義楓刀

質數是隻有1和它本身兩個約數的數字。比如5就是質數，因為5只有1和5兩個約數，而4就不是質數，因為4的約數除了1和4，還有2，這樣的數字稱為合數。

數學中有一個專門的分支：數論，專門研究最簡單的數字——自然數的性質。在數論中，質數是最引人入勝的風景， 有許許多多關於質數的猜想，例如以前介紹過的哥德巴赫猜想、費馬數猜想等等，有些經過了數百年的時間才被人證明，有些直到現在還沒有被證明。正因為質數如此迷人和複雜，目前人們還沒有完全掌握質數的規律，所以人們才把質數作為密碼學的基礎。

那麼，質數到底有多少個呢？它的分佈有什麼規律嗎？人們對質數的研究已經有了哪些成果呢？

質數有多少個？

我們很容易通過計算寫出前幾個質數，它們是：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37…

那麼，如果我們就這樣寫下去，能夠把質數都寫窮盡嗎？如果質數可以窮盡，那麼關於質數的許多猜想就變得容易了許多。遺憾的是，在古希臘時代，人們就已經認識到質數有無窮多個了，這要歸功於數學家、幾何學的創立者歐幾里得。

歐幾里得通過反證法證明了質數有無窮多個。所謂反證法，就是假設一個命題不成立，再通過演繹的方法推理出兩個相互矛盾的結論，從而證明該命題。歐幾里得的思路是：

假設質數的個數是有限個，分別是2、3、5、7、….、p,其中p是最大的質數，那麼可以令數字q等於所有質數的乘積與1的和，即

這個數字q是質數還是合數呢？

（1）如果這個數字q是質數，那麼q是一個比p大的質數，與p是最大的質數矛盾，所以q不是質數。

（2）如果這個數字q是合數，那麼它必然有除了1和它本身以外其他的約數，或者說它可以進行質因數分解，也就是把它寫作一堆質數的乘積：

這裡的m都是質數，叫做q的質因子。由於所有的質數都被我們找到了，因此每一個m只能在2、3、5、7、…、p中取值。

可是，根據q的計算方法可知：

也就是說q-1是2、3、5、7、…、p這些質數的整數倍，q除以2、3、5、7、…、p中的任何一個數字都會有餘數1，因此q不可能有任何一個質數因子，這與q是合數矛盾，q不可能是合數。

所以，q既不是質數也不是合數，二者發生了矛盾。矛盾的起源在於我們假設質數是有限個，所以質數不可能是有限個，質數有無窮多個，真是一個漂亮的證法！

如何尋找質數？

雖然質數有無窮多個，但是人們依然希望知道如何快速判斷一個數是質數還是合數。古希臘的埃拉托色尼（我們之前談到過，就是那個測量出地球半徑的人）給出了一種製作質數表的方法：篩選法。

他的思路是：要找到一個小於某自然數n的全部質數，只需要按照下面的方式：

1. 找到這個數字的平方根m=√m

2. 找到不大於m的所有質數。

3. 在一張自然數表上劃掉所有質數的整數倍（質數本身不劃掉）

4. 把1劃掉。

5. 沒有劃掉的數字就是質數。

例如，我們要找到100以內的所有質數，只需要按照下面的步驟進行：

1. 計算100的平方根，是10。

2. 10以內的質數有2、3、5、7

3. 劃掉2、3、5、7的整數倍。首先劃掉2的倍數，如4、6、8…、98、100，然後劃掉3的倍數，如6、9、12、15、…、99， 重複的就不需要再劃掉了。然後劃掉5的倍數，7的倍數。

4. 最後劃掉1。

5. 表中餘下的數字就是質數。

這個方法的依據是：如果一個數字是合數，那麼它最小的質因子不會超過它的平方根。對於這個問題的證明我們依然可以使用反證法：如果所有質因子都大於它的平方根，兩個質因子相乘就會比它大了。

