我坦率承認，我從未對物理或幾何的學習或研究抱有興趣，除非能通過它們獲得有助於目前需要的某種知識……能服務於生活的幸福與方便，能有助於保持健康，有助於施展某種技藝……我看到好大一部分技藝紮根於幾何，如建築上的採石工藝，製作日規，特別是透視法。——德薩格
一、幾何的重生
幾何上重要創作活動的復興晚於代數。從帕普斯時代起到1600年，除了創立透視法的數學體系以及文藝復興時代藝術家偶爾作出的幾何研究之外，幾何方面很少有成果的工作。阿波羅尼奧斯《圓錐曲線》的許多印刷版本的出現，引起了人們對幾何的一些興趣。
要使數學家的心思納入新的軌道，所需要的而且確實出現的是新的問題。有一個問題是早已被艾伯蒂提出的：一個實物的同一投影的兩個截景有什麼共同的幾何性質？開普勒在他1609年的著作中對圓錐曲線的應用，有力地推動人們去重新考察這些曲線，並尋求其對天文有用的性質。17世紀初發明瞭望遠鏡和顯微鏡之後，光學受到人們大為增加的重視。給這些儀器設計透鏡成了一件大事，這意味著人們要注意研究曲面，而因為透鏡的表面都是旋轉面，因而又要注重研究母曲線。地理探索產生了對地圖的需要，引起人們研究在球面上和地圖上表示的航行路線。產生了地球在轉動的思想之後，需要新的力學原理來計算運動物體的路徑，這就又需要研究曲線。因為人們已能用大炮把炮彈射到幾百碼的距離之外，預先算好彈道和射程就成為極端重要的事。開普勒的《測量酒桶體積的新科學》（Nova Stereometria Doliorum Vinariorum，1615）掀起了計算面積和體積的新的研究工作。
數學家開始感到希臘人的證明方法缺乏一般性，幾乎每個定理都要想出一種特殊的方法來證。指出這一點的是早在1527年的阿格里帕·馮·內特海姆（Agrippa von Nettesheim，1486—1532）和莫魯裡克斯。
對新問題的大部分反應引起了對舊課題的小變動。人們一開頭就把圓錐曲線定義為平面上的軌跡，而不再像阿波羅尼斯那樣定義為圓錐面的截線了。例如，蒙特在1579年把橢圓定義為與兩焦點距離之和為常數的動點的軌跡。其它古希臘人研究過的許多曲線如尼科梅德斯蚌線、狄奧克萊斯蔓葉線、阿基米德螺線和希皮亞斯割圓曲線都被重新研究。一些新的曲線也研究出來了，著名的如旋輪線（即擺線）。所有這種工作雖都有助於傳播希臘人的學術成就，但都沒有提出什麼新的定理或新的證明方法。第一項有成就的創新工作是由於回答畫家提出的問題而產生的。
二、透視法工作中所提出的問題
畫家們搞出來的聚焦透視法體系，基本思想是投影和截面取景原理。現設人眼在O處觀察水平面上的一個矩形ABCD。從O到矩形四邊上各點的連線便形成一投射稜錐，其中OA、OB、OC及OD是四根典型直線。若在人眼和矩形間插入一平面，則投射錐上諸直線將穿過那個平面，並在其上勾畫出四邊形A'B'C'D'。截景和原矩形有什麼共同的幾何性質？原形和截景既不重合又非相似，它們也不會有相同的面積，事實上截景未必是個矩形。
這問題的一個推廣是：設有兩個不同的平面以任意角度與這同一個投射錐相截得到兩個不同的截景，它們有什麼共同的性質？這問題還可進一步推廣。設矩形ABCD是從兩個不同的點O'和O"來觀察，於是就有兩個投射錐。若在每個投射錐裡各取一截景，則由於每一截景應與矩形有某些共同的幾何性質，兩截景也應有某些共同的幾何性質。
17世紀的一些幾何學者開始找這些問題的答案。這些方法和結果是幾何一個新分支的開端，這個分支到了19世紀被人稱為射影幾何。
二、笛沙格的工作
