高斯求和公式是小學奧數非常重要也是應用非常多的一個公式，要求學生們必須掌握。記住公式的同時，還應該瞭解公式背後的原理，深刻的理解並能夠靈活是我們追求的目標，從小就打下堅實的基礎。
引言
我們先計算一道簡單的數學題：
1+2+3+4+5=
先不要說答案，告訴我你是怎麼做的？
一個數字一個數字相加嗎？沒關係，"不管黑貓白貓，能捉老鼠的就是好貓。"實用最重要！
問題升級：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
題目依然簡單，可如果還是一個數字一個數字相加就需要有點耐心。
有的人可能會打點其他的注意，比如開始找點捷徑。
不管用的什麼方法，總之你做出來了，這題目還難不倒你。
問題再再升級：
1+2+3+4+5+…+100=
這下，似乎有點麻煩了，必須打點其他的注意，我們需要專門為這類題目打造專用工具——高斯求和公式（也叫等差數列求和公式）。
一、高斯求和公式（等差數列求和公式）
(1).什麼是等差數列？
像前面的3組數，都是連續的自然數，他們排列整齊，依次增加或者依次減少，有一種和諧且治癒的美感。又如：
3，6，9，12，15，18；
40，38，36，34，32，30，28，26。
第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數的一種數列叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，數列中數的個數也叫數列的項數。
(2).等差數列求和
回頭想想引言中的3道等差數列的題目，你們是怎麼求和的呢？用的分別是什麼思路呢？
思路1：簡單粗暴的相加，這似乎不叫思路，叫本能。
思路2：找平均數（中間數），選個代表出來，最能代表這組數大小的就是他們的平均數，它往往藏在隊伍的最中間。
找到平均數，又知道項數，和=平均數×項數：
3×5=15
(中間數還有其它的一些妙用，例如日曆表中橫豎或者3×3正方形中間的數都為這些數的平均數。)
有的細心的同學會問，偶數個數沒有中間數怎麼辦？比如：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
沒有代表，我們也要造出一個代表來。5和6的中間數就是5.5，也就是他們的平均數。
愉快的解答：
(5+6)÷2×10=55
思路3：配對求和
有同學覺得前面的方法目標不夠遠大，找的都是能看的見的，有時候平均數隱藏的更深，根本看不見，比如：1+2+3+4+5+…+100，平均數藏在…中，讓我們無從下手。不用著急，偉大的數學家高斯在他10歲的時候就想到了解決這個問題（這也是等差數列求和公式也叫高斯求和公式的原因），下面就是他的方法：
觀察上圖我們不難發現：不光 (5+6)÷2是這組數的平均數，(4+7)÷2、(5+6)÷2、(3+8)÷2、(2+9)÷2、(1+10)÷2都是這組數的平均數。那麼是不是不一定要找中間的數，直接取首尾兩數相加除以2也可以得到這組數的平均數。
愉快的計算：
（1+10）÷2×10=55
上述方法的巧妙在於我們發現，等差數列的首尾相加，第二位數字和倒數第二位數字相加，第三位數字和倒數第三位數字相加，依次類推，它們的和都相等，這也是等差數列的一個特點，而少年的高斯發現了這個特點。相信也有很多人一開始也發現了這些特點，有些特徵過於平凡，可能會讓我們忽視它們內在的規律，或者只顧解決當下問題，而未能遠思，少了那往前跨出去的一步。
總結前面的計算過程，我們可以得到高斯求和公式（等差數列的求和公式）：
等差數列的和=（首項+末項）×項數÷2
思路4：倒序相加求和
這不都出公式了麼，怎麼又來一個思路呢？
因為勤于思考的同學又有疑問了，前面的公式是通過配對求和得到的，偶數個數才能配成整數對，如果是奇數個數，沒法配成整數對，那這個求和公式還能用嗎？我們看看下圖：
不管奇數個數還是偶數個數，採用倒序相加再除以2仍然可以得到跟原來一樣的公式。
(3).例題及練習
例1: 1+2+3+4+5+…+100=
友好的送分，如果到現在還不會的話，建議從頭再來一遍。
例2：1+3+2+6+3+9+…+100+300
分析：乍一看，這組數不是等差數列。相鄰的數之間的關係比較凌亂、破碎。但我們依然能發現1,2,3，…，100這些熟悉的數字。而這些數字恰好出現在奇數位置，剩下的偶數位置是3,6,9，…，300。顯然，我們要對著組數重新分組，分別套用求和公式即可：
（1+2+3+…+100）+（3+6+9+300）
=（1+100）×100÷2+(3+300)×100÷2
=5050+15150
=20200