質數分佈有規律嗎？

人們雖然可以通過這種方法獲得質數表，但是數字一旦大起來，判斷是不是質數就非常困難，人們只能使用已知的質數因子一個個去除，去嘗試。例如費馬數

它有一個1187位的因子，還沒有判斷出來是不是質數。

長久以來，人們一直希望發現質數的分佈規律，最好能通過一個公式算出質數，或者能通過前面的質數計算出後一個質數。

第一個獲得突破的人是瑞士數學家歐拉。

歐拉在研究級數求和的問題中，得到了一個著名的公式：歐拉乘積定理。

這個公式並不難理解：左邊的Σ表示求和，即把全體自然數n的s次冪的倒數求和。右邊的Π表示乘積，而數字p是質數。如果我們把它展開成更加好認的形式，就是：

這是多麼美妙的式子！雖然自然數和質數都是無窮多個，但是全體的自然數和全體質數之間卻有某種微妙的聯繫。

不僅如此， 歐拉通過對質數的研究，發現了一個近似的規律：小於一個數x的質數個數π(x)大約可以用一個函數計算出來：

lnx是一個對數函數。

歐拉研究出這個內容之後，就去做其他工作了。畢竟歐拉涉獵的內容太廣泛。於是，這個內容的接力棒就傳到了另外一位數學巨匠高斯手中。

素數定理

在歐拉去世的時候，德國的數學巨匠高斯六歲。

他最出名的應該是在小學的時候計算1+2+3+4+…+100的故事，但是他的貢獻遠遠不止與此。高斯在數論、代數、統計、分析、微分幾何、大地測量學、地球物理學、力學、靜電學、天文學、矩陣理論和光學等方面均有巨大貢獻，以高斯的名字命名的定律有110個，他和阿基米德、牛頓、歐拉並稱為四大數學家。

高斯小的時候，經常自己一個人研究數字。他經常隨意的寫出連續1000個數字，並找出中間的質數個數。他發現，開始的數字越大，這連續1000個數字中的質數越少。他用找出的質數個數除以1000，就得到了質數的“密度”。高斯發現這個密度大約可以用算式

計算。這個結果與歐拉得到的結果接近，但又不完全相同。

高斯得到這個結果後，並沒有急於發表。因為高斯並不喜歡發表一些不成熟的結論，他向來要求自己的論文嚴格而優美。這樣，這個機會就留給了法國數學家勒讓德。

勒讓德在1798年提出：小於x的質數個數可以用下面的計算得到：

其中的第一項積分式子稱為Li(x)，而c是一個誤差項。質數也叫做素數，而且勒讓德提出這個問題的時候，並沒有嚴格證明，所以稱為素數猜想。

勒讓德提出素數猜想的榮譽保留了50年，然而在1849年，高斯在給他人的信中談到：1792年他就已經提出了這個猜想。人們相信高斯，因為高斯經常這麼幹。

我們把素數猜想計算的結果Li(x)，質數實際個數π(x)，以及歐拉計算的x/lnx畫在一張圖中，就會發現Li(x)的結果更加接近實際的素數個數。

質數與黎曼猜想

我們之前談到：質數與黎曼猜想之間有著千絲萬縷的聯繫。1896年，法國科學院舉行比賽：徵稿證明黎曼定理。兩位年輕的數學家阿達馬和德·拉·瓦萊布桑獲得了這一殊榮。實際上這兩位數學家並沒有證明黎曼猜想，只是獲得了一點進展，但是這一點進展就一舉證明了歐拉和勒讓德的猜想，把素數猜想變成了素數定理。黎曼猜想的威力可見一斑。

1901年，瑞典數學家科赫證明：如果黎曼猜想被證實，那麼素數定理中的誤差項c大約是√xln(x)的量級。

然而黎曼猜想到底是對是錯？可能我們還需要等待許多年。即便黎曼猜想被證實，人們也只是在質數規律探索的過程中更近了一步，距離真正破解質數的規律，還有很長的路要走。也許質數就是宇宙留給人類的密碼。