直接尋找上述問題答案的第一個人是自學成名的笛沙格（1591—1661）。他先是陸軍軍官，其後成為一個工程師和建築師。笛沙格通曉阿波羅尼奧斯的著作，並覺得他能發明新方法來證圓錐曲線的定理。他確實這樣做了，並且充分認識到他這些方法的功效。他的頭一步工作是彙集許多有用的定理，起初是通過書信和傳單傳播他獲得的成果。他還在巴黎免費給人講課。後來他寫了幾本書，其中一本是教兒童學唱的書，另一本講幾何在泥瓦工和石工方面的應用。
他的主要著作是《試論錐面截一平面所得結果的初稿》（Brouillon project d'une atteinte aux événemens desrencontresdu cône avec un plan，1639）。在這書之前他於1636年出版了關於透視法的一本小冊子。在這部主要著作中，他論述了現今所謂的幾何中的射影法。
1845年沙勒（MichelChasles）偶然發現了拉伊爾（Philippe de La Hire）手抄的複本，由波德拉（N. G. Poudra）加以複製，並由他在1864年編輯了笛沙格的著作。1950年左右穆瓦齊（Pierre Moisy）在巴黎國立圖書館裡發現了一本1639年的原版本並複製發行。這新發現的版本中包含了重要的附錄和笛沙格所作的訂正。笛沙格關於三角形的主要定理和其他一些定理則於1648年發表在他朋友博斯（Abraham Bosse，1602—1676）所著的一本關於透視法的書的附錄中。博斯在他的這本《運用笛沙格透視法的一般講解》（Manière universelle de M. Desargues, pour pratiquer la perspective）中打算用通俗方式講解笛沙格的一些實用方法。
笛沙格用了一些奇怪的術語，使他的書難於閱讀。除了他的朋友梅森、笛卡爾、帕斯卡和費馬外，他的同時代人都稱他為怪人。笛卡爾知道了笛沙格工作的細節之後，對之高度推崇。費馬認為笛沙格是圓錐曲線理論的真正奠基者，並且覺得他寫的書思想豐富。但由於一般人未能欣賞，使笛沙格灰心喪氣，退休回到老家。
艾伯蒂指出，在作畫的實際圖景裡，畫面上的平行線（除非它們平行於玻璃屏板或畫面）必須畫成相交於某一點。例如下圖中的直線A'B'及C'D'相交於O'。這點O'並不對應於AB或CD上的任何普通的點，叫做沒影點，而A'B'或C'D'上任何其他的點都分別對應於AB或CD上某個確定的點。
笛沙格在AB上以及CD上引入一個新的點，叫做無窮遠點，把它看成兩平行線的公共點。平行於AB或CD的任何直線上都有這同一個點，並且都在該處與AB或CD相交。方向不同於AB或CD的任何一組平行線都同樣有一個公共的無窮遠點。由於平行線組的數目是無窮的，笛沙格的規定就是在歐幾里得平面上引入了無窮多新的點。他進一步假定所有這些點都在同一直線上，而這直線對應於截景上的水平線或沒影直線。這樣就在歐幾里得平面的已有直線中添入了一根新的直線。他假定一組平行平面上都有一根公共的無窮遠線；就是說，所有平行平面都相交於一直線。
平行線相交於每根線上的無窮遠點，這一規定是歐幾里得幾何裡一件方便的事，因它避免了特殊情形。現在就可以說任何兩直線必然恰交於一點。
開普勒也（在1604年）決定給平行線增添一個無窮遠點，但出於不同的理由。如下圖，對於通過P而交於l的每根直線，有l上的一點Q與之對應。但對於過P而平行於l的直線PR，卻沒有l上的點同它對應。但若增添PR及l共有的一個無窮遠點，開普勒便可斷言通過P的每根直線都交於l。又，在Q往右移向無窮遠而PQ變為PR後，可把PR與l的交點看成P左邊的一個無窮遠點，而當PR繼續繞P旋轉時，PR與l的交點Q'就從左邊移近。開普勒（以及笛沙格）認為直線的兩端是在無窮遠處會合的，因而認為直線和圓有同樣的結構。事實上，開普勒確實把直線看作是圓心在無窮遠處的圓。
