菲爾茲獎得主Martin Hairer於2017年9月在海德堡桂冠論壇上討論了雙信封悖論。
讓我們來玩一個遊戲：桌子上有兩個信封，其中一個信封內包含一定金額的錢，另一個信封內的金額為它的兩倍。但你不知道這兩個信封內各自包含的金額。你可以拿走其中一個，讓這個信封中的現金歸你。但在你打開信封之前，你還有一次改變選擇的機會。那麼，你應該堅持你最初選擇呢？還是選擇另一個信封？
如果你無法做出決定，那不妨藉助數學來找出答案。我們可以計算一下換與不換信封，你所能得到金額的期望值。在概率論中，期望值是一個理想化的平均值，它反映的是某件事物可能結果的概率。先假設你選中的信封中金額數為x，那麼這意味著另一個信封中裝的金額要麼是2x，要麼是x/2，這兩種金額的概率都是1/2。所以如果換掉信封的話，你所得金額的期望值為
很顯然，這個結果大於x，所以應該換。
但這樣一來，一個矛盾點就出現了。如果在你換了一次信封之後還能再換一次呢？那麼按照上述結論，你應該繼續換回來。如果還有第三次、第四次、第五次……無數次這樣切換信封的機會，難道你應該永不停止地交換嗎？如果這樣的話，最終你將被困在一個無限循環的交換過程中，並且一分錢也得不到。這便是概率論中的一個著名悖論：雙信封悖論。
那麼，剛才的推論是不是有什麼問題？
【一個解決方法】
我們將最先選擇的信封標記為A，含有金額x；剩下的信封標記為B。值得注意的地方是——在你還沒有將信封A打開前，x並不是一個固定的量，而是一個隨機變量。它可以是一大一小兩個金額中的任意一個。如果將較小的金額寫作y，那麼較大的金額數值則為2y。因為A是你隨機選擇的信封，因此A裡含有較大或較小金額的概率都為50%。這意味著信封A中的期望金額E(A)是
之前我們說過，信封B中的期望金額是
但記住，x不是一個定值，它可以取兩個值中的任意一個。如果信封B中含有的金額數值為2x，那麼信封A則裝有較少的金額，在這種情況下x = y。如果信封B中的金額為x/2，那麼信封A則裝有較大的金額，在這種情況下x = 2y。
所以在上面的等式中，第一個x真正代表的是y，而第二個x則代表2y。也就是說，等式中的兩個x實際上是不同的，所以根本就不該被加起來，從而得到5x/4這一期望值。
我們需要用y來代替等式中第一次出現的x，用2y來代替第二個x，得到
這樣一來E(A)= E(B)，也就是說交換信封不會帶來收益，堅持最初的選擇或切換都不會產生任何影響，也就不存在什麼悖論。
【如果你打開了A？】
如果換一種場景，你在選擇A之後就將其打開，並且看到了裡面所含的金額。在這種情況下，x就變成了定值。那麼在信封B中的金額只有兩種可能：要麼是2x，要麼x/2；這兩者的概率均為50%。因此我們可以算出信封B中的期望金額為
在得知信封A中所含金額的情況下，這一等式才是正確的。它告訴我們的是，就平均值來說，切換信封是更優的選擇，悖論也不會出現。如果在換成信封B之後，你能還得到一次換回來的機會你也不會再換，因為你已知了信封A裡的金額少於B的期望金額，因此不會再換。
這個悖論之所以存在於文章開頭所描述的版本中，就是因為我們都一視同仁的看待這兩個信封——即它是一種對稱情況。但是一旦你打開信封 A，對稱性就遭到了破壞。
值得注意的是，當你打開信封A，並得知金額x，這就很可能改變你對信封B中是裝有的是2x還是x/2的概率的看法。例如，如果x是一個非常大的金額，那麼你可能會更傾向於猜測信封B中不太可能包含雙倍的金額2x。我們將p記為信封A中含有較大數額的概率，那麼信封B中的期望金額E(B)則變為
這樣我們就會發現，當且僅當p < 2/3 時，E(B)大於 x。換句話說，只要你確信A中所含金額為較大的概率值小於2/3，就應該切換信封。
對於一部分人而言，上述的方法足以解決雙信封悖論，但並非所有人對此都能表示同意。在關於這一問題的思考上，人們已經花費了大量的時間和筆墨了。
譯：佐佑
原文鏈接：https://plus.maths.org/content/two-envelopes-problem-resolution
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