【分析方法導引】
當幾何問題中出現角平分線和平行線的組合關係式，就可以想到要應用等腰三角形的基本圖形進行證明。然後就應用將角的邊的平行線與角平分線及角的另一邊相交或將角平分線與角的一邊及另一邊的反響延長線相交的方法找到等腰三角形的基本圖形。再應用角平分線、平行線、等腰三角形中任何另兩個性質成立就可以推得第三個性質成立的方法來完成分析。
例9 如圖3-28，已知：△ABC中，AD是角平分線，E是AB上的一點，AE=AC，EF∥BC交AC於F。求證：CE平分∠DEF。
圖3-28
分析：本題要證明的結論是：CD是∠DEF的角平分線，即∠DEC=∠FEC，同時條件中又出現EF∥BC，從而就構成了角平分線和平行線的組合關係，這樣就想到要應用等腰三角形的基本圖形進行證明。由於EF∥DC，出現了DC是角的一邊的平行線，所以它應與角的另一邊以及角平分線相交組成等腰三角形，於是就可以找到△DEC應是等腰三角形（如圖3-29）。但現在∠DEC=∠FEC是要證明的結論，所以由EF∥DC，∠FEC=∠DCE，可知問題成為要證明∠DEC=∠DCE，也就是要先證明是△DEC等腰三角形，或者也就是要證明∠DEC=∠DCE的等價性質DE=DC。
圖3-29
由條件給出AE=AC，AD是∠BAC的角平分線，這就出現了AE、AC這兩條相等線段是關於角平分線AD成軸對稱的，所以就可以應用軸對稱型全等三角形進行證明（如圖3-30），由於現在要證明相等的DE、DC這兩條線段也可以看作是△ADE和△ADC的對應邊，所以問題就是要證明這兩個三角形全等，而由AE=AC，∠EAD=∠CAD和AD=AD就能完成證明，所以DE=DC也就可以證得。
圖3-30
例10 如圖3-31，已知：△ABC中，AD是角平分線，過C作AB的平行線交AD的延長線於E，過E作CB的平行線交AB的延長線於F。求證：AF=AB+AC。
圖3-31
分析：本題的條件中出現了AD是∠BAC的角平分線和CE∥ AB，這就構成了角平分線和平行線的組合關係，從而就可以應用等腰三角形的基本圖形進行證明。由於CE∥AF是角的一邊的平行線，所以它應與角的另一邊以及角平分線相交組成等腰三角形，於是就可以找到這個等腰三角形應是△CAE（如圖3-32）。於是由∠CAE=∠FAE和CE∥AB，∠CEA=∠FAE，可推得∠CAE=∠CEA，CA=CE。這樣要證明的結論就轉化為AF=AB+AC=AB+CE。又因為AF=AB+BF，比較這兩個關係可知問題進一步轉化為要證BF=CE，而由條件BC∥FE，BF∥CE，四邊形BFEC是一個平行四邊形，這一組對邊當然相等，所以分析可以完成。
圖3-32
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