。欧拉再进一步，终于推导出了，我们现在熟悉的欧拉恒等式。

欧拉当年用的什么方法来证明这个式子成立，已经没有资料可考。但是站在现在的数学角度上来思考下这个等式成立的原因也是很好的，为了表现直观性，还是从泰勒展开式来说明。

至此，欧拉完全了解了在复数域上自然指数函数与三角函数之间的关系，可想而知，这个公式也即将在数学的这两大领域发挥重要的作用。1777年，欧拉在递交给圣彼得堡科学院的论文《微分公式》里首次发表了欧拉恒等式，并且第一次使用i作为虚数的单位，与实数里的单位1相对应。

特别地当恒等式里的x为π时，恒等式就变成一个奇妙无比的等式：

如果一个人不了解这个式子的来源，只是盯着这个式子表面看，都会觉得这里有无穷的奥秘。π，e，i，1，0，这5个数学大厦里最基本的元素，怎么会如此和谐地被统一在一个等式里呢？π是几何学最重要的常数，一切和三角函数相关的计算都离不开π；e是分析学的基础常数，没有这个常数，微积分就无从谈起；i是扩展各种计算的金钥匙，1是数的领域基本单位，0是所有计算的开始。这个公式把代数学，几何学，分析学集中到了一起，充分说明了数学领域内容高度相关性，从某个领域出发可能会去解决另外一个领域毫不相干的问题。就好比黎曼猜想，明明是一个复数域猜测零点分布的猜想，结果却反而可以得出了数论中素数的分布情况，这简直就是匪夷所思。

人们常常评选十大最美公式，欧拉恒等式和麦克斯韦方程组稳居前二。

相传有一次，俄国叶卡捷琳娜二世厌烦了狄德罗关于无神论方面的说教，于是安排欧拉去好好怼一下这个老顽固，因为欧拉一生都是一位虔诚的基督徒，笃信上帝。欧拉推开门，直截了当地说：“因为e

^iπ+1=0，所以上帝存在！”狄德罗哑口无言。

欧拉一生不仅仅在数学上成果颇丰，在几乎各个领域都留下了自己的研究成果，由于欧拉无与伦比的数学功力，也让欧拉在别的领域游刃有余，在力学，弹道学，天文学，建筑学上都有很深厚的造诣。人们怀念18世纪的欧拉，就像期待未来会出现下一个欧拉一样。