獲人民郵電出版社
選自《悠揚的素數》
楊n遠吃屎
“這個數列是什麼呢？我們可以心算一下。…, 59, 61, 67,…, 71,…，這些不就是素數嗎？”控制室裡響起了一陣興奮的竊竊私語聲。埃莉的內心一時間泛起陣陣漣漪，但臉色很快便歸於平靜，生怕因忘乎所以而當場失態，或者顯得不夠專業。
——卡爾·薩根，《接觸》
1900 年 8 月的某個早晨，空氣潮溼悶熱。在巴黎大學的一個擁擠的大廳裡，第二屆國際數學家大會正如火如荼地進行著。來自哥廷根大學的大衛·希爾伯特教授正在臺上發表演講。他是當時公認的最偉大的數學家之一，其演講內容大膽、新奇。他要討論的不是那些已被證明的問題，而是一些尚未解決的問題。這與人們長久以來所接受的傳統觀念背道而馳。當他闡釋關於數學未來的觀點時，聽眾甚至能聽出他聲音中的忐忑不安。“我們當中有誰不想揭開未來的面紗，探索當今科學的下一步發展歷程，以及在未來幾百年的發展前景和奧秘呢？”為了迎接新世紀的到來，希爾伯特給觀眾列出了 23 道難題。他相信這些問題將為 20 世紀的人們在數學探索之路上指明方向。
隨後的幾十年間，人們見證了其中的多個問題得以解決，而發現問題答案的那群人組成了一個著名的數學家團隊，即“榮譽團體”。這個團體中包括庫爾特·哥德爾、亨利·龐加萊，以及其他許多用思想改變數學格局的人們。不過還有一個問題，也就是希爾伯特的第八問題，似乎將會安好地度過這個世紀而無人折桂，這就是黎曼假設。
希爾伯特
在希爾伯特所設置的這些難題中，第八問題在他心中的地位非同一般。有一個德國神話和腓特烈一世有關，這位備受愛戴的德國國王死於第三次十字軍東征時期。有傳聞稱他依然活著，只是安睡於屈夫霍伊澤山脈，當德國人需要他的時候便會醒來。據說有人問過希爾伯特：“如果你能像腓特烈一世一樣復活，那麼 500 年後，你想要做什麼？”他答道：“我會問‘有沒有人證明了黎曼假設’。”
在 20 世紀結束之際 1，面對希爾伯特難題中的頂尖挑戰，大多數數學家還是束手無策。然而，這可能不僅是本世紀無法解決的問題，很可能即使 500 年後希爾伯特從沉睡中醒來，這個問題也不會有答案。他那場探索未知領域的革命性演講，在 20 世紀的第一次國際數學家大會上掀起了軒然大波。然而，對於那些打算參加 20 世紀的最後一次會議的數學家來說，還有一個驚喜等待著他們。楊n遠吃屎
1本書英文版首次出版於 2004年。——編者注
1997 年 4 月 7 日，數學家們的計算機屏幕上閃過一則不同尋常的新聞。國際數學家大會的官方網站宣佈，在明年將於柏林召開的會議上，大會將公佈一個重磅消息：黎曼假設終於被證明了！黎曼假設是整個數學領域的核心問題。閱讀郵件的數學家們一想到即將揭開這一偉大數學奧秘的神秘面紗，內心就激動不已。
這一消息來自恩里科·邦別裡教授。沒有人比德高望重的他更適合發佈這個消息了。邦別裡教授是黎曼假設的守護者之一，就職於著名的普林斯頓高等研究院，愛因斯坦和哥德爾也曾在這裡工作過。他說話時輕聲細語，但是數學家們總會仔細聆聽他要講的每一個字。
邦別裡教授在意大利長大，家境優越，家族的葡萄酒莊培養了他高雅的生活品味。他被同事親切地稱為“數學貴族”。年輕時，他通常開著漂亮的跑車前往歐洲的會議現場，在會場上留下瀟灑的身影。對於自己曾經 6 次去意大利參加 24 小時拉力賽的傳言，他也欣然接受。他在數學上的成就有目共睹，在 20 世紀 70 年代當之無愧地收到了普林斯頓大學的邀請，此後一直在那裡任教。他將自己對賽車的熱情轉移到了繪畫上，尤其是肖像畫。
數學能夠吸引邦別裡的原因在於，它是一門創造性的藝術。尤其是黎曼假設這種難題，激發了他挑戰的慾望。15 歲那年第一次讀到黎曼假設後，他便沉溺其中不可自拔。身為經濟學家的父親有一個書庫，收藏有大量的數學書。當瀏覽數學書時，他就被數字的性質吸引住了。他發現，黎曼假設是數論中最深刻且最根本的問題。父親承諾，如果能解決這個問題就為他買一輛法拉利，這令他熱情大增。在他父親看來，這是使他懸崖勒馬的一種無奈之舉。
