中點是幾何中的一個重要概念，體現了對稱、和諧之美，是中考的核心考察對象之一，在命題中佔著重要的一席之地. 很多同學遇到幾何題就頭疼，很大的原因是沒有掌握一些解題模型，也就是套路。在此特殊防控新型肺炎疫情的寒假階段，通過系統學習歸納好總結文章的學習，再輔助必要練習，在家自主學習也是突破幾何中難點行之有效的策略，也能學得精彩。
本文擬從與三角形中點有關的基本定理、基本圖形等入手，以最新考題為例，對中點問題展開解法探究.
模型一 多箇中點出現或平行 ＋中點（中點在平行線上）時，常考慮或構造三角形中位線
1．（2020•鄭州模擬）如圖，在△ABC中，BC＝6，E，F分別是AB，AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE於點D，∠CBP的平分線交CE於點Q，當CQ＝1/3CE時，EP+BP的值為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【解析】延長BQ交射線EF於M，根據三角形的中位線平行於第三邊可得EF∥BC，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠M＝∠CBM，再根據角平分線的定義可得∠PBM＝∠CBM，從而得到∠M＝∠PBM，根據等角對等邊可得BP＝PM，求出EP+BP＝EM，再根據CQ＝1/3CE求出EQ＝2CQ，然後根據△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．故選：C．
2．（2019春•睢寧縣期中）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE於點E，點F是BC的中點．
（1）如圖1，BE的延長線與AC邊相交於點D，求證：EF＝1/2（AC﹣AB）；
（2）如圖2，請直接寫出線段AB、AC、EF的數量關係．
【解析】（1）先證明AB＝AD，根據等腰三角形的三線合一，推出BE＝ED，根據三角形的中位線定理即可解決問題．
（2）結論：EF＝1/2（AB﹣AC），先證明AB＝AP，根據等腰三角形的三線合一，推出BE＝ED，根據三角形的中位線定理即可解決問題．
理由：如圖2中，延長AC交BE的延長線於P．
∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AP，
∵AE⊥BD，∴BE＝PE，
∵BF＝FC，
∴EF＝1/2PC＝1/2（AP﹣AC）＝1/2（AB﹣AC）．
模型二 直角三角形中遇到斜邊上的中點，常聯想“斜邊上的中線等於斜邊的一半”
3．（2019秋•高港區校級月考）如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，D是AB上一點（不與A．B重合），DE⊥BC於E，若P是CD的中點．
（1）請判斷△PAE的形狀，並說明理由；
（2）若△PAE為等邊三角形，求∠ACB的度數．
【解析】（1）△PAE的形狀為等腰三角形.
由Rt△DAC斜邊上的中線性質得出PA＝PC＝1/2CD，由Rt△DEC斜邊上的中線性質得出PE＝PC＝1/2CD，所以PA＝PE，即得出結論；
（2）∵PC＝PA＝PE，∴∠ACP＝∠CAP，∠PCB＝∠PEC，
∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝1/2×（180°﹣60°﹣60°）＝30°．
4．（2019•福建模擬）已知點P是Rt△ABC斜邊AB所在直線上的一個不與A、B重合的動點，分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F，點Q為斜邊AB的中點
（1）當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關係是______，QE與QF的數量關係是_____，並說明理由；
（2）當點P不與點Q重合時，判斷QE與QF的數量關係並給予證明．
【解析】（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關係是AE∥BF，QE與QF的數量關係是AE＝BF，
根據AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE＝BF即可；
（2）①當點P在線段AB上不與點Q重合時，QE＝QF，
②當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論成立，
延長EQ交BF於D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ＝QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可；延長EQ交FB於D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ＝QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可．
模型三 等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯想“三線合一”的性質
5．（2019秋•海淀區校級期中）已知：在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分別是線段BC，AC上的一點，且AD＝AE，
（1）如圖1，若∠BAC＝90°，D是BC中點，則∠2的度數為______；
（2）藉助圖2探究並直接寫出∠1和∠2的數量關係______．
【解析】（1）根據三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根據等邊對等角的性質∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，進而得出∠BAD＝2∠CDE． ∠2的度數為22.5° ；
（2）根據三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根據等邊對等角的性質∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，進而得出∠BAD＝2∠CDE．∠1＝2∠2
6．（2019秋•南昌期中）在△ABC中，AB＝AC，點D在邊BC上，點E在邊AC上，且AD＝AE．
（1）如圖1，當AD是邊BC上的高，且∠BAD＝30°時，求∠EDC的度數；
（2）如圖2，當AD不是邊BC上的高時，請判斷∠BAD與∠EDC之間的關係，並加以證明．
【解析】（1）由AD是邊BC上的高，得到∠ADC＝90°，根據等腰三角形的性質得到即可得到結論，∠EDC＝15°；
（2）∠BAD＝2∠EDC.