李永樂老師

答：有很大的把握說：質數肯定存在規律！

只是，目前人類沒有掌握其中規律，或者說沒有發現有效的方法，去處理質數而已。實際上，數學家已經發現了質數的不少性質，其中就暗示了質數存在規律。

一、質數螺旋

質數規律非常難以掌握，甚至讓數學家感到絕望；可是在二十世紀，一個意外的發現，再次激起了數學家對質數規律的尋找。

1963年，在一次會議中，波蘭數學家烏拉姆，無聊地在一張草紙上擺弄著數字，然後圈出其中的質數後，驚訝地發現，這些質數居然顯現著非隨機的模式。隨後，烏拉姆擴大了質數範圍，得到的圖樣呈現出某種規律，一下震驚了整個數學界。

隨著數學家對質數螺旋的研究，雖然發現了一些以往沒被發現的規律，但是對質數整體規律的尋找，還是沒有實質性的幫助。

不過質數螺旋表明，看似隨機的質數，整體上肯定不是隨機的，存在某種未被發現的規律，支配著質數的分佈。

二、素數定理（PNT）

素數定理（猜想）最先由大數學家高斯，和另外一位數學家勒讓德，幾乎同時提出，雖然都知道這個定理的重要性，但是他們都無法進行證明。

直到一百多年後的1896年，兩位年輕的數學家阿達馬和德·拉·瓦萊布桑，基於黎曼的思路，證明了素數定理。素數定理表明，素數在整體分佈上，肯定是存在一定規律的。

三、質數乘積式

這是18世紀的大數學家歐拉發現的，號稱質數規律的金鑰匙，美妙地把黎曼ζ（z）函數和質數聯繫了起來。

如果你結合根與係數的關係，稍微擴展一下，就會發現質數的分佈，和黎曼函數零點存在若影若離的聯繫。

如果你看到這是式子，還是認為質數是隨機的，那麼你對“數學隨機”的理解，肯定存在問題！

四、質數分佈公式

質數分佈公式是存在的，只是公式是否方便計算機處理，則是另外一回事。

比如基於黎曼猜想為前提的黎曼素數計數函數：

這就是一個準確的素數分佈公式，不過因為和黎曼函數零點有關，導致實際計算素數時沒有太大的作用，更多的是在理論上，指導人們對素數的研究，而且黎曼假設還未被證明。

好啦！我的答案就到這裡，喜歡我們答案的讀者朋友，記得點擊關注我們——艾伯史密斯！

艾伯史密斯

規律1 ，分佈越往後越稀疏！

5以上的質數具有以下幾個規律:

規律2 ，除1後得出循環小數，且循環小數數目≤質數-1，如1/7=0.142857142857，循環數目為142857為6位，1/17=0.0588235294117647循環，循環數目為16位。

規律3，除1後得出的循環數具有相加為99999999...的特性，即把142857拆開為142+857。則相加為999。用1除以17等質數也有這個特性，得出1/17=0.0588235294117647十六位循環。拆開前半部05882352+後半部94117647=99999999。

規律4，1除質數後得出的循環數具有倍數錯位的性質，即1/7=0.142857循環，2/7=0.285714循環，則循環所用數字一樣，而且排列順序一樣，只是因為分子不一則開頭不一。其他質數也是如此道理。