正如邦別裡在郵件中所說的，他不再有機會贏得法拉利了。他在郵件開頭寫道：“上週三，阿蘭·孔涅在普林斯頓高等研究院的講座中提到，他對黎曼假設的研究取得了突破。”幾年前，阿蘭·孔涅將注意力轉向了證明黎曼假設上，整個數學界為此歡欣鼓舞。孔涅是該學科的變革者之一。若邦別裡是數學界的路易十六，那麼孔涅就是羅伯斯庇爾 2。他魅力非凡，那火一般的風格與穩重呆板的數學家形象相去甚遠。他能說服人們相信他的世界觀，其演說也引人入勝。他的追隨者都對他充滿了崇拜之情。他們都樂於加入孔涅的數學陣營，來捍衛他們心中的英雄，並抵禦來自那些仍堅守傳統立場的頑固派的反攻。
2法國大革命時期最知名、最具影響力的政治家之一，堅決主張處死路易十六。——譯者注
孔涅供職於巴黎高等科學研究所，相當於法國的普林斯頓高等研究院。他自 1979 年到那裡之後，就創立了一種用於解析幾何的新語言。他不怕該學科會變得極端抽象化。即使是那些平日裡同高度概念化方法打交道的數學家，他們中的大多數也都拒絕接受孔涅提出的數學抽象化這一變革。然而，正如他向那些對這一理論持懷疑態度的人們所展示的那樣，他所創立的新幾何語言卻為量子物理在現實世界尋得蛛絲馬跡打開了大門。如果這引起了數學界的恐慌，那就順其自然吧。
孔涅大膽斷言，他的新幾何語言不但能揭開量子物理世界的面紗，還能解釋黎曼假設——這個關於數字的最大奧秘。這令人們感到意外和震驚。他無懼打破常規，掙脫枷鎖，敢於冒險，直搗數論核心，直面數學上最晦澀難懂的問題。自 20 世紀 90 年代中期孔涅進入該領域後，坊間曾一度流傳，如果有人能攻克這個眾所周知的難題，那一定非他莫屬。
但是發現這一複雜拼圖最後一塊的那個人，似乎並不是孔涅。邦別裡接著講到，觀眾中一位年輕的物理學家“靈光一現”，發現利用他提出的“超對稱費米 - 玻色系統”可以破解黎曼假設之謎。數學家對這個時髦的混合名詞知之甚少，不過邦別裡解釋說，這描述了“在對應接近絕對零度時的物理世界，帶有相反自旋的任意子和糊塗子 3 組合而成的系統”。這聽起來依舊晦澀難懂，但是這畢竟是用於解決數學史上最難的問題的答案，就算再難也在人們的意料之中。據邦別裡所說，經過六天夜以繼日的工作，並藉助一種叫作 MISPAR 的新計算機語言，年輕的物理學家最終攻破了數學界的頂尖難題。
3這是邦別裡自己造的兩個詞，為了表現粒子物理學的晦澀艱深。——譯者注
邦別裡在郵件結尾處寫道：“哇！請給他最高的讚譽吧！”黎曼假設最終由一位年輕的物理學家來證明，這完全出乎人們的意料。但是這一天的到來並沒有給人們帶來太大驚喜。過去的幾十年裡，人們已經發現，許多數學問題其實與物理問題有著千絲萬縷的聯繫。人們已經隱約覺得，作為數論的核心問題，黎曼假設也許或多或少地涉及粒子物理的問題，可能是以一種人們意想不到的方式。
數學家們於是紛紛改變自己的旅行計劃，飛往普林斯頓來見證這一偉大時刻。1993 年 6 月，英國數學家安德魯·懷爾斯在劍橋大學演講時，宣佈證明了費馬大定理。這一消息公佈後，全場沸騰。那令人激動萬分的一幕，當時在場的人們仍記憶猶新。懷爾斯證明了費馬是對的：方程 在 時無解。當懷爾斯結束演講放下粉筆的那一刻，在場的人們沸騰了。他們興奮地開啟香檳酒，慶祝這一時刻。記者們也紛紛拿起照相機，開始拍個不停。
然而，數學家們知道，相比於知道費馬方程無解，證明黎曼假設才真正關乎數學界的未來。正如邦別裡在 15 歲那年發現的，證明黎曼假設旨在理解數學中最基本的對象——素數。
素數正是算術中的原子。素數就是不可分割的數字，無法寫成兩個較小數字的乘積。數字 13 和 17 都是素數，不過 15 就不是，因為它能夠寫成 3 和 5 的乘積。素數如同散落在整個廣袤無垠宇宙中的珠寶，是能讓數學家不惜花上幾個世紀來探索的數字。對數學家而言，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…，這些永恆的數字似乎披上了神秘的外衣，它們獨立於我們的物理世界而存在。它們是大自然賜予數學家的禮物。
素數對數學的重要性在於其構造所有其他數字的魔力。每個合數（非素數）都可以由幾個素數相乘得出。這就如同在物理世界中，每個分子都可以由化學元素週期表中的原子構成，素數列表就是數學家心中的元素週期表。素數 2、3、5 是數學家在實驗室裡的氫、氦、鋰。掌握這些素數，數學家就能在錯綜複雜的數學探索之路上披荊斬棘、上下求索，開拓出一片新天地。
