聊聊“化圓為方”那些事

人們常用‘大海撈針’，‘煎水作冰’ ，‘化圓為方’等成語表示不可能完成的事情。這其中，‘化圓為方’蘊含著豐富的數學知識與數學思想，你知道是什麼嗎？此外，為什麼‘化圓為方’就意味著不可能呢？數學家們又是如何證明其不可能性的呢？下面讓我們一起來探究這個有趣的問題。

來源

“化圓為方”最早由古希臘學者阿那克薩哥拉提出，他生活在公元前 5 世紀，在數學和哲學領域都有所貢獻。相傳他因褻瀆神靈被捕入獄，在獄中實在過於無聊，便提出了這麼一個作死問題:"怎樣作出一個正方形，才能使它的面積與某個已知圓的面積相等？" 這就是化圓為方問題。之所以說這個問題作死，是因為阿那克薩哥拉雖然提出了這個問題，卻不能提供參考答案，並且在這之後的 2400 多年裡，無數大神們在這個問題上折戟沉沙，鎩羽而歸。

▲ 阿那克薩哥拉, 前 500 年 - 前 428 年(圖自維基)

背景

化圓為方是典型的尺規作圖問題。所謂尺規作圖(Compass-and-straightedge)，就是隻准許使用不帶任何刻度的直尺和圓規繪製目標圖形。 這種苛刻的作圖條件使得原本很簡單的幾何作圖中產生了一批著名的數學難題，化圓作方便是其中傑出代表。除此之外，還有三等分角問題和立方倍積問題，它們並列為尺規作圖三大難題。

未來還會有另外文章介紹餘下兩個問題。

▲ 化圓為方：求一正方形，其面積和一已知圓的面積相同(圖自維基)

在這裡我們有必要先了解下尺規作圖，在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是：

直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。

圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，將兩個端點同時移動，或者只固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。

定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法(The basic constructions)：

• 通過兩個已知點，可以作出一直線。
• 已知圓心和半徑，可以作出一個圓。
• 若兩已知直線相交，能夠確定其交點。
• 若已知直線和一已知圓相交，能夠確定其交點。
• 若兩已知圓相交，能夠確定其交點。

▲ 作圖公法的五種基本步驟

尺規作圖研究的，就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：“給定某某條件，能否用尺規作出某某對象？”比如：“給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？”，等等。

故有：化圓為方問題的完整敘述是： “給定一個圓，是否能夠通過以上說明的五種基本步驟，於有限次內作出一個正方形，使得它的面積等於圓的面積”。

如果將圓的半徑定為單位長度，則化圓為方問題的實質是作出長度為單位長度√π 倍的線段。

證明

要想證明化圓為方的不可能性，即要證明：在尺規作圖的條件下，無法作出長度為單位長度√π 倍的線段，這等價於從 1 開始作出 π 。那麼，是否可以做出呢？

結合我們所知情況，答案顯然是不能。

因為能夠用尺規作出的數 z 都有對應的最小多項式，即存在有理係數的多項式 m，使得 m(z)=0。

但對於圓周率 π 來說，這樣的多項式不存在（由 1882 年林德曼等人證明）。所以無法用尺規作出數 z=π ，故化圓為方的不可能性得證。

數學上將類似於 這樣沒有對應的多項式的數稱為超越數，有對應的多項式的數稱為代數數。

上面關鍵之處在於林德曼等人的證明，他們用到了現在稱為林德曼－魏爾斯特拉斯定理的結論。

相關解法

雖然數學家們已經相互獨立的證明了超越數不可能由尺規作圖構造出來，但這並不影響人類天才解決問題的步伐。下面是一些獨特的解法，受過啟發的你能不能提出更好的想法呢？

1. 利用密率，近似作圖

根據前面所講，化圓為方不可能性的本質在於 π 是超越數，如果將其轉換為可用尺規作圖方式作出的規矩數 z ，就可以化不可能為可能，解決問題。

沿著這個思路，我們找到了“密率：355/113”，這一關鍵數。它由中國偉大數學家祖沖之最先發現，是一個與圓周率 π 非常近似且分子分母都是正整數的分數（也就是規矩數，屬於代數數），可作出 π 的近似長度。

密率 ，是圓周率比較精確的一個分數近似值。出自《隋書·律曆志上》：“密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，週二十二。”

主要過程如下： 首先，轉換形式：

然後，我們注意到最右邊分數，由四則運算和平方構成，符合尺規作圖要求，所以我們可將其用尺規作圖方法作出來。 尺規作圖過程：

現在來論證目標線段 AG的長度： 由 △AEF ∽ △ADO 相似，得

在 △AEF 中，有

由 △AEG ∽ △ADF 相似，得

這樣我們可以在一條直線上畫出 AG + 3AO 這麼長的線段。如下圖紅線段所示：

接下來我們要作出長度為 √π 的線段： 如上圖所示，

1. 再在長度為 的線段的右側同一直線上接上一條長度為 1（也就是 AO）的線段
2. 以這兩條線段的長度為直線作半圓
3. 過這兩條線段的交界點作這兩條線段的垂線（圖中藍色），與半圓相交
4. 根據相交弦定理，交點到直徑的距離就為 √π 。

最後：我們就以這條垂線段為一邊作正方形。這樣，這個正方形的面積就極為近似地等於 π，即等於半徑為 1 的圓的面積。 問題解決，利用密率，近似化圓為方！

2. 達芬奇解法

上個解法是近似作圖，畢竟 355/113 不真等於 π，現在我們跳出尺規作圖這個框架，會發現思路開闊許多。

用已知圓為底，圓半徑的 1/2 為高的圓柱，在平面上滾動一週，所得的矩形，其面積恰為圓的面積，如圖：

證明：

最後，將所得矩形轉化為等面積的正方形即可。

這樣，化圓為方的問題得到了解決。這種方法由歐洲文藝復興時期意大利數學家達芬奇提出，所以又稱達芬奇解法。當然，這種解法雖然有新穎獨特，極易理解等諸多優點，但問題也是存在的。首先是不精確，可操作性不強，所得結果誤差較大。其次，違背了題設條件-尺規作圖，用了直尺圓規以外的工具，這種開掛操作估計很難讓人信服。不過這種從多方面多角度去看問題、分析問題和解決問題的思維方式還是很值得我們認真學習。

結論

綜上，想必大家對化圓為方問題已經有了大致瞭解。因為 π 為超越數，無法用尺規作圖作出，所以化圓為方為一不可能事件。當然，這是建立在須用尺規作圖的條件下，現代計算機藉助代數工具已經可以完美地化圓為方，將不可能化為可能，解決了這個千年難題。

那麼這幾千年來無數英雄好漢前赴後繼地研究這個不可能事件是不是就沒有意義？顯得太傻了呢？

同世間大多事一樣，數學的迷人之處從不在於答案，而在於探索問題的過程，解決問題的方法，方法中蘊含的思想，思想裡體現的深刻哲理。或許很多時候最後會發現如化圓為方一樣是沒有答案的，但細細品味整個思維過程產生的一些新思路、新方法和由此派生出的新哲理，你獲得的這些早已超越了問題本身，不是嗎？

本文作者：墨水(遇見數學核心成員)，喜歡鑽進書堆的傻貓一隻，愛數學，愛運動，更愛喜歡數學的你們！

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關鍵字: 數學 問題 祖沖之