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導讀

老頑童Atiyah在中秋節當天宣讀了關於黎曼猜想的證明。事實上，老頭證明的關鍵就是在於使用了一個他稱之為弱解析函數的Todd函數，但他把為什麼Todd映射能夠用於黎曼猜想的證明給。。。略了，好吧，只能說這次的證明又失敗了。

老頑童Atiyah在20號宣佈，自己將在中秋節當天宣讀關於黎曼猜想的證明，讓這個中秋節顯得格外有數學元素。

短短的幾天時間，身邊突然冒出了無數的數學愛好者，紛紛問我這老頭的證明到底對不對。講道理，看見是Atiyah宣佈的，我心裡當時就咯噔一下，大事不好！有人搶先了！

然而聯想起老頭在幾年前嚷嚷著自己證明了6維球面上沒有復結構最後卻不了了之，而且縱觀整個數學史，尚無一位數學家在如此高齡做出如此牛逼的結果，所以我第一時間做出判斷：

老頭估計是拿大家開涮呢。

然而畢竟宣佈的人是Atiyah，二十世紀最偉大的幾何學家，Atiyah-Singer指標定理的發現者，所以雖然有懷疑，但是都抱有一絲希望，自己能在有生之年見證這個奇蹟。

事實上，作為知名黎曼猜想的重度愛好者，只要是和這個猜想有關的風吹草動，各路人馬都會第一時間告訴我，所以早在8月18號我就被嚇了一跳：

當然，從論文的長度來看，這個文章肯定是錯了。

說了這麼半天，究竟什麼是黎曼猜想呢？

所謂黎曼猜想，是指黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上，也即方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2。

那什麼是黎曼ζ 函數呢？

黎曼ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式

在複平面上的解析延拓：

黎曼猜想作為數學史上最重要的猜想之一（可以去掉），被懸賞百萬美金。事實上，如果能讓我得到證明這個猜想的榮譽，我願意倒找百萬美金。。。別扔雞蛋，我就是想想，想想！

衡量一個猜想是否重要最顯著的標誌是能否帶動其他的數學分支甚至其他學科的發展。從這點上來看，費馬猜想就當之無愧。這麼一個數論裡的題目，竟然帶動了橢圓曲線理論的跨越式發展，遠遠超過了問題本來所在的領域，所以顯得格外的牛叉。

黎曼猜想的研究過程中，產生了上千個和猜想有關的命題，如果一旦黎曼猜想被證偽，那這些命題就統統作廢了。黎曼猜想對質數分佈、理論物理的影響十分深遠，具體可以參考盧昌海的《黎曼猜想漫談》，這裡不再贅述。

讓我們把目光回到Atiyah的證明上來。

今天，老頭把預印本公之於眾了，我第一反應就是：我的判斷是對的，Atiyah九成九又錯了。

這就是論文的全文。。。

老爺子，您這是逗我呢？

要知道當年Wiles證明費馬猜想的論文寫了100多頁——費馬自己當時很坑爹地說了句我發現了一個絕妙的證明，可惜空白的地方太窄了我寫不下。。。

後世的數學家對比了Wiles的證明之後，認為費馬要麼是在tree new bee，要麼就是做錯了。

Perelman證明Poincare猜想，三篇論文用了將近70頁，而張益唐在給出孿生質數猜想的估計時也寫了將近60頁——然而這距離最終解決還有很長的距離。

現在老爺子你出來說用書的空白邊的地方就能把黎曼猜想證明了？

事實上，老頭證明的關鍵就是在於使用了一個他稱之為弱解析函數的Todd函數。

我們follow了他參考文獻中的第二篇論文：THE FINE STRUCTURE CONSTANT，粗粗讀完論文之後，我感覺：

這哪兒是論文啊，這就是一部數學史啊！

在整個17頁的論文中，涉及到Todd映射的核心內容在3.4。從Todd映射的構造來看，這是一個從複數到複數的映射，並且是個高度的非線性映射。

他給出了一個希爾伯特空間上的Clifford代數的無限張量積的弱閉包，這個弱閉包取自兩個希爾伯特空間的張量積。這個希爾伯特空間上的Clifford代數的跡誘導出了閉包上的跡，這個閉包的中心通過兩個同構映射的複合能和複數域同構，這樣就完成了Todd映射的構造。

後面又介紹了Todd多項式的構造。

但是怎麼利用Todd映射和Todd多項式呢？

反正我是沒找到。

看到前面這一堆術語，估計已經有人想打我了，我就打個比方吧。

說：理論上青銅能做工藝品，你給我做個後母戊方鼎。

工具？略

怎麼做？略

。。。

老頭大概就是玩了這麼個把戲。

他把為什麼Todd映射能夠用於黎曼猜想的證明給。。。略了，我只能表示哭笑不得。

大爺，這並不是玩顯然的時候啊！

要知道數學的嚴謹是所有學科中最出類拔萃的。正如前文提到的，Perelman關於Poincare猜想的證明已經得到了大多數數學家的認同，但是仍然有少部分人認為他的證明是不令人滿意的，這其中就包括Ricci流的創始人：Hamilton.

Ricci流被認為是Perelman解決Poincare猜想中最重要的工具，而Hamilton認為，如果Perelman的證明是對的，那麼用純Ricci流的辦法一定能衝過去，但是目前來看並沒有找到這種辦法。而且Perelman用的局部不坍塌性更是讓老漢覺得很不爽，總覺得裡面說得不清不楚。。。

所以Atiyah的這個證明估計是過不了關的。

長出了一口氣，看來我還有機會，嗯！

附：關於Atiyah其人。

邁克爾·阿蒂亞， Michael Francis Atiyah，男，爵士，1929年出生於英國，當今最偉大的幾何學家之一。1960年代他與伊薩多·辛格合作，證明了阿蒂亞-辛格指標定理。他於1966年榮獲菲爾茲獎，2004年與辛格共同獲得阿貝爾獎。

Atiyah-Singer指標定理是聯繫微分幾何和拓撲的一個極其重要的定理。它斷言，對於緊的可定向的流形上的線性橢圓微分算子，其解析指標等於拓撲指標。幾何和拓撲學中的許多大定理，包括黎曼-羅赫定理（Riemann-Roch Theorem），希茲布魯赫符號差定理（Hirzebruch's Signature Theorem），高斯-博內-陳定理（Gauss-Bonnet-Chern Theorem）都是它的特殊情況，這個定理被譽為上個世紀微分幾何中最重要的定理。

背景簡介：本文作者為浙江大學數學博士賊叉。文章2018年7月16日發表於作者的微信公眾號甬上煌言（https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyMzE5OTcwMQ==&mid=2649213824&idx=1&sn=55000737626faf878b766ea434534ebf），風雲之聲獲授權轉載。

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