引入了無窮遠點及無窮遠線後，笛沙格就敘述了一個基本定理（笛沙格定理）：對於從一點透視出去的兩個三角形，它們間成對的對應邊AB與A'B'、BC與B'C'以及AC與A'C'（或它們的延長線）相交的三個交點在同一直線上。反之，若兩三角形的三對對應邊相交於一直線上的三點，則連接對應頂點的三根連線必交於一點。在下圖中，這定理告訴我們，P、Q與R在一直線上。
笛沙格對二維和三維兩種情形都證明了正定理和逆定理。
在博斯的1648年著作的附錄裡記有笛沙格的另一基本結論：交比在投影下的不變性。一直線上四點形成的諸線段的交比定義為(BA /BC) / (DA /DC)。帕普斯早就引入過這個比，並證明了在AD及A'D'上的交比是一樣的。梅涅勞斯也有一個關於球面上大圓弧的類似定理。但他們都不是從投射錐和截景的觀點來考慮的。而笛沙格則是這樣考慮的，並且證明了投射線的每個截線上的交比都相等。
德薩格在他的主要著作（1639）裡處理了對合的概念，這是帕普斯早就引入而由笛沙格定名的。直線上若干對點A、B，A'、B'，以及A"、B"等說是對合的，如果該直線上有一特定點O（名叫對合中心），使OA * OB = OA' * OB'= OA" * OB"等。點A和B，A'和B'，以及A"和B"叫做共軛點。若有一點E使OA * OB = OE²，則E叫做二重點。還有另一個二重點F，而O是EF的中點。O的共軛點是無窮遠點。笛沙格在一根與三角形三邊相交的直線上應用梅涅勞斯定理，證明在A、B、A'及B'有對合關係時，若從點P把它們投射到另一直線上，成為點A1、B1、A1'及B1'，則這第二組點也是對合的。
關於對合關係，笛沙格證明了一個主要定理。設B、C、D及E是平面上任意四點，其中沒有任何三點是共線的，四點就確定了六根直線，形成完全四邊形的各邊。對邊是彼此不相交於四點之一的兩邊，包括兩條對角線。三對對邊的交點O、F與A是四邊形的對邊點。今設四個頂點B、C、D、E在一圓上，如果一直線PM交各組對邊於P、Q、I、K以及G、H，交圓於L、M，那麼這四組點是四組對合的點。
另外，設在圖形平面外一點作投射，原圖裡的圓就變成截景裡的一個圓錐曲線，原圖裡的每根直線變成截景裡的某根直線；特別是圓內接四邊形就變成圓錐曲線內接四邊形。由於對合關係在投影后還是對合關係，故得出一個重要而普遍的結論：若作一圓錐曲線的內接四邊形，則任一不過頂點的直線與圓錐曲線以及與完全四邊形對邊相交的四對點有對合關係。
笛沙格其次引入了調和點組（也稱“調和點列”）的概念。點A、B、E及F說是一調和點組，如果相對於對合關係中的二重點E和F來說，A與B是共軛點。（現今定義交比等於-1的點組為調和點組，那是以後的說法。）由於對合關係經投射後仍為對合關係，故調和點組經投射後仍為調和點組。接著笛沙格又證明若調和點組中的一點是無窮遠點，則與之相配的另一點平分其他兩點間的線段。又，若A、B、A'及B'是調和點組（下圖），從O作投射，則當OA'垂直於OB'時，OA'平分AOB角，而OB'平分它的補角。