其他，排列可能跟某種曲線與函數相交叉有關，如黃金螺旋等，待後生研究可得出。

問道歷史懸崖

質數是否存在規律？

自然數分為奇數和偶數，而奇數又分為素數和合數。素數當然是有規律的。

第一， 除了2以外，所有素數都是奇數。為了簡化，下文所說的素數，不包括2在內。

第二， 尾數為5的數，除了個位數5以外，2位數以上尾數為5的數全是合數。所以2位數以上的素數，尾數只有1，3，7，9四種。

表1：

1， 3， 5， 7， 9

11，13，15，17，19

21，23，25，27，29

31，33，35，37，39

41，43，45，47，49

51，53，55，57，59

61，63，65，67，69

71，73，75，77，79

81，83，85，87，89

91，93，95，97，99

這樣排列可以很清楚看出，從兩位數起，中間一行尾數為5的數都是合數，其兩邊是尾數是1，3，7，9，的奇數。當中間的數為25+30n時，兩邊尾數是1，7的奇數一定是3的倍數。為35+30n時，兩邊尾數是3，9的奇數也一定是3的倍數，為45+70n時，右邊尾數為9的數一定是7的倍數，以此類推，75+70n時，邊上尾數7的數一定是7的倍數，95+70n時，邊上尾數為1的數也是7的倍數。同樣，還可以找出11，13，17等其他素數因子倍數的位置。而為15+30n時，兩邊必定沒有3的倍數，因此孿生素數和四生素數只可能在這樣的數兩出現。（尾數為9，1的孿生素數只可能出現在30+30n的兩邊）

合數都是素數因子與其他奇數依次相乘的積。例如3的倍數是6x+9,5的倍數為10x+25,以此類推，任意素數的倍數為

2sx+ss.

函數Y=2sx+ss是直線，ss是截距，2s是斜率。由此可見，素數越大，函數線與y軸夾角越小，但是又永遠不會和y軸重合。所以素數和合數都是無限的。

最小的合數是9，所以最小合加合是18.因此小於18的偶數內只有素加素和素加合。所謂哥德巴赫猜想，就是要證明偶數都可以寫成兩個素數之和，即素加素。但是偶數也可以寫成合加合和合加素，這就產生了一個問題，為什麼素加素需要證明，而合加合不需要證明呢？難道合加合和合加素是天經地義天然成立不需要證明的嗎？既然素加素的證明非常難，不是我等能問津的，那麼好吧，我們且不去證明素加素，我們來證明合加合總可以吧？

由表1可知，每3個奇數中必有一個3的倍數，每5箇中必有一個5的倍數，每7個數中必有一個7的倍數，以此類推。因此隨著偶數增大，合加合也必然隨之增多。這裡就有一個對立統一的關係，偶數越大，合數越多，素數越稀，但合數越多，合加合也越多，剩下的合數就越少，剩下的合數越少，則除掉合加素之後的素加素就越多。也就是說，隨著偶數越來越大，素加素的數量只會越來越多。而事實也正是如此，這就是素數的客觀規律。

宋公明5

質數的重要性

質數，也叫素數，我們在小學的時候就知道它的概念：只能被自己和1整除的自然數就叫質數（比如2, 3, 5, 7, 11, 13），質數以外的自然數（就是說除了自己和1，還能被其他的）叫合數。

小時候我們知道質數和合數的定義，也知道要怎麼判斷，但是我們未必知道質數的意義（不就是隻能被自己和1整除嘛，有什麼特別意義的）。

我們先來想一想，合數為什麼叫合數？我們可以理解為合數是可以由其他的質數合成的數。小學我們就學過質因數分解：每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，這個質數就叫這個合數的分解質因數。

也就是說，我所有的合數都可以看成是由質數組合而成的，那麼，只要我把這些處在最低層的質數的規律摸清楚了，那麼上層的合數的規律就不在話下了。

這就好比我們學物理，只要我們把分子原子的規律搞清楚了，那麼由分子原子組成的物質的性質也就搞清楚了。而質數在自然數里的地位，就相當於分子原子電子（現在應該是夸克）這些基本粒子在物理學的地位，所以你說它重不重要？

質數的規律

既然質數這麼重要，那數學家們都去研究質數的規律啊，都別閒著啊！

數學家們自覺得很，根本不用你催就去吭哧吭哧的研究去了，但是研究來研究去，發現這質數實在太難搞了，壓根就沒啥規律可言嘛。試圖通過簡單的多項式來找到質數規律的直接被判死刑了，不信我列舉100以內的質數你自己去找找規律看看，看看能找出什麼規律：

