01.22 歐拉神作之五——因為“最美公式”成立，所以上帝存在！

基本上任何的科學理論（應該要去掉廣義相對論）的建立都不會是從天而降，而是慢慢的彙集才會逐步完善。在這個漫長的過程，要經過許許多多的人的奉獻才能獲得成功。

15世紀，因為三次四次方程的公式解的確立，使人們越來越注意到，許多負數的開平方應該也是可能的，如果解方程的時候人為地捨棄了那些看起來“毫無意義”的根會讓整個解方程的理論變得支離破碎。到了16世紀，人們已經普遍認可了虛數的存在，認為在某種情況下的負數開平方也是可以的。於是數的概念就上升到了複數，這是一個比之前實數集更加寬廣的研究海洋。人們開始把之前用在實數領域的公式擴展到了複數域，包括三角函數，指數函數，對數函數等等。一直到歐拉這裡，人們開始真正瞭解這個複數。

1740年，歐拉發現有一個微分方程可以有兩種完全不同的解的形式：

他把這個發現寫信告訴了自己的老師約翰·伯努利。

我們將這兩個風格迥異的解代入這個微分方程很容易驗證這是對的。我們現在清楚這裡究竟是怎麼回事，但是當時的歐拉覺得很詫異，因為在當時的數學環境下，實數域中的指數函數，三角函數之間是很難建立等價關係的，這樣的式子的確讓人難以接受。歐拉天才般的直覺意識到，

這兩個解雖然形式上很不相同，但是內在必定存在著某種聯繫，又或者這兩個解壓根就是相等的？

歐拉繼續研究下去，大約1743年，歐拉又發現了另外兩個等式：

這個形式從根本上表示了自然指數函數與三角函數之間在複數域上的深刻關係。當然i在這個時候還沒被正式啟用，所以就用上圖的定義式表示。歐拉再進一步，終於推導出了，我們現在熟悉的歐拉恆等式。

歐拉當年用的什麼方法來證明這個式子成立，已經沒有資料可考。但是站在現在的數學角度上來思考下這個等式成立的原因也是很好的，為了表現直觀性，還是從泰勒展開式來說明。

至此，歐拉完全瞭解了在複數域上自然指數函數與三角函數之間的關係，可想而知，這個公式也即將在數學的這兩大領域發揮重要的作用。1777年，歐拉在遞交給聖彼得堡科學院的論文《微分公式》裡首次發表了歐拉恆等式，並且第一次使用i作為虛數的單位，與實數里的單位1相對應。

特別地當恆等式裡的x為π時，恆等式就變成一個奇妙無比的等式：

如果一個人不瞭解這個式子的來源，只是盯著這個式子表面看，都會覺得這裡有無窮的奧秘。π，e，i，1，0，這5個數學大廈裡最基本的元素，怎麼會如此和諧地被統一在一個等式裡呢？π是幾何學最重要的常數，一切和三角函數相關的計算都離不開π；e是分析學的基礎常數，沒有這個常數，微積分就無從談起；i是擴展各種計算的金鑰匙，1是數的領域基本單位，0是所有計算的開始。這個公式把代數學，幾何學，分析學集中到了一起，充分說明了數學領域內容高度相關性，從某個領域出發可能會去解決另外一個領域毫不相干的問題。就好比黎曼猜想，明明是一個複數域猜測零點分佈的猜想，結果卻反而可以得出了數論中素數的分佈情況，這簡直就是匪夷所思。

人們常常評選十大最美公式，歐拉恆等式和麥克斯韋方程組穩居前二。

相傳有一次，俄國葉卡捷琳娜二世厭煩了狄德羅關於無神論方面的說教，於是安排歐拉去好好懟一下這個老頑固，因為歐拉一生都是一位虔誠的基督徒，篤信上帝。歐拉推開門，直截了當地說：“因為e

^iπ+1=0，所以上帝存在！”狄德羅啞口無言。

歐拉一生不僅僅在數學上成果頗豐，在幾乎各個領域都留下了自己的研究成果，由於歐拉無與倫比的數學功力，也讓歐拉在別的領域遊刃有餘，在力學，彈道學，天文學，建築學上都有很深厚的造詣。人們懷念18世紀的歐拉，就像期待未來會出現下一個歐拉一樣。