公平的骰子

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撰文 | 孫夢逸

斯坦福大學的佩爾西·戴康尼斯（Persi Diaconis）教授是舉世著名的概率學家。他一生的經歷頗為傳奇：15歲輟學離家（並且再也沒有回去），跟隨現代近景魔術的開山鼻祖戴·福農（Dai Vernon）學習魔術。魔術師經常要跟紙牌、骰子和硬幣打交道。而紙牌，骰子和硬幣的運行，往往是由統計學規律所決定的。在研究這些道具的過程中，戴康尼斯對概率統計產生了濃厚的興趣，於是在幾經顛沛流離之後，重新回到學校學習，並從此走上概率論大家的道路。

成名之後的戴康尼斯可謂初心不改。他的研究往往還是以紙牌、骰子和硬幣的規律做為引子。比如他最著名的工作，就是研究一副紙牌要洗多少次才可以稱得上洗得均勻，證明過程相當複雜，大家只要記住結論就好了——如果用交錯洗牌法（Riffle shuffle），一副撲克牌要洗七次才算得上均勻。

這樣一位文體兩開花的學術大牛，卻在某次給本科生上基礎數學課程的時候，在他最擅長的方向上栽了個小跟頭。當時他正手舞足蹈，繪聲繪色地給大家講解基礎幾何學領域的一個經典結論：這個世界上，正多面體只有五種：正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。直覺上，這些正多面體的每一個面都是一樣的，因此都可以用來做骰子：正多面體的骰子，任何一個面朝上的概率都會相等。

“所以” ，他得意地總結道， “這個世界上只有五種公平的骰子。” 這個時候，一個本科生舉起了小手，說道： “可是我有一個三十面體的骰子。” 教授瞪大了眼睛，說道： “不，你沒有。” “我有。” 本科生堅持道。

他的確有一個三十面體的骰子。準確地說，叫做菱形三十面體。

這個骰子有三十個面，每個面都是一樣的菱形。每個面也都鄰接著其他四個面。因為每個面都是一樣的，每個面朝上的概率也均等。這個三十面體的骰子，的確是公平的。

不過，這個骰子並不是正多面體。正多面體，不僅每一個面是一樣的，每一條邊，每一個頂點都是一樣的。如果你認真觀察上圖的那個骰子，會發現並不是每一個頂點都是一樣：面26，27和麵30共用的頂點，由三條邊交會組成，而面17，18，19，27，和麵26共用的頂點，卻由五條邊交會組成。所以，這個骰子並沒有正多面體那麼對稱。

這個小小的差錯，促使戴康尼斯開始思考一個（看起來並沒有什麼用的）問題：那麼，這個世界上到底有多少種公平的骰子呢？這個問題等於是問，這個世界上到底有多少種每一個面互相之間都是對稱的多面體？

經過一番不算太難的研究，他發現滿足面對稱的骰子一共有三十種（或者說三十個族群）。

故事到這裡並沒有結束。這三十組骰子，有的比較容易通過技術操控——只要經過訓練，把握好初始的投擲的力道和方向，就有可能得到想要的結果。例如拋硬幣就比擲六面的骰子容易控制得多。訓練好的人，可以做到每一次拋硬幣的結果都一樣；與之相比，六面的骰子運動規律則十分複雜，只要投擲的力道稍有偏差，最後的結果都會不一樣。

因此， “所有的骰子都是平等的，而有些骰子比別的骰子更平等。”

正是：一粒骰子見世界，道是無常卻有常。誰在擲骰子的時候，會想到一顆骰子可以滾得這麼遠呢？

參考文獻：

[1]https://www.youtube.com/watch?v=G7zT9MljJ3Y

[2]https://www.popularmechanics.com/technology/a22856/dice-mathematically-fair/

[3] Diaconis, Persi, and Joseph B. Keller."Fair dice." The American Mathematical Monthly 96.4 (1989): 337-339.