100以內的質數：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

數學們發現質數有無窮多個，而且根本找不到簡單的多項式通項公式，要研究質數壓根不知道從而下手。

這種尷尬的局面一直要到歐拉發現了Zeta函數和質數之間的神秘聯繫之後才被打破。

歐拉乘積公式

1737年，歐拉在一篇名為《無窮級數的各種觀察》的論文中首次發現了質數和Zeta函數之間的一種關係：Zeta 函數的求和等於1減去質數的-s 次方的倒數的求積。

這個公式叫做歐拉乘積公式（p為質數）：

這個公式看不太懂也沒關係，反正我們只要知道歐拉第一次發現了質數的乘積和Zeta函數的求和之間存在一種關係就行了。這種關係是現代質數理論的基礎，並且給後人指明瞭一個方向：想要了解質數的規律麼？那麼就去研究Zeta函數把，質數的規律極有可能就藏在Zeta函數里面。

質數的計數函數π(x)

在上面我們提到，想找到一個簡單的多項式公式來描述質數是不可能的，那我來研究一下質數的分佈規律總可以吧，我想知道100以內大概有多少個質數，100萬以內大概有多少個質數，這個也非常的重要。

高斯引入質數的計數函數π(x)就是用來幹這事的，π(x)表示小於x的質數數量，比如π(100)就表示小於100的質數有多少個。

π(x)其實是一個客觀確定的函數，比如我們都知道10以內的質數一共有4個（π(10)=4），20以內的質數一共有8個（π(20)=8），100以內的質數總共有25個（π(100)=25）等等。那麼接下來我們就要找一個已知的函數來模擬它，讓這個函數取10的時候，它的值為4，取20的時候值為8，取100的的時候值為25。

因為我們沒有找到描述質數的準確規律，所以我們也無法找到一個精確的描述質數分佈的函數，於是我們就只能儘可能去找一個誤差比較小的函數來代替它，讓我們對質數的分佈有個大致的把握。

質數的計數函數π(x)是高斯提出來的，他自己先給出了一個近似模擬π(x)的函數：x/ln(x)。並且提出：當x逐漸增大到無窮大時候，π(x)和x/ln(x)應該近似相等。這個就叫素數定理。

後來，人們又提出了一個模擬π(x)的函數Li(x)，這個函數比x/ln(x)更加精確。

這幾個函數的圖如下，我們可以看到Li(x)偏大，x/ln(x)偏小。相比之下Li(x)確實更加精確一些。

但是，即便如此，數學家們還是不滿意。Li(x)即便精確一些，但是當x取到億級的時候，它將產生兩千多個誤差，這對眼裡容不得沙子的數學家來說，依然是不可接受的。

難道就不能再找到更好的結果了麼？

黎曼登場

前面做了那麼多鋪墊，我們的主角黎曼終於要登場了。

我們先看一看這幾個人的出生年代：歐拉（1707-1783）、高斯（1777-1855）、黎曼（1826-1866）。高斯比歐拉小了70歲，黎曼比高斯小了49歲，而黎曼正好是高斯最得意的學生。從上面我們發現最悲傷的事情是：

如果黎曼能活得跟歐拉高斯一樣久，黎曼猜想或許早就被黎曼自己解決了，而且說不定黎曼能把相對論搞出來（愛因斯坦的廣義相對論的數學工具就是黎曼幾何）。黎曼的創造力和對數學的洞察力太驚人了，他隨便一個證明從略的東西就要花費後世數學家幾十年的時間去證明，而黎曼的運氣又太差了，他極其珍貴的手稿在他死後被管家一把火燒了，可見身體是革命的本錢啊！