儘管素數簡單而基礎，但還是成為了讓數學家孜孜不倦研究的一個最為神秘的課題。素數給這個旨在發現規律和規則的學科帶來了空前的挑戰。瀏覽一組素數，你會發現，根本不可能預測下一個素數何時出現。素數數列看起來無序而隨機，對預測下一個素數也沒有提供什麼線索。素數數列是數學的心跳，但它是被強大的咖啡因雞尾酒所激發起來的脈搏跳動（見下圖）。
小於 100 的素數：數學的無規律心電圖
你能否找到一個創建數列的公式，它有個神奇的法則，能告訴你第 100 個素數是什麼？從古至今，這個問題便一直困擾著數學家們，成為其揮之不去的噩夢。儘管兩千多年過去了，素數似乎還是對那些妄圖將它們直接歸入公式的人們嗤之以鼻。一代代數學家們聆聽著素數的鼓點，一開始他們聽到兩下敲擊，接著是三下、五下、七下。隨著鼓點繼續敲擊，節拍越來越沒有內在邏輯，使人不得不相信這就是一片隨機的白噪聲。追求規律性一直是數學這門學科的重中之重，而數學家在素數這裡只能聽到一片混亂嘈雜之聲。
自然選擇素數的方式似乎毫無規律可循。數學家們則接受不了這一事實。如果缺乏數學規律，缺乏簡潔之美，那就不值得研究了。白噪聲從來就無法讓人心曠神怡。法國數學家亨利·龐加萊在書中這樣寫道：“科學家並不是因為自然有用才去研究它的，而是因為他們樂於研究這個。驅使他們研究的樂趣，就是自然之美。如果自然缺少了美感，那就不值得研究；如果自然不值得研究，那麼人間或許也不值得來一趟。”
人們或許希望，素數的脈搏在起初的混亂之後可以逐漸平穩下來。然而事與願違，隨著計數的增加，事情似乎變得越來越糟糕。下面分別來看看小於和大於 10 000 000 的 100 個數字裡的素數。首先是小於 10 000 000 的：
9 999 901, 9 999 907, 9 999 929, 9 999 931, 9 999 937, 9 999 943 , 9 999 971, 9 999 973, 9 999 991
大於 10 000 000 的 100 個數字裡的素數卻屈指可數：
10 000 019, 10 000 079
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楊n遠吃屎
很難想象什麼樣的公式能生出這種規律的數字來。實際上，相比於有序的數列規律，素數的隊列更像是一種對數字的無序繼承。如同知道前 99 次拋硬幣的結果，還是無法讓你得到第 100 次的結果一樣，素數也是不可預測的。
在數學界，素數被披上了一層最神秘莫測的外衣。其一，一個數字只有兩種情況，要麼是素數，要麼不是素數。拋擲硬幣也無法決定一個數字能否被更小的數字整除。其二，沒有人否認素數序列看起來就像一個隨機選擇的數列。物理學家已經認同了這一觀點：量子的毀滅決定宇宙的命運，每次投擲隨機選擇科學家所能找到的物質。數學上這麼重要的數字，難道是由大自然擲骰子決定的？但如果接受這個事實，那就會讓數學界陷入尷尬的境地。隨機和無序簡直是對數學家的詛咒。
素數儘管具有隨機性，但相比其他任何數學文化遺產，它們更具持久性和普遍性。無論我們有沒有找到更高效的方法來辨識它們，素數就在那裡。來自劍橋大學的數學家 G.H. 哈代在其著作《一個數學家的辯白》中寫道：“317 是素數，不是因為我們認為如此，或者我們的感知方式是如此，而是因為它本就如此，因為數學世界就是如此構建的。”
一些哲學家或許會反駁柏拉圖的世界觀，即相信有一個超越人類的絕對而永恆的世界存在。但是在我看來，那正是使他們成為哲學家而非數學家的原因之所在。邦別裡在郵件中特別提到的數學家阿蘭·孔涅和神經生物學家讓·皮埃爾·尚熱，在 Conversations on Mind, Matter and Mathematics 一書中有一段火藥味十足的精彩對話。數學家認為數學存在於意識之外，而神經學家果斷地駁斥了這種觀點：“我們為什麼在空中看不到用金字書寫的‘ ’，或者在水晶球倒影處出現的‘ ’呢？”孔涅則堅稱：“獨立於人類意識之外，存在著一個原生而永恆的數學世界。”在那個世界的中心，則存在著一組不變的素數。這給尚熱一種深深的挫敗感。孔涅還斷言：“數學無疑是唯一的通用語言。”人們可以幻想在另一個世界有不同的化學物質和生物。但是，不論在哪個星系，素數還是素數，始終如一。