根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，根據三角形外角的性質得到∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EDC，於是得到結論．
模型四 遇到三角形一邊垂線過這邊中點時，可以考慮用垂直平分線的性質
7．（2019秋•沛縣期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點P在AC上運動，點D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC於點E，交BD於點F，連接DE．
（1）判斷DE與DP的位置關係，並說明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求線段DE的長．
【解析】（1）DE⊥DP。
連接OD，根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠PDA，根據線段垂直平分線的性質得到EB＝ED，於是得到結論；
（2）連接PE，設DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根據勾股定理即可得到結論．則DE＝4.75．
8．（2019春•張店區期末）如圖，AB垂直平分線段CD（AB＞CD），點E是線段CD延長線上的一點，且BE＝AB，連接AC，過點D作DG⊥AC於點G，交AE的延長線與點F．
（1）若∠CAB＝α，則∠AFG＝______（用α的代數式表示）；
（2）線段AC與線段DF相等嗎？為什麼？
（3）若CD＝6，求EF的長．
【解析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠BAE＝∠AEB＝45°，根據三角形的內角和即可得到結論；
（2）連接AD，根據線段垂直平分線的性質得到AC＝AD，求得∠ADC＝∠ACB＝α，於是得到AC＝DF；
（3）根據已知條件得到BD＝CB＝3，過F作FH⊥CE交CE的延長線於H，得到△EHF是等腰直角三角形，求得FH＝HE，根據全等三角形的性質即可得到結論．EF＝3√2．
模型五 遇到三角形一邊上的中點（中線或與中點有關的線段），考慮倍長中線法構造全等三角形
9．（2019秋•南京月考）小明遇到這樣一個問題，如圖1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值範圍．
小明發現老師講過的"倍長中線法"可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構造△BED≌△CAD，經過推理和計算使問題得到解決．
請回答：（1）小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：______（用字母表示）
（2）AD的取值範圍是________.
小明還發現：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構造．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G、F分別為AD，BC邊上的點，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．
【解析】（1）根據SAS即可證明△BED≌△CAD．
（2）在△ABE利用三邊關係定理即可解決．
解決問題：延長GE交CB的延長線於M．只要證明△AEG≌△BEM，推出AG＝CM＝2，再根據線段的垂直平分線的性質，即可解決問題．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，
易證△AEG≌△BEM（AAS），∴GE＝EM，AG＝BM＝2，
∵EF⊥MG，∴FG＝FM，
∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，∴GF＝FM＝6．
模型六 中線等分三角形面積
10.我們知道三角形一邊上的中線將這個三角形分成兩個面積相等的三角形．如圖1，AD是△ABC邊BC上的中線，則S△ABD＝S△ACD.
（1）如圖2，△ABC的中線AD、BE相交於點F，△ABF與四邊形CEFD的面積有怎樣的數量關係？為什麼？
（2）如圖3，在△ABC中，已知點D、E、F分別是線段BC、AD、CE的中點，且S△ABC＝8，求△BEF的面積S△BEF
方法綜述
中點常常可以與等腰三角形、直角三角形等結合，還可以與另一箇中點構成中位線模型，或者採取倍長中線等方法，這些都是處理中點問題的常見策略.在解決與中點有關的問題中，大家可以聯想這些基本圖形，構造相應輔助線，勇於嘗試，敢於探索.
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