05.22 基本圖形分析法：角平分線和平行線的組合圖形（三）

【分析方法導引】

當幾何問題中出現角平分線和平行線的組合關係式，就可以想到要應用等腰三角形的基本圖形進行證明。然後就應用將角的邊的平行線與角平分線及角的另一邊相交或將角平分線與角的一邊及另一邊的反響延長線相交的方法找到等腰三角形的基本圖形。再應用角平分線、平行線、等腰三角形中任何另兩個性質成立就可以推得第三個性質成立的方法來完成分析。

例11 如圖3-33，已知：平行四邊四ABCD中，AB>AD，∠A、∠D的角平分線相交於E,∠B、∠C的角平分線相交於F。求證：EF=AB-AD。

分析：本題的條件中出現了AE是∠A的角平分線，且四邊形ABCD是平行四邊形，DC∥AB，所以就是一個角平分線和平行線的組合問題，這樣就可以想到要應用等腰三角形的基本圖形進行證明。由於DC∥AB出現的是一條邊AB的平行線，所以這條平行線應與角的另一邊以及角平分線相交構成等腰三角形，而現在的圖形中DC尚未與角平分線AE相交，所以應首先將它們延長到相交，於是延長AE交DC於G（如圖3-34），這樣由∠BAG=∠DAG和DC∥AB、∠DGA=∠BAG，DA=DG。這樣要證明的結論就轉化為EF=AB-AD=DC-DG=GC（其中後兩個等號已成立）。

又因為在證明了△DAG是等腰三角形以後，由於條件中還出現DE是∠D的角平分線，這樣就出現具有重要線段的等腰三角形的基本圖形（如圖3-35），應用這個基本圖形的性質可得E是AG的中點，EG=1/2AG。以上的分析是對於∠A、∠D這兩條角平分線的條件來進行的，那麼對於∠B、∠D這兩條角平分線來講也可以用同樣的方法來進行分析，於是延長CF交AB於H，可得AH=AB-BC=AB-AD=GC，FH=FC=1/2CH。

現由AH=GC和AH∥GC，可得四邊形AHCG是平行四邊形，GA∥CH，GA=GH，再由E、F分別是GA、CH的中點，EG=1/2AG=1/2CH=CF，可得四邊形EFGC也是平行四邊形，所以EF=GC就可以證明。

在上述分析過程中，如果在得到DA=DG和AE=EG=1/2AG後，考慮圖形中出現的AE和CF是位於平行四邊形ABCD中的中心對稱部分的兩條對應線段，那就可以想到要應用中心對稱型全等三角形來進行證明，而根據平行四邊形中的中心對稱部分就可以找到這一對全等三角形是△ADE和△CBF（如圖3-36），在這兩個三角形中，應用平行四邊形的性質和已經給出的四條角平分線的條件，可以得到AD=CB，∠DAE=∠BCF，∠EDA=∠FBC，所以這兩個三角形全等可以證明，那麼AE就等於CF，就可得EG=FC。

由於現在的問題是要證EF=GC，那麼在四邊形EFCG中，就出現了兩組對邊相等，所以這個四邊形必定是平行四邊形，但要證明這個四邊形是平行四邊形時，EF=GC這個性質是不能用的，所以只能證明EG和FC不但相等，而且平行。由於EC和FC可以看作是被DC所截，而且我們已經證明∠DGE=∠DAE=∠BCF=∠DCF，所以EG∥FC，四邊形EFCG是平行四邊形，從而也就可以完成分析。

例12 如圖3-37，已知：平行四邊形ABCD中，AD=2AB，將AB向兩方分別延長至E、F，使AE=AB=BF。求證CE⊥DF。

分析：本題條件中出現了BC=AD=2AB，且由AE=AB可得BE=2AB，所以就有BC=BE，這樣就出現了兩條具有公共端點的相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形。又因為條件中給出四邊形ABCD是平行四邊形，CD∥BE，是等腰三角形一條腰的平行線，這樣就出現了等腰三角形與腰的平行線的組合關係，就必定出現了角的平分線。於是由BE=BC，可得∠E=∠BCE，由DC∥EB，可得∠DCE=∠E，從而就可得到∠BCE=∠DCE。

根據同樣的道理，由BF=AB，AF=2AB=AD和DC∥AF出發進行分析，也可以得到∠ADF=∠CDF。

由條件AD∥BC，這一組平行線可以看作是被DC所截，那麼∠ADC+∠DCB=180°，從而可推得∠DCE+∠CDF=90°，分析就可以完成（如圖3-38）。

在上述分析中，在得到了EC、FD分別是∠DCB和∠CDA的角平分線以後，由於AD∥BC，所以又出現了一次角平分線和平行線的組合關係，這樣也就必定可以再得到一個等腰三角形的基本圖形（如圖3-39）。由於DA∥CB可以看作是∠DCB的一條邊的平行線，所以它一定與角的另一邊以及角平分線相交構成等腰三角形，這樣就可找到等腰三角形應是△DHC，也就是由∠BCE=∠DCE和DA∥CB，∠DHC=∠BCE，可推得∠DHC=∠DCH，DH=DC。而在等腰△DHC中，出現了FD是頂角的角平分線，因此它必定和底邊垂直，分析也就可以完成。