數學，是最古老的學科。一些懸而未決的數學問題歷經千百年仍為自身保守著秘密。
比如數學中最古老的未解之謎——孿生素數猜想，就是由古希臘著名數學家歐幾里得提出的，距今已近2300年。該問題最重大的突破由華人數學家張益唐於2013年獨自完成。
1900年，德國大數學家希爾伯特——當時世界數學領域的領袖人物，提出了雄心勃勃的23個數學問題。一個世紀過後，除了一個問題外，22個問題都已經得到完全或者部分解決。
2000年初，美國克雷數學研究所也發起了一場挑戰：公開向世界徵求七大數學難題的解答。這些問題涉及純粹數學和應用數學中最艱深和迷人的領域：從拓撲學和數論到粒子物理學、密碼學、計算理論甚至到飛機設計，它們也被稱為“千年難題”。
“千年難題”位於數學世界之巔，或許代表著人類智力活動的巔峰，而每一個問題的解決，也許就意味著找到一座隱匿著未知真理的巨大寶藏。這些問題激勵著一代又一代最傑出的數學家投身其中，以期獲得解鎖人類未來文明的密碼。
■謎題一：黎曼猜想這是1900年希爾伯特提出的23個問題中唯一未被解決的問題。
1859年，德國數學家黎曼在提交給柏林科學院的論文中提出一個猜想，試圖完全回答數學中最古老的問題之一：素數在自然數中的分佈規律。早在公元前350年，歐幾里得已經證明了素數的個數有無窮多，但是對其分佈的規律卻一無所知。黎曼猜想則對這種分佈規律提出了確定的模式。
這一猜想的解決很可能打開一扇宏偉的大門，將數學和物理以前所未有的形式連接在一起，從而有可能讓當代文明受益於2000年來數論研究的傑出成就。在此之前，數論一直作為最純粹的數學工具而與現實世界深度隔離。
■謎題二：楊-米爾斯理論和質量缺口假設1954年，物理學家楊振寧和米爾斯提出了一個方程，旨在使用非阿貝爾李群描述基本粒子的行為。楊-米爾斯理論被譽為20世紀下半葉最重要的理論物理成就，是現代規範場理論的基礎。經過對稱性自發破缺與漸進自由的觀念，該理論逐漸發展成今天的標準模型。
由楊-米爾斯方程發展的標準模型準確地預言了在世界各地實驗室中觀察到的事實，其應用已經深入在物理學的其他分支中，諸如統計物理、凝聚態物理和非線性系統等等。從實踐的角度來說，楊-米爾斯方程已經獲得巨大成功，但是其相應的數學理論還沒有建立起來，特別是在數學上需要確定的“質量缺口假設”。該假設提供了電子為什麼有質量的一種解釋。
質量缺口假設的完全解決將提供嚴格的理論證明，同時也讓物理學家受益。此前物理學家只能觀察到電子有質量，卻無法解釋電子的質量從何而來。
■謎題三：P和NP問題計算機領域誕生了兩個影響人類文明進程的大問題。第一個就是希爾伯特提出的第十問題：是否存在一種機械的算法來判定丟番圖方程的可解性。英國數學家圖靈正是基於對該問題的思考而建立了圖靈機，成為彪炳史冊的現代計算機之父。
另一個問題就是P和NP問題。此問題的核心是研究計算機解決問題的效率。計算機科學家把計算問題分成兩類：這裡的P指多項式時間，一個複雜問題如果能在多項式時間內解決，那麼它便被稱為P問題，這意味著計算機可以在有限時間內完成計算；NP指非確定性多項式時間。一個複雜問題不能確定在多項式時間內解決，假如NP問題能找到算法使其在多項式時間內解決，也就是證得了P=NP。
然而，現代絕大多數在工業和商業中的大型計算任務都是NP問題。對該問題的肯定解答將對工業和商業乃至互聯網產生極為深遠的影響。
■謎題四：納維-斯托克斯方程數學家和物理學家都深信，無論是天氣預報還是大浪湍流，都可以通過納維-斯托克斯方程的解來刻畫和解釋。
19世紀中葉，法國科學家納維和英國物理學家斯托克斯提出了描述流體和氣體運動行為的方程。該方程揭示了一般分子運動的基本規律，因此對物質運動提供了最深刻和可靠的理解。它逐漸在天氣預報、大氣海洋、石油勘探、電氣工程、水利工程、機械製造、國防軍工（諸如核彈模擬）、飛機設計、航空動力學、航天工程、行星運動等前沿科技與工業製造中發揮著核心的作用。
破譯納維-斯托克斯方程解的密碼，無疑將在科技和實踐層面帶來翻天覆地的突破，提升整個現代文明的等級。
■謎題五：龐加萊猜想19世紀末，法國大數學家龐加萊提出了一個數學領域的簡單問題：怎樣才能把一個蘋果和一個甜甜圈區分開來？
該問題位於數學中最迷人的領域之一——拓撲學，它以深刻而基本的方式展現了物質形體之間的關聯。龐加萊猜想的完全解決將幫助人們完全瞭解物質的空間幾何結構的存在形式。這一問題的徹底解決，將對半導體等電子器件的設計和製造、萬維網的設計、交通運輸規劃、動畫設計甚至對大腦神經元的結構都將有革命性的認識。
拓撲學不僅在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程和其他許多數學分支中都有廣泛的應用，也對物理學產生重大的推動作用。2016年，三位物理學家因為發現物質拓撲相和在拓撲相變理論上的突出貢獻而分享了諾貝爾獎。
鑑於其重大的理論和工業影響力，龐加萊猜想順理成章地成為拓撲學的聖盃。令人欣慰的是，該猜想最終由俄羅斯的天才數學家佩雷爾曼在2004年完全解決。這也是迄今為止唯一被破譯的千年之謎。
■謎題六：伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想公元3世紀，古希臘亞歷山大城的數學家丟番圖開始研究一類係數為整數的不定方程的解。尋找此類丟番圖方程的整數解開啟了代數學上最為輝煌的一個分支。比如著名的費馬大定理就是無數丟番圖方程的一個極其簡單的特例。
對於更加複雜的方程，要了解方程解的信息變得極為困難。伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想提供了關於某些困難情況下的解的信息。
和黎曼猜想一樣，對這一問題的解答將增加我們對素數的全面理解，從而有可能找到上帝用自然數創世的密碼。
■謎題七：霍奇猜想20世紀上半葉，數學家發現了研究複雜對象形狀的有力方法。其基本的想法就是把維數逐漸增加的簡單幾何砌塊黏合在一起，從而逼近一個給定對象的形狀。這種想法的核心問題就在於逼近物體的程度。
基於不同逼近方式的分類，數學家發明了許多有力的工具，它們在實踐中被證明極富成效，但是卻缺乏這個過程的幾何源頭。霍奇猜想斷言，對這些對象中的一類重要對象（射影代數簇），即被稱為霍奇閉鏈的部件均是幾何部件（代數閉鏈）的組合。用通俗的語言來說，霍奇猜想表明：任何一座精美宏偉的宮殿，都可以由一堆積木壘成。
最新的研究則表明，霍奇猜想與廣義相對論、量子糾纏和龐加萊猜想在更深的層次上有可能融為一體。對它的深刻認知，有助於瞭解宇宙中最深邃奇妙的物質構成。
（作者：黃逸文，系中國科學院數學與系統科學院副研究員，由中國科學院“科學大院”提供）
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