阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》確實可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作！————

克萊因《古今數學思想》

前言

古希臘數學的黃金時代曾誕生了著名的“古希臘數學三傑”，其中的歐幾里得和阿基米德都是我們比較熟悉的數學家，而大多數人卻都對其中最後一名數學家阿波羅尼奧斯比較陌生。但出人意料的是，儘管阿基米德是公認的古希臘最傑出的數學家，但真正能代表古希臘幾何學最高成就的著作恰恰來自這位我們不太熟悉的數學家。阿波羅尼奧斯的傑出成就在於他系統地建立和發展了古典的圓錐曲線論，而後完成了集大成之作《圓錐曲線論》。這聽起來似乎像是天方夜譚，圓錐曲線居然是兩千多年前就已經出現的？！

圓錐曲線論在我國是高中數學最重要的數學內容之一，它往往讓不太擅長數學的學生感到非常頭痛。由於其複雜性，圓錐曲線論比歐式幾何難學，但事實上，它們卻是差不多同一時代的產物。課本給我們的錯覺是圓錐曲線論應該是是笛卡爾時代的數學，但它確確實實來自公元前的古希臘。

阿波羅尼奧斯

阿波羅尼奧斯(Apollonius)出生於小亞細亞地區的佩加(Perga，今屬土耳其)，因此他常常也被稱為Apollonius of Perga，阿波羅尼奧斯的生卒年不詳，大約生活在公元前三世紀中後期。他的青年時期是在當時的“智慧之都”亞歷山大城（今埃及的亞歷山大港）度過的，做為強盛的托勒密王朝的首都，亞歷山大城是當時的地中海地區的政治和經濟文化中心，也是數學發達之地。阿波羅尼奧斯在這裡跟隨歐幾里得的後繼者們學習數學，在托勒密四世時期(前221~前205)，阿波羅尼奧斯已經頗具名氣。

今天的亞歷山大港

後來他又前往帕加馬（Pergamum）王國，並受到國王阿塔羅斯一世的賞識，後來阿波羅尼奧斯所完成的鉅著《圓錐曲線論》中的後5卷名義上都是獻給這位國王的。除此之外，阿波羅尼奧斯的其他生平事蹟都沒有文獻記載過，因此他的事蹟並不廣為人知，這也是他在後世名氣不如歐幾里得和阿基米德的原因之一。

阿基米德

事實上，在阿波羅尼奧斯之前，就有數學家考慮過圓錐曲線，例如梅內克繆斯和著名的阿基米德，但由於沒有找到合適而統一的數學描述方法，他們都沒有將研究推進下去。而阿波羅尼奧斯的創舉正在與他找到了圓錐曲線的統一描述方式，也就是用不同的平面去橫截兩個對頂的圓錐，從而得到不同的圓錐曲線，也就是橢圓，拋物線和雙曲線(阿波羅尼奧斯是第一個意識到雙曲線有兩個分支的數學家)。通過這樣的方法，他成功地系統討論了關於圓錐曲線的相關性質，而後將這些結果全部總結進了《圓錐曲線論》一書中。

做為歐幾里得的“門徒”，阿波羅尼奧斯充分繼承了歐幾里得的數學精神，這完全提現在了《圓錐曲線論》一書的寫作方法上。《圓錐曲線論》和《幾何原本》一樣，也是通過儘可能少的定義和公理，進而推導出整個理論體系。但也必須指出，阿波羅尼奧斯在寫作此書時，借鑑和使用了一些前人的結果，例如《幾何原本》和阿基米德著作中的成果。他在引用這些結果時，常常不進行證明，而且也不說明出自哪裡，這樣的做法受到了不少後世學者的非議，甚至有人極端地認為阿波羅尼奧斯是在“厚顏無恥”地佔據前輩的成就。但縱觀全書我們可以發現，《圓錐曲線論》是一本具有高度原創性質的著作，它所代表的數學思想幾乎已經超越了所有的前輩，由此看來，阿波羅尼奧斯確實犯不著去“佔據”前輩的成就。

《圓錐曲線論》

《圓錐曲線論》全書分為八卷，共有487個命題，但非常遺憾的是，只有前七卷流傳至今，這七卷的主要內容為：

第一卷描述瞭如何利用平面截對頂圓錐獲得圓錐曲線，進而討論了諸如弦，(共軛)直徑，切線等的定義和基本性質。特別要說明的是，阿波羅尼奧斯的描述方法完全是幾何的，當時並沒有座標這種概念。