1859年，黎曼發表了關於質數分佈的論文《論小於某給定值的素數的個數》，這是他在這個領域發表的唯一的一篇論文，卻被認為的該領域最重要的論文，不得不說有才就是任性。

黎曼 Zeta函數

關於Zeta函數我們在上面已經介紹了，歐拉第一個發現了質數和Zeta函數之前存在著某種不可告人的秘密，但是這種關係畢竟很有限。

黎曼做的一個重要的工作就是：把Zeta函數推廣到了複數，然後在複數這個更高的角度發現了Zeta函數跟質數之間更加深刻的關係。

我們先來回憶一下複數的概念：-3，2，0，1，5這種數是整數，整數加上有限小數和無限循環小數構成了有理數，有理數加上π、根號2這種無限不循環的無理數一起構成了實數，實數和虛數一起構成了複數。

虛數主要是通過一個虛數單位構成的，這個虛數單位記做i，這個i的一個神奇的特性就是：i的平方等於負一，即i^2=-1。

我們知道，在實數範圍裡，任何一個數的平方都是大於等於0的數，但是現在出現了一個i，它的平方居然等於-1，那麼這個i肯定就不是實數里面的了。那麼，有這個i組成的數就叫虛數，實數和虛數一起就叫複數。

根據上面的定義，一個複數就可以寫成s = σ + it（其中σ 和 t 均為實數，i為虛數單位），當t=0的時候，這個複數就變成了一個實數。

黎曼Zeta函數就是把原來的Zeta函數拓展到了這個複數裡面，也就是說下面的s代表一個複數。

函數的零點

我們在初中的時候就接觸過方程和函數。

方程是一個含有未知數的等式，使用方程可以讓我們省去逆向思維的痛苦，這在數學裡是一個非常重要的思想。通常我們會把方程裡所有的項都移到左邊，然右邊只剩下一個0，而通過解方程就可以求解出這個未知數。

比如，2x-4=0這是一個方程，因為只有x一個變量，而且最高次項只有一次（沒有平方立方啥的），所以這叫一元一次方程，也是最簡單的方程。我們通過觀察，很輕鬆的就可以發現當x=2的時候這個等式是成立，所以這個方程的解就是x=2。

然後，我們把方程的左邊單獨摘出來，把它賦給另外一個變量y，這樣就變成了

我們觀察這個函數，當x=1的時候，y=-1;x=2的時候，y=0；x=3的時候，y=2等等等等。給定一個任何的x，我們的y都有一個唯一的值跟它對應。

那麼，當x等於多少的時候，y等於0呢？這個問題就是函數的零點的問題，大家觀察一下就可以發現，如果y=0那麼這個函數就變成了y=2x-4=0，這不就是之前的方程麼？因為函數的零點問題其實是跟這個函數對應的方程的解的問題聯繫在一起的，所以，這個函數的零點問題就顯得特別的重要。

那麼好，在我們這個y=2x-4這個函數里，它有零點，並且只有x=2這一個零點，但是在很多函數里，它的零點就不止一個。比如說y=x^2-4（x的平方減4），這個函數就有x=2和x=-2兩個零點，它有兩個零點就意味著它對應的方程有兩個解，以此類推。

黎曼Zeta函數的零點

我們現在瞭解了一個函數的零點的概念，也懂得了它的意義，那麼黎曼Zeta函數它是不是也是一個函數呢？既然是一個函數，那麼它是不是也有零點？那麼它的零點應該是什麼樣的呢？