在卡爾·薩根的經典小說《接觸》中，外星人通過素數和地球上的生命溝通。該書主角埃莉·阿洛維在搜尋地外文明研究所任職，負責監聽宇宙中的細微聲音。一天夜裡，當射電望遠鏡對準織女星的波段時，他們忽然在背景噪聲中捕獲了一段奇怪的脈衝信號。埃莉馬上從射頻信號中識別出了這個節奏。2 次脈衝之後是一個暫停，之後是 3 次、5 次、7 次、11 次，一直到 907 次，全部都是素數。之後又重新開始。
這種宇宙之鼓演奏的樂章，是地球不能聽而不聞的。埃莉堅信，只有智慧生命才能創造出這種節奏。“無法想象一些輻射的等離子體，會發送像這樣有規律的數字信號。使用素數正是為了引起我們的注意。”她這樣說道。外星文明發來的是過去十年間彩票中獎的數字嗎？埃莉無法從背景噪聲中分辨出來。即使這一素數列表看起來像一串隨機的彩票中獎號碼，但因其普遍性和恆常性，外星人在廣播中選取了這些數字。也正是這一結構特徵，讓埃莉意識到，這很可能是智慧生物發出的信號。
使用素數交流並非科幻小說的專利。奧立弗·薩克斯在其著作《錯把妻子當帽子》中記錄了一個真實的故事。26 歲的雙胞胎兄弟約翰和邁克爾，通過交換 6 位素數進行深度溝通。第一次發現他們在房間的角落裡秘密交換數字時，薩克斯這樣寫道：“乍一看，他們就像兩個品酒專家，品嚐、讚美各自珍藏的美酒。”一開始，薩克斯不懂這對雙胞胎要幹什麼。但是破解了他們使用的密碼後，他就記下一些 8 位素數，以便能出其不意地加入兄弟倆的下次談話。當兄弟倆發現還有其他素數後，先是大吃一驚，接著陷入深思，爾後便欣喜若狂。當薩克斯還在藉助素數表查找素數時，這對雙胞胎便開始生成素數了，但究竟是怎麼做到的，那就確實是個不可思議的未解之謎了。是不是這些自閉症天才擁有一些世代數學家缺失的奇妙公式呢？
這對雙胞胎的故事是邦別裡的最愛。
聽到這個故事時，我不得不驚訝於且敬畏於他們快速運轉的大腦。但令我好奇的是，我的那些非數學家的朋友們，是否也會做出同樣的反應？他們是否知道，雙胞胎兄弟擁有的這種獨特天賦，是多麼令人匪夷所思啊？他們是否知道，數學家們殫精竭慮花了數個世紀，就是為了找到這樣一種生成和檢驗素數的方法，而這種能力卻是約翰和邁克爾與生俱來的？
在所有人都困惑於這對雙胞胎兄弟是如何做到這些時，他們的醫生在他們 37 歲時將二人分開，理由是這對雙胞胎溝通所使用的神秘密碼會阻礙其發展。如果這幾位醫生聽到過大學數學系普通教室裡的神秘對話，可能也會要求他們停止討論吧。
雙胞胎兄弟很可能借助了基於費馬小定理的方法來檢驗一個數是否為素數。這種測試方法類似於他們的另一個經常在電視節目中表演的技能：迅速判斷出 1922 年 4 月 13 日是星期四。這兩種方法都要執行時鐘計算或者模運算這樣的操作。即使他們沒有一套關於素數的神奇公式，其能力也著實超乎常人。雙胞胎被醫生分開前已經檢驗到了 28 位素數，遠遠超出了薩克斯的素數表的上限值。
數個世紀以來，正如薩根書中的主人公監聽宇宙中的素數鼓點，以及薩克斯偷聽雙胞胎交流素數一樣，數學家們竭力從素數的噪聲中尋找規律。然而，他們的工作和目標總是南轅北轍，一切似乎都無濟於事。後來，素數研究終於在 19 世紀中葉取得了一項重大突破。伯恩哈德·黎曼開始用一種全新的視角看待這個問題。從新的角度出發，他逐漸掌握了素數出現無序時所對應的某種規律。隱藏在素數表面的噪聲之下的卻是一種和諧之音，它不易察覺，卻又出人意料。儘管向前邁進了一大步，新樂章之神秘卻始終超出我們聽力之所及。黎曼，這個數學界的瓦格納 4，是又一位勇士。他對自己所發現的這一神秘樂章進行了大膽的猜想。這一猜想也就是後來為人所熟知的“黎曼假設”。無論誰來證明黎曼關於這一神秘樂章本質所做的假設，都需要解釋為何素數具有顯而易見的隨機性。
