拉普拉斯曾經說過“我們當中的所有的人都應該去讀讀歐拉的著作，他是我們所有人的老師”。 的確，歐拉雖然沒有專門做過教師，但是他的想法和教育理念深深地影響到了所有人。歐拉也有過一位非常偉大的老師，如果沒有這位老師的培養，歐拉的前途應該會大不相同，這就是伯努利家族。
拉普拉斯
1630年，伽利略提出一個問題：“一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什麼曲線滑下所需時間最短”。伽利略沒有深入研究過這個問題，粗略地認為這個曲線應該是圓弧。
伽利略
1696年，約翰伯努利重新發現這個問題，並且得出了正確的答案。伯努利先生很興奮，在整個歐洲數學界廣發英雄帖，希望廣大數學界人士來作答。截止到1697年5月5日，萊布尼茨，牛頓，雅各布伯努利，羅必塔都獲得了正確答案。可以看出來，能夠解出這個難題的都是當時世界級的大數學家，《博學通報》刊登了除羅必塔以外所有的正確解法。
約翰·伯努利
這5種解法中，最巧妙的還要算是約翰伯努利本人發現的方法，他創造性地把光學，力學和數學分析結合在一起，解出了這個難題。
首先看一個公式：
光線折射定律
學過高中物理的同學應該會很有印象，這是光線的折射定律，其中的α是入射角和折射角，v是光線在不同介質中的傳播速度，n叫介質的折射率。費馬總結出一個光線傳播定律：
“過空間中兩定點的光，實際路徑總是光程（或者時間）最短。”
由這個定律就可以推導出這個公式，荷蘭物理學家斯涅耳在1621年，通過實驗驗證了這個公式的正確性，所以光的折射定律又叫斯涅耳定律。約翰伯努利的解法正是基於這個定律。
伯努利解法基礎——斯涅耳定律
下面介紹約翰伯努利的解法，前方高能，請謹慎閱讀！
至此，我們已經建立了最速降曲線的微分方程（4），下面就開始求解這個方程：
實際上最速降曲線也就是我們常說的擺線，也叫旋輪線。圓上的任意一點滾動產生的軌跡就叫擺線，另外生活中兩個等高的點之間自由下垂的繩子或鏈子的造型也是擺線。
擺線的由來
鐵鏈的造型也是擺線
可以看出來這個方法的想象和創造力是空前的，約翰伯努利敏銳地察覺到費馬的時間最短原理推廣到無限情層數就是最速降曲線的解，相當漂亮！伯努利的解法中，除了要創造性地認識到最短時間原理和最速降曲線之間的關係，還有關鍵一步就是如何建立描述這個運動問題的微分方程，一旦正確的微分方程建立，對這個運動問題的研究就全部轉移到數學方法上來。事實上，到今天為止，我們描述運動最理想的方式仍然是微分方程。牛爵士當年在《原理》一書中建立的第二運動定律並不是我們現在常見的F=ma的形式，而是F=m·dv/dt。
“最速降問題”也成為了約翰伯努利一生數學成就的經典代表。
歐拉大神
約翰伯努利數學生涯還有一件更加成功的成就，那就是做了歐拉的老師。且不論這對師生之間的學術成就高低，他們都是各自研究領域的世界級大師。“最速降問題”掀起熱潮的時候歐拉尚未出生，假如歐拉也在那個時代，那麼競爭可能會更加精彩激烈。
雖然說約翰伯努利完全解決了“最速降問題”，但他也使用了很多技巧，很多時候這樣的技巧顯得不是那麼顯而易見，也並非適用所有情況。就像在微積分創立之前就有很多人已經會求曲線的面積和周長。但是他們用到的特殊技巧卻不是每個人都可以掌握的，牛頓，萊布尼茨兩位的偉大之處在於，將解決這類問題的方法一般化，用一套規範來解決這一類問題。事實上，如果伯努利能再前進一步，就可以發現這一門新的學科。
回過頭來我們再來分析一下“最速降曲線”問題的難點在哪兒？建立的微分方程實際上是表示的是一類時間與路徑的函數簇，我們要做的是在這一類函數簇內找到時間最短的那條。這個問題有點類似求函數的極值，在連續函數的某個位置存在一點，使得一階導數為零，我們就把這個點叫作駐點，我們可以很方便在駐點處分析函數的各種性質。很明顯函數簇中的自變量也變成了函數，這種情況毫無疑問會比求函數極值複雜得多。這套數學方法的誕生已經積累好了足夠的數學背景，就待臨門一腳了。
變分法主要從函數簇中找出滿足條件的那支
歐拉在1734年重新研究了老師的“最速降問題”，這裡，歐拉拋棄了那些高超的轉換技巧轉而分析更一般的情況。歐拉給這門新的學科起了一個很有力的名字——變分法。並與拉格朗日一同建立了變分法最關鍵的定理——歐拉-拉格朗日方程。此方程的地位相當於微積分領域的牛頓-萊布尼茨公式。
變分法關鍵定理 E-L方程
下面，我們簡單看下用歐拉方程怎麼求解“最速降問題”，這裡同樣高能，請謹慎閱讀！
這裡的(15)式與（4）式完全相同，於是，最速降曲線問題就這樣被解決。
拉格朗日
在變分法的逐步建立過程中，拉格朗日做了非常重要的貢獻。這位年輕的數學家從19歲開始就一直與歐拉保持長期的通信交流數學，其中對於等周問題，拉格朗日給出了第一個證明，等周問題的研究也是變分法誕生的另一個契機。這讓歐拉欣喜若狂，歐拉壓下自己往年做過關於等周問題方面不太成熟的研究，鼓勵拉格朗日先發表自己的論文，於是年輕的拉格朗日名聲大噪，從默默無聞的數學後生也晉升到著名數學家的行列。現在一般認為拉格朗日對於變分法的創立有著更加標準的貢獻，但是，變分法的基本方程最先卻是歐拉提出的，所以這個基本方程被命名為E-L方程。從某種意義上說，以歐拉命名的數學定理已經多到讓人難以排序，所以不得不找個別人的名字加進去來區分，要不就說這是具體什麼領域的歐拉定理，而不僅僅是說歐拉定理了。
今天的變分法已經滲透到所有的自然科學中去了，物理學，經濟學，甚至後來的自動控制領域，E-L方程都是最基本的分析工具。人們不僅僅可以處理的函數的大小，也可以在一堆函數中準確找到滿足要求的那個具體的函數了。
歐拉以一種最崇高的方式致敬了自己的老師，在數學界的故事中還有什麼比師徒傳承更加動聽的故事麼？在這裡，我們也看到，歐拉作為一位大師對待後生的可敬態度，始終鼓勵年輕人做出更大的貢獻，這是對自己實力的絕對信任，也是為了培養更多的年輕數學家。某種意義上，歐拉的精神要比他的成就更加動人。
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