阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作！————

克莱因《古今数学思想》

前言

古希腊数学的黄金时代曾诞生了著名的“古希腊数学三杰”，其中的欧几里得和阿基米德都是我们比较熟悉的数学家，而大多数人却都对其中最后一名数学家阿波罗尼奥斯比较陌生。但出人意料的是，尽管阿基米德是公认的古希腊最杰出的数学家，但真正能代表古希腊几何学最高成就的著作恰恰来自这位我们不太熟悉的数学家。阿波罗尼奥斯的杰出成就在于他系统地建立和发展了古典的圆锥曲线论，而后完成了集大成之作《圆锥曲线论》。这听起来似乎像是天方夜谭，圆锥曲线居然是两千多年前就已经出现的？！

圆锥曲线论在我国是高中数学最重要的数学内容之一，它往往让不太擅长数学的学生感到非常头痛。由于其复杂性，圆锥曲线论比欧式几何难学，但事实上，它们却是差不多同一时代的产物。课本给我们的错觉是圆锥曲线论应该是是笛卡尔时代的数学，但它确确实实来自公元前的古希腊。

阿波罗尼奥斯

阿波罗尼奥斯(Apollonius)出生于小亚细亚地区的佩加(Perga，今属土耳其)，因此他常常也被称为Apollonius of Perga，阿波罗尼奥斯的生卒年不详，大约生活在公元前三世纪中后期。他的青年时期是在当时的“智慧之都”亚历山大城（今埃及的亚历山大港）度过的，做为强盛的托勒密王朝的首都，亚历山大城是当时的地中海地区的政治和经济文化中心，也是数学发达之地。阿波罗尼奥斯在这里跟随欧几里得的后继者们学习数学，在托勒密四世时期(前221~前205)，阿波罗尼奥斯已经颇具名气。

今天的亚历山大港

后来他又前往帕加马（Pergamum）王国，并受到国王阿塔罗斯一世的赏识，后来阿波罗尼奥斯所完成的巨著《圆锥曲线论》中的后5卷名义上都是献给这位国王的。除此之外，阿波罗尼奥斯的其他生平事迹都没有文献记载过，因此他的事迹并不广为人知，这也是他在后世名气不如欧几里得和阿基米德的原因之一。

阿基米德

事实上，在阿波罗尼奥斯之前，就有数学家考虑过圆锥曲线，例如梅内克缪斯和著名的阿基米德，但由于没有找到合适而统一的数学描述方法，他们都没有将研究推进下去。而阿波罗尼奥斯的创举正在与他找到了圆锥曲线的统一描述方式，也就是用不同的平面去横截两个对顶的圆锥，从而得到不同的圆锥曲线，也就是椭圆，抛物线和双曲线(阿波罗尼奥斯是第一个意识到双曲线有两个分支的数学家)。通过这样的方法，他成功地系统讨论了关于圆锥曲线的相关性质，而后将这些结果全部总结进了《圆锥曲线论》一书中。

做为欧几里得的“门徒”，阿波罗尼奥斯充分继承了欧几里得的数学精神，这完全提现在了《圆锥曲线论》一书的写作方法上。《圆锥曲线论》和《几何原本》一样，也是通过尽可能少的定义和公理，进而推导出整个理论体系。但也必须指出，阿波罗尼奥斯在写作此书时，借鉴和使用了一些前人的结果，例如《几何原本》和阿基米德著作中的成果。他在引用这些结果时，常常不进行证明，而且也不说明出自哪里，这样的做法受到了不少后世学者的非议，甚至有人极端地认为阿波罗尼奥斯是在“厚颜无耻”地占据前辈的成就。但纵观全书我们可以发现，《圆锥曲线论》是一本具有高度原创性质的著作，它所代表的数学思想几乎已经超越了所有的前辈，由此看来，阿波罗尼奥斯确实犯不着去“占据”前辈的成就。

《圆锥曲线论》

《圆锥曲线论》全书分为八卷，共有487个命题，但非常遗憾的是，只有前七卷流传至今，这七卷的主要内容为：

第一卷描述了如何利用平面截对顶圆锥获得圆锥曲线，进而讨论了诸如弦，(共轭)直径，切线等的定义和基本性质。特别要说明的是，阿波罗尼奥斯的描述方法完全是几何的，当时并没有坐标这种概念。