有了調和點組的概念之後，笛沙格進而闡釋極點與極線的理論。如下圖，從圓外一點A出發交圓於C及D的任一直線上，必有第四個調和點B。所有的第四調和點都位於一直線上，這直線BB'就是點A的極線。圓內接完全四邊形CDD'C'以A為一個對邊點，則A的極線將通過這完全四邊形的另外兩個對邊點（R是其中一個）。當A在圓內時，同樣的斷言也成立。若A在圓外，則A的極線是從A所引圓的兩根切線的切點P、Q的連線。
對於圓證明了上述斷言之後，笛沙格又用從圖形平面外一點所作的投射及其一個截景來證明這些斷言對任何圓錐曲線都成立。
笛沙格把圓錐曲線的直徑看作無窮遠點的極線。設有一組平行線與圓錐曲線相交，若A'B'是其中一直線，則A'B'上關於A'及B'而言的無窮遠點的調和共軛點是弦A'B'的中點B。平行弦族的這些中點位於一根直線上，而這直線按阿波羅尼奧斯的定義也是直徑。
德薩格不僅引入了無窮遠元素等新的概念以及許多新的定理，尤其重要的是他引入了以投射和截景作為一種新的證明方法，而且通過投射和截景統一處理了幾種不同類型的圓錐曲線，而阿波羅尼奧斯則是把每類圓錐曲線分別處理的。在這一個天才輩出的世紀裡，笛沙格是最有獨創精神的數學家之一。
四、帕斯卡和拉伊爾的工作
對射影幾何作出貢獻的第二個主要人物是帕斯卡（1623—1662）。他生於法國克萊蒙（Clermont），從小多病，並在其短暫的一生中身體一直不好。在帕斯卡8歲時，他家遷到巴黎。早在孩提時，他就同他父親參加每週一次的“梅森學院”（其後變為自由學院，並於1666年變為科學院）的例會。當時會員中有梅森神甫、笛沙格、羅貝瓦爾（法蘭西學院數學教授）、米道奇（Claude Mydorge，1585—1647）和費馬。
帕斯卡把相當多的時間和精力用於研究射影幾何。他是微積分的創始人之一，並在這方面對萊布尼茨有所影響。他也參與了開創概率論的工作。他在19歲的時候發明了第一架計算機，以幫助他父親幹課稅員的工作。他在物理上也有些貢獻，如獨創一種抽真空的器械，發現空氣重量隨高度的增加而遞減，闡明液體中的壓力概念。
帕斯卡是法文散文大師，他的《思想錄Pensées》和《致外省人書Lettres provinciales》是經典文學作品。他也是出名的哲學辯論家。他從童年時期起便想把宗教信仰和數學及科學的理性主義調和起來，而在這兩方面的興趣在他一生中都分去了他的精力和時間。他也和笛卡爾一樣，相信科學真理必須清楚而分明地符合感性認識或符合理智，或者是這類真理的邏輯推論。他認為在科學和數學問題上不該有故弄玄虛之處。“凡有關信仰之事不能為理智所考慮。”在科學問題上只牽涉我們的自然思維，權威是無用的，科學知識只能建立在理智的基礎上。但信仰的奧秘是感覺和理性所不能察知的，所以必須憑聖經的權威加以接受。他譴責那些在科學上濫用權威以及在神學上使用理智的人。然而信仰的境界比理智更高出一層。
宗教在他24歲以後主宰了他的思想，雖然他仍繼續從事數學和科學工作。他認為單純作為一種樂趣來從事科學工作是錯誤的。以樂趣為主要目的而搞研究是糟蹋了研究，因那樣的人懷有“一種對學問的貪慾之心，對知識的無厭嗜求……這種對科學的鑽研首先出於以自我為中心的關懷，而不是著眼於在周圍一切自然現象中找出神的存在和榮耀”。
他的數學工作主要是憑直觀的，他預告了重大的結果，作出了高明的猜測，看出了推理和運算的捷徑。在他生命的後期，他把一切真理之源歸之於直觀。“心有其理，非理之所能知。”“未諳真理者，才發現需用理智這種遲緩迂迴的方法。”“孱弱無能的理智啊，你該有自知之明。”
