06.13 基本圖形分析法：幫你分析角平分線和垂線的組合圖形（七）

【分析方法導引】

當幾何問題中，出現了角平分線和向角平分線所作的垂線的時候，就要想到可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。

若角平分線的垂線沒有過角的頂點時，可直接將角平分線的垂線延長到與角的兩邊相交，構成等腰三角形中重要線段的基本圖形，然後再應用一次軸對稱型全等三角形來完成分析。

若角平分線的垂線經過角的頂點時，則應將角平分線的垂線平行移動，使它離開角的頂點，然後再與角的兩邊相交構成等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

例11 如圖3-150，已知：△ABC中，AD是高，AE是角平分線，F是BC的中點，CG⊥AE，BH⊥AE，垂足分別為G、H。求證：D、G、F、H四點共圓。

圖3-150

分析：由條件AE是角平分線和CG⊥AE，就構成角平分線和向角平分線所作的垂線的組合關係，從而就必定得到一個等腰三角形的基本圖形。由於這個等腰三角形是由角平分線AE的垂線CG和角的兩邊AB、AC相交得到的，而現在CG與AB尚未相交，所以應將它們延長到相交，也就是延長CG交AB於M（如圖3-151），即可得△AMG≌△ACG，AM=AC和GM=GC。

圖3-151

在得到G是CM的中點後，由於條件中該給出F是BC的中點，這樣就出現了兩個中點，是多箇中點問題，所以可應用三角形的中位線的基本圖形的性質進行證明（如圖3-152），於是可得GF∥MB，GF=1/2MB。

圖3-152

由於本題要證明的結論是D、G、F、H四點共圓，是一個圓內接四邊形也就是圓周角的基本圖形的應用問題。由於這個圓周角的基本圖形中，已經有一條邊FG，所以應將相應的一條對邊添上，於是聯結HD（如圖3-153），問題也就轉化成要證∠GFD=∠GHD。而由GF∥MB。可得∠GFD=∠MBC，這樣問題就又成為要證∠ABD=∠AHD，A、B、H、D四點共圓，而條件中已經給出AD⊥BD，AH⊥BH，所以分析可以完成。

圖3-153

如果我們的分析是從AE是角平分線和BH是角平分線AE的垂線開始，那也可以用類似的方法完成分析。也就是由AE是角平分線，BH⊥AE，可得延長BH交AC的延長線於M後，有AB=AM，BH=MH。而由F、H分別是BC、BM的中點，可得聯結FH後（如圖3-154），有FH∥CM，∠HFD=∠ACB。而由∠ADC=∠AGC=90°，又可得A、G、D、C四點共圓，所以聯結GD後有∠HGD=∠ACB，從而就可推得∠HFD=∠HGD，D、G、F、H四點共圓。

圖3-154

例12 如圖3-155，已知：△ABC中，MN是∠A的外角平分線，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別是D、E，F是BC的中點。求證：FD=FE=1/2（AB+AC）

圖3-155

分析：本題條件中出現了AN是∠A的外角。也就是∠CAK的角平分線，且CE⊥AN是角平分線AN的垂線，所以可構成一個等腰三角形的基本圖形。由於這個等腰三角形是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，而現在這條CE尚未與角的一邊AK相交，所以延長CE交BA的延長線於G（如圖3-156），即可得△ACE≌△AGE，AC=AG，CE=GE。

圖3-156

在得到了E是CG的中點後，由於條件中還給出F是BC的中點，就出現了兩個中點，是多箇中點問題，就可以應用三角形中位線的基本圖形的性質進行證明。由於E、F所在的線段GC、BC有公共端點C，可以組成△CBG，所以FE就是△CBG的一條中位線，從而也就可得FE=1/2BG=1/2（AB+AG）=1/2（AB+AC）。

對於條件中給出的AM是∠A的外角平分線和BD⊥AM，我們也可以用同樣的方法進行分析，所以延長BD交CA的延長線於H（如圖3-157）。得AB=AH，BD=HD，同樣地再由BF=CF，就可證明FD=1/2（AB+AC），分析就可以完成。

圖3-157

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