第二卷討論了圓錐曲線直徑和軸的求法以及雙曲線漸近線的作法與性質。

第三卷討論了切線與軸所圍成的面積以及圓錐曲線焦點的性質。

第四卷討論了極點和極線的性質以及不同的圓錐曲線相交的情況，特別地，阿波羅尼奧斯證明了兩條不同的圓錐曲線至多隻有四個交點。

第五卷討論了定點到圓錐曲線的最短和最長線段，此卷也成為了全書最具創造性的一卷。

第六卷討論了圓錐曲線的全等和相似。

第七卷討論了具有中心的圓錐曲線的共軛直徑的性質。

可以看出，《圓錐曲線論》的內容確實博大精深，所包含的知識遠比我們在高中時所接觸的豐富，其中一些還是大學解析幾何的內容。正如我們前面所說，《圓錐曲線論》定義圓錐曲線所採用的是純幾何的截面方法，但在阿波羅尼奧斯之前，已經產生了利用焦點和準線定義圓錐曲線的方法：

圓錐曲線是平面內到定點（焦點）和到定直線（準線）的距離之比為常數（離心率）的點的軌跡，這也就是我們所說的圓錐曲線的第二定義。

關於第二定義這一知識至遲已被歐幾里得所知，但限於時代的侷限，沒有人可以通過第二定義推導出圓錐曲線的系統理論，這也正是為什麼阿波羅尼奧斯要採用截面的原因。

看到這裡，可能大家都有一個疑問，既然阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》代表了古希臘幾何的最高成就，為什麼它的知名度卻遠不如歐幾里得的《幾何原本》呢？其中的原因可能在於：

在阿波羅尼奧斯之後，古希臘數學迅速走向衰落，沒有再出現偉大的幾何學家，也就無人可以充分理解《圓錐曲線論》的光輝數學思想。不久之後，羅馬人攻陷希臘本土，焚燬了當時規模最大藏書最豐富的亞歷山大圖書館，然後以嚴酷的宗教思想禁錮人們的科學思維，這使得《圓錐曲線論》並沒有得到充分的傳播和研究。

由於《圓錐曲線論》思想過於超前，這使得它在自誕生之後的一千多年裡基本沒有得到實際應用，這與《幾何原本》是很不同的。直到伽利略和開普勒在天文學和力學的研究中使用圓錐曲線以後，它的真正作用才開始顯露出來。如果問為什麼數學往往是超越時代的，那麼《圓錐曲線論》可以給出一個完美的解釋。

開普勒第三定律圖示

重生

對於推動幾何學的發展而言，《圓錐曲線論》可謂功不可沒，它的作用絕不亞於《幾何原本》。歐洲大陸在經歷漫長的中世紀黑暗之後，又興起了研讀古希臘經典文獻的熱潮，但當他們拿起《圓錐曲線論》之後，卻陷入尷尬境地之中，阿波羅尼奧斯已經極盡了研究圓錐曲線的幾何方法，以至於後來者完全無法插足其中。

而且隨著代數學的興起，幾乎毫無發展的幾何學頗有“夕陽西下”之勢，這一局面在射影幾何誕生之後才有所改觀。射影幾何用更加先進的幾何思想來審視幾何對象之間的關係，也就重新解釋並昇華了《圓錐曲線論》的內容和思想。完成這一創舉的數學家包括有我們比較熟悉的德薩格和帕斯卡等人，特別地，帕斯卡證明了著名的“帕斯卡六邊形定理”：

對於內接於圓錐曲線的六邊形，它的三對對邊的延長線相交所產生的三個點共線。

這樣的命題顯然是阿波羅尼奧斯無法證明的。

但就如今的觀點來看，射影幾何卻已經是歷史上純幾何發展道路上最後的高潮。直到笛卡爾和費馬時代，《圓錐曲線論》仍然是幾何學家手中最重要的資料。對於解析幾何的創立而言，《圓錐曲線論》這本將近兩千年前的著作同樣也是首屈一指的功臣，實際上，費馬最早就是在研讀這本著作的過程中逐漸產生了解析幾何的數學思想。在這裡，我們也要多說一句，《圓錐曲線論》中事實上已經包含了原始的座標思想，但在複雜的純幾何觀點下，它始終是無法發展起來的。

自解析幾何創立之後，圓錐曲線的研究範圍被大大擴展，例如它的理論已經被推廣到曲面中去，包括橢球面，雙曲面，橢圓拋物面等等。隨著微積分的橫空出世，微分幾何開始興起，研究圓錐曲線變得更加簡單，自此之後，純幾何愈發式微，如今已經只能懷念了。

圓錐曲線的重要性如今已不言而喻，小到微觀，大至宇宙，它無處不在，例如地球的軌道十分接近橢圓，而太陽正位於其中一個焦點。在實際生產生活中，圓錐曲線也發現著巨大的作用，例如雷達接受器等都要做成橢圓拋物面的形狀，這正是因為一個良好的性質：

平行於軸的光線經橢圓拋物面的反射之後，都會經過焦點。

實際上，利用這個原理，類似於聚光燈這樣的東西也都會做成橢圓拋物面。除此之外，圓錐曲線還有眾多良好的性質為我們所用。

凡此種種都印證了圓錐曲線的重要性，因此在兩千多年後的今天，我們都不應該忘記阿波羅尼奧斯的這本古希臘幾何的巔峰之作——《圓錐曲線論》！