1660年8月10日帕斯卡去世前不久給費馬的一封信中寫道：“隨便談到數學，我覺得它是對精神的最高鍛鍊；但同時我又覺得它是那麼無用，以致使我覺得一個單純的數學家同一個普通工匠極少差別。我也覺得它是世界上最可愛的職業，然而僅僅是一種職業；我也常說想[學數學]是件好事，但為此費力則不然。所以我不願為數學而多走兩步，而我想你也會深有同感。”帕斯卡是個多才多藝然而性格矛盾的人。
笛沙格敦促帕斯卡研究投射和取截景法，並建議他要把圓錐曲線的許多性質簡化為少數幾個基本命題作為目標。帕斯卡接受了這些建議。1639年他16歲時就用投射法寫了關於圓錐曲線的著作。這本著作現已失傳，但萊布尼茨確於1675年在巴黎見過，並對帕斯卡的侄甥談過這作品的內容。有一篇長約8頁的《略論圓錐曲線》（Essays on Conics，1640）當時只有少數人知道，旋即失傳，直到1779年才重新發現。笛卡爾曾見過1640年的這篇短文，覺得如此出色，竟然不相信它是一個這樣年輕的人寫的。
帕斯卡在射影幾何裡的一個最著名的結果是現今以他的名字命名的定理。若一六邊形內接於一圓錐曲線，則每兩條對邊相交而得的三點在同一直線上。
通過投射和取截景，它必對所有圓錐曲線都成立。關於兩直線的每根線上有三點的那個帕普斯定理也是上述定理的一個特例。當圓錐曲線退化為兩條直線（例如當雙曲線退化為它的漸近線時），就得出帕普斯定理。
帕斯卡定理的逆定理（即若一六邊形的三對對邊的三個交點共線，則六邊形頂點在一圓錐曲線上）也是成立的，但帕斯卡並沒有加以考慮。
投射和取截景法也為拉伊爾（1640—1718）所接受。拉伊爾年輕時是個畫家，以後轉而研究數學和天文。拉伊爾也同帕斯卡一樣受了笛沙格的影響，並在圓錐曲線方面做了相當多的工作。有些結果發表在1673年和1679年的論文中，是按希臘人的綜合方法但採用了新的觀點，例如以焦點—距離來定義橢圓及雙曲線，有些結果應用了笛卡爾和費馬的解析幾何。他的最大著作是《圓錐曲線》（Sectiones Conicae，1685），這是專門研究射影幾何的。
他先證明了牽涉到調和點組的圓的性質，然後通過投射和取截景推廣到任一類圓錐曲線。在這部著作中，雖然漏掉了一些材料，如笛沙格的對合定理和帕斯卡定理，但幾乎包括了現今關於圓錐曲線的所有熟知的性質，並且都用綜合方法證明，作出了有系統的陳述。拉伊爾幾乎全部證明了阿波羅尼奧斯的364個關於圓錐曲線的定理。書中也有關於四邊形的調和性質。他打算以此表明投射法比阿波羅尼奧斯的方法高明，也比當時已經創立的笛卡爾和費馬的新的解析方法優越。
總的說來，拉伊爾所得結果並未超出笛沙格的和帕斯卡的。但在極點和極線理論上他有一個重大的新結果。他證得：若一點在直線上移動，則該點的極線將繞那直線的極點轉動。例如，若Q（下圖）沿直線p移動，則Q的極線繞直線p的極點P轉動。
五、新原理的出現
在笛沙格、帕斯卡和拉伊爾這些人得出的一些特殊定理之外和之上，當時開始出現一些新的思想和觀點。第一個是關於一個數學對象從一個形狀連續變到另一形狀的思想，這裡的數學對象就是幾何圖形。從開普勒1604年的《天文學的光學部分》（Astronomiaepars Optica）裡，可以看出他似乎是第一個掌握了這一事實的人：拋物線、橢圓、雙曲線、圓、由兩直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中之一連續變為另一個。開普勒設想一個焦點固定而讓另一個焦點在它們的連線上移動。若讓動點移向無窮遠（同時讓偏心率趨於1），橢圓就成為拋物線；然後讓那個動焦點又出現在定焦點的另一方，這時拋物線就變成雙曲線。當兩焦點合而為一，橢圓變成圓；當雙曲線的兩焦點合在一起，雙曲線便退化為兩直線。要使一焦點從一個方向移往無窮遠而又從另一個方向重新出現，開普勒就假定了直線向兩端無限延伸之點在無窮遠處合成一點，從而賦予直線以圓的性質。雖然在直觀上這樣看待直線並不令人滿意，但這種思想在邏輯上是合理的，而且事實上在19世紀的射影幾何裡成為一個基本定理。開普勒又指出，若連續改變那個截割圓錐的平面的傾角，便可得各種不同的圓錐曲線。