上面我們也說了，這個Zeta函數之所以要稱為黎曼Zeta函數，就是因為黎曼把這個函數拓展到了複數領域，那麼相應的，這個函數的零點也應該是複數。

我們就假設黎曼Zeta函數的零點s=a+bi（這是一個複數，a為實數部分，簡稱實部，b為虛數部分，簡稱虛部）

黎曼對根據零點實部的大小給這些零點分了一個類：a<0的零點，0<=a<=1的零點和a>1的零點。

實部a<0的零點：這部分零點非常的簡單，就是在負偶數的地方有零點，比如-2，-4，-6，-8……因為這部分的零點是在是太平凡了，所以它們叫

實部a>1的零點：通過計算，黎曼發現當實部a>0的時候，函數壓根就沒有零點，也就是說，在這裡不存在零點。

實部0<=a<=1的零點：小於0和大於1部分的零點都容易解決，這部分處在臨界地區的零點是最複雜的，也是被研究的最多的，這部分的零點因為非常的複雜，非常的不平凡，所以被稱為不平凡零點。跟黎曼猜想息息相關的，正是這些不平凡零點。

黎曼猜想

黎曼在研究這些非平凡零點的時候，發現他求解的非平凡零點的實部a都等於1/2，但是他無法給出證明，無法從數學上推導出黎曼Zeta函數的非平凡零點的實部都等於1/2。

於是，黎曼就給出了鼎鼎大名的

如果黎曼猜想是正確的，那麼以後黎曼Zeta函數的非平凡零點就可以都寫成s=1/2+bi的形式。

據說我們已經用計算機已經驗證了10萬億個非平凡零點，發現它的實部都等於1/2，但是10萬億不等於所有，在無窮面前依然是滄海一粟。

當然，因為黎曼猜想非常的好用，所以，很多數學家也等不到黎曼猜想被證明（他們相信黎曼猜想應該是對的，只是現在還無法證明而已），他們就直接假設黎曼猜想是對的，然後繼續進行他們的工作。據說，目前已經有一千多個命題是基於黎曼假設正確提出來的，也就是說，如果黎曼猜想最終被確切證明是正確的，那麼這一千多個命題就會榮升為定理，如果黎曼猜想不幸是錯誤的，那麼一千多個命題就會集體陪葬。

一條猜想關係著如此多命題的命運，這在數學史上都是前無古人的。

不平凡零點和質數

我們在上面已經說過，零點的意義是很重要的。在黎曼猜想之後，黎曼就開始研究它們和質數之間的關係，因為我們研究Zeta函數，研究不平凡零點，最終都是為了研究質數的規律。

高斯之前定義了一個質數的計數函數π(x)，黎曼把這個質數的計數函數自己包裝了一層，提出了一個黎曼質數計數函數J(x)，其中：

然後，黎曼給出了質數計數函數的準確形式，並發現它跟非平凡零點有非常大的關係。這樣，非平凡零點的意義一下子就凸顯出來了。同樣的，我貼出來的這些公式，不理解也無所謂，反正就是隻要知道黎曼質數計數函數跟非平凡零點之間有種關係就行了，觀其大意，抓住要點，不求甚解。

再回憶一下，質數計數函數是什麼意思？它表達的是小於這個數的範圍內有多少個質數，這其實就是在研究

不平凡零點的意義

不平凡零點雖然是黎曼用Zeta函數來研究質數的時候蹦出來的東西，但是這東西一旦出來了就不再受控了。

比如，物理學家居然發現這個不平凡零點的分佈跟多粒子系統相互作用下能級的分佈有這某種驚人的相似性。

這些零點的分佈到底有什麼規律？這些零點到底有什麼意義？它是不是無意中洩露了某種新的天機？我們可能只是通過質數的研究無意中把它炸了出來，但是它的真實能量可能遠遠不止如此。

也正因為這些不平凡的零點慢慢變得如此不平凡，黎曼猜想就變得愈發的重要，畢竟，對於這些不平凡零點來說，它們是實部是不是永遠等於1/2，這可是個大事

結語

不知不覺，文章快6000字了。

黎曼在1859年提出了黎曼猜想，這問題在159年之後依然懸而未決，可見問題難度之大。因此，要把這個問題跟不太懂高等數學的人講清楚是非常困難的，尤其長尾科技是打算讓初中生甚至小學生也能看懂黎曼猜想（如此偉大美妙的思想，憑什麼不讓初中生小學生了解？），因為小學初中時期是學生思想最純的時候，那個時候的學生是發自內心的想當科學家。如果我的文章能夠讓初中生小學生對黎曼猜想，對數學產生興趣並自發的研究數學，那長尾科技寫文章的目的就達到了。