當然這道題還有其他做法，比如1+3=4,2+6=9,3+9=12，…，100+300=400，將相鄰兩個數相加，他們的和構成一個新的等差數列。
（觀察，思考，聯想，有時候需要重新排兵佈陣，把雜亂的關係重新整理。）
例3：993+994+995+...+1007（有更簡單的做法嗎？）
例4: 1000-71-29-72-28-73-27-74-26-75-25-76-24-77-23-78-22-79-21（要用公式嗎）
二、等差數列的項數
有時候，一列數的項數可以直接數出來，有時候卻不那麼明顯，這個時候，怎麼求項數呢？如：
27+34+41+...+160=
我們從上面一列數中得到的信息：首項=27，末項=160，公差7。
好像不容易直接看出項數，我們現在好一個簡單直觀的例子，搞清楚首項、末項、公差與項數之間有什麼關係。
我們發現：末項-首項=15，15÷3=5個公差。5在這裡還有什麼意義呢？我們可以把5理解為3到18所經過的間隔，間隔長度就是公差，間隔數+1=項數。
綜上有：項數=（末項-首項）÷公差+1
公式變形後可得：末項=首項+（項數-1）×公差，首項=末項-（項數-1）×公差
使用公式，求27+34+41+...+160有
項數：（160-27）÷7+1=20
和： （27+160）×20÷2=1870
上面求項數的過程，和植樹問題，是不是有些相似之處呢？
當然還有其他間隔問題中也有類似的規律，如鋸木頭，爬樓梯，敲鐘，排隊列等。
三、綜合練習
練1：如下圖是一個圓柱鋼管的的V形架，如果V形架上一共有210根鋼管，那麼最上層有多少根鋼管？
練2：有一堆粗細均勻的圓木，按下圖所示方式堆放，最上面一層有6根，每向下一層增加1根，共堆了25層。問：這堆圓木有多少根？
在上題中，如果最下面一層有98根，這堆圓木共有2706根，那麼共堆了多少層？
四、 總結
1.捕捉那些不時閃耀出的思維的火花，如果孩子突然冒出一個絕妙的主意，值得鼓勵，“配對”就是個絕妙的注意。
2.把複雜問題分解成簡單問題，或者先從簡化問題中找尋跟複雜問題相同的規律，是一種常見的思維方式。
3.找到各個知識點之間的聯繫會讓對每個知識點的理解都更加深刻，記憶也更為準確，編的知識之網也更結實。
4.簡單的作圖能加深理解，記憶深刻。圖像，文字（語言）相互聯繫，配以想象，對青少年的記憶效果提升明顯。
5.今天的成果，高斯求和公式：等差數列的和=（首項+末項）×項數÷2
項數=（末項-首項）÷公差+1（沒記住但能推導出來更好）
五、高斯的小故事
約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日）德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。是近代數學奠基者之一，高斯被認為是歷史上最重要的數學家之一，並享有“數學王子”之稱。高斯和阿基米德、牛頓並列為世界三大數學家。一生成就極為豐碩，以他名字“高斯”命名的成果達110個，屬數學家中之最。他對數論、代數、統計、分析、微分幾何、大地測量學、地球物理學、力學、靜電學、天文學、矩陣理論和光學皆有貢獻。
7歲那年，高斯第一次上學了。頭兩年沒有什麼特殊的事情。1787年高斯10歲，他進入了學習數學的班次，這是一個首次創辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術這麼一門課程。數學教師是布特納（Buttner），他對高斯的成長也起了一定作用。在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案。不過，這很可能是一個不真實的傳說。據對高斯素有研究的著名數學史家E·T·貝爾（E.T.Bell）考證，布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899。
當然，這也是一個等差數列的求和問題（公差為198，項數為100）。當布特納剛一寫完時，高斯也算完並把寫有答案的小石板交了上去。E·T·貝爾寫道，高斯晚年經常喜歡向人們談論這件事，說當時只有他寫的答案是正確的，而其他的孩子們都錯了。高斯沒有明確地講過，他是用什麼方法那麼快就解決了這個問題。數學史家們傾向於認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。貝爾根據高斯本人晚年的說法而敘述的史實，應該是比較可信的。而且，這更能反映高斯從小就注意把握更本質的數學方法這一特點。
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