帕斯卡也應用了圖形連續變化的觀點。他讓六邊形的兩相鄰頂點彼此靠近合而為一，使之變成一五邊形。然後他考察六邊形的性質在圖形連續變化時出現什麼情況，來推斷出五邊形的性質。同樣，他從五邊形變到四邊形。
從射影幾何研究工作中明顯出現的第二個思想是變換和不變性。從某點作一圖形的投射，然後取其截景，就是把原圖形變換成一個新圖形。原圖形中值得研究的性質是那些在變換後保持不變的性質。17世紀的其他一些數學家如聖文森特的格雷戈裡（Gregory of St. Vincent，1584—1667）和牛頓還引入了投射取截法之外的其他變換。
射影幾何學家也著手進行代數學家（特別是韋達）所開創的尋求一般方法的研究。在希臘時代，證明方法的功效是有限的。每個定理都需要新的一種辦法。歐幾里得和阿波羅尼奧斯似都不關心找一般方法。但笛沙格卻強調投射取截法，因他看出凡是對圓證明了的性質，都可拿它作為一般方法來證明它們對圓錐曲線也成立。他又從對合與調和點組的概念，看到有比歐幾里得幾何裡更一般性的概念。事實上，四個形成調和組的點，若其中之一在無窮遠處，就變成三個點，其中一點在另外兩點連線的中點處。於是調和點組的概念及有關的定理比一點平分一線段的概念更一般。笛沙格和帕斯卡想從單獨一個定理推出儘可能多的結果來。博斯說笛沙格從他的對合定理推出了阿波羅尼奧斯的60個定理，受到帕斯卡的稱頌。
帕斯卡通過尋求不同圖形之間的關係也想找出處理這些圖形的共同原理。據說帕斯卡從他關於六邊形的定理得出了約400個系，但現在找不到他在這方面的著作了。注重方法的精神在拉伊爾1685年的著作中是很明顯的，因它的主要目標是顯示投射取截法比阿波羅尼奧斯的方法、甚至比笛卡爾的代數方法優越。追求結果與方法的一般性，在其後的數學工作中成為一股強大的力量。
幾何學家無意中又發掘出另一類一般性。許多定理，如笛沙格的三角形定理，處理的是點和線的相交問題，而不是像歐幾里得幾何裡處理的線段、角度和麵積的大小問題。線的相交這一事實在邏輯上應先於考慮量的大小，因為正是相交這樣的事實才確定了一個圖形的組成。幾何的一個新的基本的分支誕生了，它著重位置和相交方面的性質，而不是大小和度量方面的性質。
雖然射影幾何方面的工作起初是為了想給畫家提供幫助而研究的，但後來就分散到圓錐曲線方面並與之合流，因那時對圓錐曲線的興趣又高漲起來了。不過純粹數學並不迎合17世紀的時尚，那時的數學家對理解自然和控制自然的問題——簡言之就是對科學問題——遠比這個來得關心。用代數方法處理數學問題一般更為有效，特別是易於得出科技所需要的數量結果。而射影幾何學家用綜合方法得出的定性結果並不那樣有用。因此射影幾何就讓位給代數、解析幾何、微積分，而這些學科又進一步產生出在近代數學中佔中心地位的其他學科。笛沙格、帕斯卡和拉伊爾得出的結果被人遺忘了，直到19世紀才又重新被人發現，而那時候新獲得的結果和新觀點使數學家能培育出潛伏在射影幾何裡的重要思想。
下一講座標幾何。
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