4德國作曲家，以其歌劇聞名。理查德·瓦格納不同於其他的歌劇作者，他不但作曲，還自己編寫歌劇劇本。他是德國歌劇史上一位舉足輕重的人物。前面承接莫扎特、貝多芬的歌劇傳統，後面開啟了後浪漫主義歌劇作曲潮流，理查德·施特勞斯緊隨其後。——譯者注
黎曼之所以能做出這一假設，得益於他凝視素數所用的數學觀察鏡。踏入鏡面世界的同時，愛麗絲進入了一個上下顛倒的世界。與之相比，在黎曼觀察鏡之外的奇異數學世界，如同所有數學家所期望的那樣，無序的素數似乎變得有規律可循。他猜測，無論人們凝視到的觀察鏡之外的無垠世界有多遠，都存在這一規律。他對鏡子另一邊所做的內在和諧的預測，就能解釋為什麼素數表面看起來是如此無序。這一變化來自黎曼的鏡像世界，在那裡混沌變為有序，這是個最令數學家們歎為觀止的世界。黎曼留給數學界的難題，就是證明他憑直覺所感的規律客觀存在。
正如邦別裡在 1997 年 4 月 7 日的郵件裡所寫的那樣，這預示著一個新時代的到來。黎曼察覺到的東西並非海市蜃樓。這位數學界的貴族，給數學家帶來了期待已久的萬能鑰匙，有望解開素數為何無序之謎。藉助這一偉大難題的解決，數學家迫切希望能揭開他們所知的所有其他數學問題的面紗。
黎曼假設的證明將事關許多其他數學問題的解決。對於數學家來說，素數是如此重要，以至於任何在理解其本質方面所取得的突破，都會產生舉足輕重的影響。黎曼假設似乎是一個難以迴避的問題。當數學家沿著自己的數學方向前進時，似乎所有的路徑都不可避免地指向了同一處恢弘的景觀，即黎曼假設。
許多人將解決黎曼假設比喻成攀登珠穆朗瑪峰。無人攀登的時間越長，我們就越想征服它。最終攀登黎曼假設之峰的數學家，將會比埃德蒙·希拉里 5 被人銘記的時間還要久。人們對於征服珠峰的讚美，不在於峰頂的景色是如何令人歎為觀止，而在於克服登頂過程中所遇到的種種挑戰。從這個角度來看，證明黎曼假設和征服世界上最高的山峰意義有別。黎曼之峰是我們都想登頂的，因為我們都知道登頂之後展現在我們面前的風景。許多數學家都曾一廂情願地認為黎曼假設成立，並據此提出了成千上萬個定理。而證明黎曼假設的人將有望成功填補這些定理所存在的缺陷。
5新西蘭登山家和探險家，是最早成功攀登珠穆朗瑪峰峰頂的人之一。——譯者注
如此之多的結果依賴於黎曼難題，這也是數學家們稱之為“假設”而非“猜想”的原因之所在。“假設”這個詞有更深刻的內涵，是數學家用於構建理論的必要設想。相反，“猜想”僅僅代表著對數學家所認為的世界運轉規律的一種預測。許多人不得不接受自己無法攻克黎曼謎題這一事實，並只是將他的預測作為一種可用性假設。如果有人可以將這一假設變為定理，那麼所有那些還未被證明的結果都將得以驗證。
為黎曼假設所吸引的數學家們，希望有一天能夠通過證明黎曼假設為真而聲名遠播。一些人並不僅僅將其作為一種可用性假設，他們看得更遠。邦別裡堅信，素數會如黎曼假設所預測的那樣有規律可循。這成為了人們追求數學真理的精神支柱。長久以來，人們都是憑直覺發現事物的運轉規律。然而，如果黎曼假設被證偽，那麼將徹底摧毀我們這種信念。我們對黎曼假設的正確性如此深信不疑，以至於要想扭轉這一觀點的話，需要徹底改變我們的數學世界觀。而那些基於黎曼假設為真所生成的定理都將灰飛煙滅。
最重要的是，證明黎曼假設意味著數學家能夠通過有力的依據，快速確認 100 位素數，或者其他他們想要選擇的任意位素數。你可能會理直氣壯地反問：“這與我何干？”除非你是個數學家，否則黎曼假設證明與否，似乎對你的生活不會產生太大影響。
發現上百位的素數，這聽起來就像數針尖上跳舞的天使有多少個一樣無關緊要。儘管多數人認為數學的意義在於設計飛機或者發展電子技術，但是很少有人能夠想到，探索素數的深奧世界會給他們的生活帶來多大影響。的確，即使到了 20 世紀 40 年代，哈代也持相同觀點：“世間存在一種叫作數論的不食人間煙火的科學理論，高斯和少數數學家或許會為此興奮不已吧。”