第二卷讨论了圆锥曲线直径和轴的求法以及双曲线渐近线的作法与性质。

第三卷讨论了切线与轴所围成的面积以及圆锥曲线焦点的性质。

第四卷讨论了极点和极线的性质以及不同的圆锥曲线相交的情况，特别地，阿波罗尼奥斯证明了两条不同的圆锥曲线至多只有四个交点。

第五卷讨论了定点到圆锥曲线的最短和最长线段，此卷也成为了全书最具创造性的一卷。

第六卷讨论了圆锥曲线的全等和相似。

第七卷讨论了具有中心的圆锥曲线的共轭直径的性质。

可以看出，《圆锥曲线论》的内容确实博大精深，所包含的知识远比我们在高中时所接触的丰富，其中一些还是大学解析几何的内容。正如我们前面所说，《圆锥曲线论》定义圆锥曲线所采用的是纯几何的截面方法，但在阿波罗尼奥斯之前，已经产生了利用焦点和准线定义圆锥曲线的方法：

圆锥曲线是平面内到定点（焦点）和到定直线（准线）的距离之比为常数（离心率）的点的轨迹，这也就是我们所说的圆锥曲线的第二定义。

关于第二定义这一知识至迟已被欧几里得所知，但限于时代的局限，没有人可以通过第二定义推导出圆锥曲线的系统理论，这也正是为什么阿波罗尼奥斯要采用截面的原因。

看到这里，可能大家都有一个疑问，既然阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》代表了古希腊几何的最高成就，为什么它的知名度却远不如欧几里得的《几何原本》呢？其中的原因可能在于：

在阿波罗尼奥斯之后，古希腊数学迅速走向衰落，没有再出现伟大的几何学家，也就无人可以充分理解《圆锥曲线论》的光辉数学思想。不久之后，罗马人攻陷希腊本土，焚毁了当时规模最大藏书最丰富的亚历山大图书馆，然后以严酷的宗教思想禁锢人们的科学思维，这使得《圆锥曲线论》并没有得到充分的传播和研究。

由于《圆锥曲线论》思想过于超前，这使得它在自诞生之后的一千多年里基本没有得到实际应用，这与《几何原本》是很不同的。直到伽利略和开普勒在天文学和力学的研究中使用圆锥曲线以后，它的真正作用才开始显露出来。如果问为什么数学往往是超越时代的，那么《圆锥曲线论》可以给出一个完美的解释。

开普勒第三定律图示

重生

对于推动几何学的发展而言，《圆锥曲线论》可谓功不可没，它的作用绝不亚于《几何原本》。欧洲大陆在经历漫长的中世纪黑暗之后，又兴起了研读古希腊经典文献的热潮，但当他们拿起《圆锥曲线论》之后，却陷入尴尬境地之中，阿波罗尼奥斯已经极尽了研究圆锥曲线的几何方法，以至于后来者完全无法插足其中。

而且随着代数学的兴起，几乎毫无发展的几何学颇有“夕阳西下”之势，这一局面在射影几何诞生之后才有所改观。射影几何用更加先进的几何思想来审视几何对象之间的关系，也就重新解释并升华了《圆锥曲线论》的内容和思想。完成这一创举的数学家包括有我们比较熟悉的德萨格和帕斯卡等人，特别地，帕斯卡证明了著名的“帕斯卡六边形定理”：

对于内接于圆锥曲线的六边形，它的三对对边的延长线相交所产生的三个点共线。

这样的命题显然是阿波罗尼奥斯无法证明的。

但就如今的观点来看，射影几何却已经是历史上纯几何发展道路上最后的高潮。直到笛卡尔和费马时代，《圆锥曲线论》仍然是几何学家手中最重要的资料。对于解析几何的创立而言，《圆锥曲线论》这本将近两千年前的著作同样也是首屈一指的功臣，实际上，费马最早就是在研读这本著作的过程中逐渐产生了解析几何的数学思想。在这里，我们也要多说一句，《圆锥曲线论》中事实上已经包含了原始的坐标思想，但在复杂的纯几何观点下，它始终是无法发展起来的。

自解析几何创立之后，圆锥曲线的研究范围被大大扩展，例如它的理论已经被推广到曲面中去，包括椭球面，双曲面，椭圆抛物面等等。随着微积分的横空出世，微分几何开始兴起，研究圆锥曲线变得更加简单，自此之后，纯几何愈发式微，如今已经只能怀念了。

圆锥曲线的重要性如今已不言而喻，小到微观，大至宇宙，它无处不在，例如地球的轨道十分接近椭圆，而太阳正位于其中一个焦点。在实际生产生活中，圆锥曲线也发现着巨大的作用，例如雷达接受器等都要做成椭圆抛物面的形状，这正是因为一个良好的性质：

平行于轴的光线经椭圆抛物面的反射之后，都会经过焦点。

实际上，利用这个原理，类似于聚光灯这样的东西也都会做成椭圆抛物面。除此之外，圆锥曲线还有众多良好的性质为我们所用。

凡此种种都印证了圆锥曲线的重要性，因此在两千多年后的今天，我们都不应该忘记阿波罗尼奥斯的这本古希腊几何的巅峰之作——《圆锥曲线论》！