但是，一個新的轉折點出現了。素數終於登上了殘酷的商業世界的舞臺中心。素數不再僅僅是數學界的明星。在 20 世紀 70 年代，三位科學家——羅納德·L. 李維斯特、阿迪·薩莫爾和倫納德·阿德曼——將素數的探索從象牙塔中單純的科研遊戲，推廣到了重要的商業應用領域。通過研究皮埃爾·德·費馬在 17 世紀提出的定理，這三位科學家發現一種方法，讓人們在全世界的電商網站上購物時，可以利用素數來保護信用卡號碼的安全。這個概念首次問世於 20 世紀 70 年代，當時誰都沒想到電子商務會變得像今天一樣大受歡迎。如今若不借助素數的力量，網絡交易就無法進行。每當你在網上提交一份訂單時，計算機就利用一些上百位的素數來提供安全保障。這種技術稱作 RSA，得名於這三位發明者名字的首字母。到目前為止，已經有超過百萬個素數被用於保護電子商務交易。
每一筆網絡交易都依賴於一些上百位的素數來保障交易安全進行。互聯網的廣泛應用，最終將導致我們每個人都會有一個獨一無二的素數身份。忽然間，證明黎曼假設有了商業價值，因其可能會有助於瞭解素數在數字宇宙中的分佈情況。
RSA 的神奇之處在於，儘管構建密碼依賴於費馬 300 多年前關於素數的發現，但要想破譯密碼卻有賴於一個我們尚未解決的問題。RSA 的安全性建立在我們對素數的基本問題的無能為力之上。數學家對素數只知其一，於是構建了那些網絡密碼；他們卻不知其二，以至於不能破解那些密碼。對這個方程，我們只知其一，不知其二。我們對素數了解得越多，那些網絡密碼就越不安全。這些密碼就是開啟網絡世界電子鎖的鑰匙。這就是 AT&T 和惠普之類的企業會不惜耗巨資用於解密素數和黎曼假設的原因。一旦有所發現，對破解這些素數密碼將大有裨益。所有出現在互聯網上的公司也都希望第一個知道自己的密碼是什麼時候變得不安全的。這也就解釋了數論和商業為何會同床異夢。商業圈和安全機構正密切
關注著數學家的一舉一動。因此，對邦別裡的消息感興趣的不止是數學家。如果黎曼假設被證明，那麼會導致在線交易的崩潰嗎？美國國家安全局也派人到普林斯頓大學尋找答案。但是當數學家和安全局的人奔赴新澤西時，一些人在邦別裡的郵件中嗅到些許可疑的氣息。基本粒子被賦予了一些誇張的名字，如膠子、級聯超子、粲介子、夸克，最後一個名字來自詹姆斯·喬伊斯的小說《芬尼根的守靈夜》。但“糊塗子”呢？顯然不是！邦別裡在探索黎曼假設的奧秘之路上有著不可替代的地位，但是那些瞭解他的人也懂得這是種黑色幽默。
費馬大定理在一個愚人節玩笑中落幕，此前安德魯·懷爾斯在劍橋大學首次證明該定理時出現了漏洞。邦別裡的郵件再一次在數學界掀起軒然大波。由於想要見證費馬大定理被證明時的偉大時刻，數學家們接過了邦別裡拋來的橄欖枝。他們爭相轉發郵件。隨著郵件的快速傳播，他們忘記了還有愚人節這檔子事兒了。加上這封郵件在許多不知愚人節為何物的國家傳閱，使得這個惡作劇比邦別裡預想得還要成功。他最終不得不出面承認這封郵件只是個愚人節玩笑。隨著 21 世紀的到來，對數學界這種最基本的數字，我們仍然所知甚少。只有素數笑到了最後。
為什麼數學家們會這麼輕信邦別裡呢？他們並不會輕易放棄自己的成果。之前，數學家需要通過嚴格的測試，方可宣佈其成果得到證明，測試之充分遠超其他學科。當懷爾斯發現自己第一次完成的費馬大定理證明存在一個漏洞時，就意識到，完成 99% 的拼圖是不夠的，拼出最後一塊的人才是贏家，才會為人所銘記。而最後一塊，通常隱藏數年才會為人所識。
對素數的探秘已持續了兩千多年。對靈丹妙藥的渴望，使數學家毫無防備地跳入了邦別裡的圈套。多年來，許多人一提起這個難題，就望而卻步。但隨著 20 世紀漸近尾聲，越來越多的數學家摩拳擦掌，談論著如何攻克這個令人矚目的問題。費馬大定理的證明已經表明，重大難題也可以被攻克。這給滿懷期待的人們吃下了一顆定心丸。
懷爾斯對費馬大定理的證明，使數學家受到人們的空前關注。這給了他們一種身為數學家的榮譽感，而這種榮譽感無疑使他們更願意相信邦別裡。安德魯·懷爾斯還被 Gap 公司邀請擔任休閒褲的代言人。這聽上去真不錯，數學家也可以有魅力四射的時刻。數學家們絕大多數時間都置身於一個世界——一個能給他們帶來興奮之情與滿足之感的世界。然而，他們卻鮮有機會將這種喜悅分享給這一世界之外的其他人。這是一個機會，一個向他人展示自己在孤獨而漫長的征程中，上下求索所取得的成果的好機會。
對黎曼假設的證明在 20 世紀進入數學界的高潮期。希爾伯特直接向全世界的數學家發起挑戰，希望破解這一難題，由此揭開了這個世紀的序幕。在希爾伯特所列出的 23 道難題中，只有黎曼假設仍然是新世紀的未解之謎。
2000 年 5 月 24 日，為了紀念希爾伯特 23 問題提出 100 週年，數學家和出版界人士在法蘭西公學院匯聚一堂，聆聽七個新難題的宣佈，以挑戰新千年的數學界。這些難題出自世界上最優秀的一小群數學家，包括安德魯·懷爾斯和阿蘭·孔涅。七大問題中除了希爾伯特列出的黎曼假設之外都是新問題。這些難題都附帶誘人的豐厚獎勵，以迎合 21 世紀衍生的價值觀。黎曼假設和其他六個難題的獎金，定為每道題 100 萬美元。如果精神讚譽不夠的話，物質獎勵也足以刺激到邦別裡虛構的年輕物理學家們。
千禧年難題的主意是由波士頓的一個名叫蘭頓·T. 克雷的商人提出的，他以在行情看漲的股票市場交易公共基金來謀利。從哈佛大學數學專業輟學的他，對這一學科的熱情不減。他還想將這種熱情分享給更多人。他意識到，金錢對數學家來說可能並沒有什麼激勵作用：“正是對真理的追求，對數學之美，對數學之力量以及對數學之優雅的回應，激勵著數學家們。”但是克雷也不簡單，作為一個商人，他知道如何用百萬美元激勵另一個安德魯·懷爾斯加入到解答這曠世難題的競爭中來。的確，克雷數學研究所的網站在發佈千禧年難題後的第二天，因訪問量過大而崩潰了。
這七個千禧年難題，本質上和 20 世紀的 23 個難題大不相同。希爾伯特為 20 世紀的數學家安排好了新的日程表。許多難題都是剛剛起步，甚至意味著會顛覆許多人對該學科的認識。希爾伯特所列的 23 個難題並沒有像費馬大定理一樣，引導數學家關注單一的方向，而是激勵他們從更概念化的層面來思索問題。他也沒有撿拾數學勝景中的單塊石頭，而是為數學家們提供了俯瞰整個學科的視角，並激勵他們從宏觀角度考慮數學。這種新的方式很大程度上歸功於黎曼，早在 50 年前他就開始思索數學變革，將其從一門由公式和方程構成的學科，變成一門遍佈概念和抽象理論的學科。
新千年的七個難題，其選擇標準更加保守。它們是數學難題藝術展中的透納 6 作品。希爾伯特的問題則是現代派和前衛派合作的產物。新問題較為保守的部分原因在於，希望解決者給出的答案能夠得以充分證明，從而獲得百萬美元獎金。千禧年難題幾十年來都為數學家們所熟知，黎曼假設更是歷時百年。這些問題都很經典。
619 世紀上半葉英國學院派畫家的代表，以善於描繪光與空氣的微妙關係而聞名於世，尤其對水氣瀰漫的掌握有獨到之處。他在藝術史上的特殊貢獻是把風景畫與歷史畫、肖像畫擺到了同等地位。他是西方藝術史上於最傑出的風景畫家之一。——編者注
克雷的 700 萬美元並非首次為解決數學問題而發放的獎金。1997 年，懷爾斯就因證明了費馬大定理而摘取了保羅·沃爾夫斯凱爾在 1908 年設立的獎項，獲得 75 000 馬克。懷爾斯早在 10 歲時就對沃爾夫斯凱爾獎的故事有了深刻的印象。克雷相信，如果他也對黎曼假設如法炮製的話，那麼這 100 萬美元就會有所回報。近期，英國的費伯出版社和美國的布魯姆斯伯裡出版社為證明哥德巴赫猜想的人提供百萬美元的獎金，藉此宣傳新書——阿波斯托洛斯·佐克西亞季斯的小說《遇見哥德巴赫猜想》。為了得到這筆錢，你得弄清楚，為什麼每個合數都可以寫成兩個素數的乘積。然而，出版社並不會給你過多時間來破解此難題。只有在 2002 年 3 月 15 日前提供的答案才算數。這兩家出版社還很莫名其妙地規定，僅限美英兩國居民參加此次活動。
克雷認為，數學家們很少因為自己的工作而受到獎賞和認可。例如，令人嚮往和追求的諾貝爾獎沒有設立數學獎，取而代之的是菲爾茲獎，被視作數學界的至高榮譽。諾貝爾獎傾向於授予那些在各自的領域做出長期貢獻的科學家們，而菲爾茲獎的評選僅限於 40 歲以下的數學家。這並非是受固有觀念——數學家容易江郎才盡——的影響。約翰·菲爾茲，菲爾茲獎的創立者和獎金提供者，希望藉此獎項激勵那些最富潛力的數學家去取得更偉大的成就。該獎項每四年在國際數學家大會上頒發一次。第一屆菲爾茲獎是於 1936 年在奧斯陸頒發的。
年齡是一道嚴格的門檻。儘管安德魯·懷爾斯在證明費馬大定理上取得了突出成就，但是菲爾茲獎委員會還是無法在 1998 年於柏林舉辦的國際數學家大會上授予他這一獎項。這是自他最後的證明被接受以來首次有機會被認可，可惜他生於 1953 年。他們鑄造了一個特別的獎牌，以紀念懷爾斯為此所做的貢獻，但是這和菲爾茲獎獲得者這一卓越稱號無法相提並論。獲獎者囊括了我們這場戲的許多重要角色：恩里科·邦別裡、阿蘭·孔涅、阿特勒·賽爾伯格、保羅·科恩、亞歷山大·格羅騰迪克、艾倫·貝克、皮埃爾·德利涅。這些人幾乎摘取了五分之一的獎項。
但數學家並非是為了金錢而追逐這些獎項的。與諾貝爾獎提供的鉅額獎金相比，菲爾茲獎提供的獎金不過 15 000 加元。因此，克雷頒發的百萬美元獎金足以和諾貝爾獎相匹敵。相比於菲爾茲獎，以及費伯出版社與布魯姆斯伯裡出版社頒發的哥德巴赫猜想百萬美元大獎，贏得這筆獎金不受年齡和國籍限制，也沒有解題時間限制，唯一變化的只有匯率。
然而，促使數學家們破解千禧年難題的最大動力不是鉅額獎金，而是數學帶給人的那種不朽而令人神往的力量。攻克一個千禧年難題，你就能獲得 100 萬美元。但是，相比於把你的名字鐫刻進探索智慧與文明的歷史長河中，這根本不值一提。黎曼假設、費馬大定理、哥德巴赫猜想、希爾伯特空間、拉馬努金 方程、歐幾里得算法、哈代 - 利特爾伍德圓法，傅里葉級數、哥德爾數、西格爾零點、賽爾伯格軌跡公式、埃拉託斯特尼篩法、梅森素數、歐拉積、高斯積分等發現，使那些在探索素數之路上做出了不朽貢獻的數學家名垂千古。即使我們有朝一日或許會忘記埃斯庫羅斯 7、歌德和莎士比亞這樣的名字，那些名字依舊永垂不朽。正如哈代所言：“語言會消亡，而數學思想卻不朽。‘不朽’或許聽起來虛無縹緲，但或許數學家最有發言權來解釋該詞的意義。”
7古希臘悲劇作家。——編者注
那些在探索素數這一偉大征程中做出長久而不懈努力的數學家們，不僅僅是數學裡程碑上所銘記的那些名字。素數的故事是一個個鮮活的人物的真實經歷。法國大革命的歷史人物和拿破崙的朋友們，紛紛向現代的魔術師和網絡公司讓步。來自印度的職員，兢兢業業執行任務的法國間諜，還有逃離第二次世界大戰（簡稱二戰）戰火的匈牙利裔猶太人，這三個人的命運都因探索素數的奧秘而交織在一起。所有這些人致力於提出獨特觀點的目的，就是希望自己的名字能留存在數學的歷史長河中。素數讓世界各地的數學家們走到了一起，中國、法國、希臘、美國、挪威、澳大利亞、俄羅斯、印度和德國等國都誕生過傑出的數學家。他們都會在每四年舉辦一次的國際數學家大會上講述自己的探索故事。
留名青史並非激勵數學家的唯一動力。就像希爾伯特敢於探索未知一樣，黎曼假設的證明也將開啟一段新旅程。當懷爾斯在宣佈克雷獎的媒體發佈會上做演講時，他強調問題的解決並不等於為此畫上了句號：
有一個嶄新的數學世界等待著我們去發現。想象一下 1600 年的歐洲人，他們知道大西洋的對岸是一片新世界。對於那些曾在建設美國的過程中做出貢獻的人們，應該給他們頒發什麼獎項呢？不是飛機發明獎，不是計算機發明獎，不是芝加哥城市建設獎，也不是小麥收割機發明獎。雖然上述這些事物已成為美國人生活的一部分，但這些都是 1600 年的歐洲人所無法想象的。他們應該為解決經度問題的人頒發一個獎項。
黎曼假設就是數學界的“經度問題”。黎曼假設的解答能為人們探索數字海洋中的神秘水域提供線索。它也僅僅是我們探索自然之數字的一個開始。如果我們僅僅揭開的是如何尋找素數的秘密，那麼前方是否又有更多秘密等著我們去發現呢？
本文選自《悠揚的素數：二百年數學絕唱黎曼假設》，已獲得圖靈新知授權發佈。
圖書簡介：黎曼假設，即素數的未解謎題，被視為數學研究的“珠峰”，吸引了一代代數學家投身於數論研究中，其中不乏數學史上大名鼎鼎的人物。而破解這一謎題過程中的發現，已經給電子商務、量子力學和計算機科學等領域帶來了舉足輕重的影響。本書作者以生動細膩的筆觸，將素數的故事娓娓道來。閱讀本書不僅能像聆聽音樂那樣，無須具備數學專業背景即可領略數學之美，而且還能近距離體會數學家的心路歷程，以及他們之間競爭與合作的複雜關係，從而對數學家這一群體有更深刻的瞭解。
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