長尾科技寫相對論文章的目的也是如此。長尾就是要把物理、數學、計算機裡一些最難以理解，最前沿的科學思想用初中生甚至小學生都能看懂的語言寫出來，而且是把他們的原理前前後後都寫清楚，而不是簡單的介紹一下他們。長尾科技自己沒有真的弄懂的東西，絕不輕易下筆，寧可不寫，也不要誤導別人，也因此，長尾科技的公眾號裡只有自己原創的文章。

相對論、量子力學、黑洞、超弦、無窮、哥德爾定理、貝爾不等式、人工智能、深度學習，這些超酷的字眼我不能只讓科學家們才理解它們啊。我相信科學本身就是非常美的，只要我把科學的美自然的展現出來，別人不需要外力就能自動的愛上它，這也是科普的意義~

最後，長尾科技希望這篇文章能讓初中以上（甚至小學）的人能看黎曼猜想，如果有哪裡沒看懂的可以來公眾號或者社群，我還不信就說不清楚了~

再感嘆一下：黎曼大大真的太牛了，可惜死的太早，所以大家要記得鍛鍊身體啊~

長尾科技

我花了1分鐘研究了一下，發現質數分佈是沒有規律的，原因在於每一個數是否是質數的條件都是不一樣的，且彼此之間還有影響，以目前人類構造的數學世界是無法解決這個問題的，如果誰願意出10萬塊錢贊助費，我願意花點時間拓展一下數學邏輯體系，隨便幫你們解決這個問題！。。。為了證明我不是吹牛逼的，我可以先透漏一點解決這個問題的關鍵在於描述有序數列的剔除概念以及構造雙分子對稱級數在復e圓面對數上的斜切投影！

世界論

簡單。答案有，還是沒有，兩個。都是錯的，都是對的。2進制說8進制是錯的，10進制不服。其實是概念不同，a概念說不對，換個概念對。2,3,5,7。。。。11,13,17,19。。。。23,29。。。。31,37,。。。。41,43,47。。。。51,53。。。。61,67

嘗試各種座標點三向，十字，五向，一個原點

好人堅強1

質數的分佈是存在規律的，而且應該可以用一個公式算出來。

由於質數是無限多個的，質數分佈規律能數學公式計算的話，其他的數字也可以無限地算出。那麼，在什麼鬼黑洞啊很宏觀的物理運算就有了嚴密的數學基礎，人們就可以利用這些相關的公式去計算最宏觀和最微觀的東西，甚至於偶然性也就是“無限的”可能性也可以通過質數公式的架構進行計算。

Paul7615

一、質數，也稱素數。是否存在規律？回答是肯定的：當然存在規律。它的定義、各種篩法、素數分佈定理等均是規律。

二、提問者很可能是想問目前有沒有能讓非專業研究人員也能看懂的、比較直觀的甚至是通項公式之類的規律？我覺得也可以明確回答：沒有。將來何時會有，很難說。將來即使有了，喜歡素數和數論研究的大多數非專業研究者恐怕也不容易看懂。

三、素數分佈密度很大的、直觀分佈規律很強的公式和圖表很多，這在很多數學書籍、數學遊戲中都可以找到。例如n^2+n+41若以不同的整數代入n得出的幾乎都是素數。但是它不是素數通項公式。

四、我喜歡也支持非專業的數學愛好者、研究者，因為我本身就是其中之一。但是我也向同好們提個建議，對於重大數學難題的解決，決非易事，必須有深厚的積累。它需要天才、智慧、執著、機遇缺一不可。個人認為，依靠它出名甚至謀生都是不容易的。但是你可以從中得到一些別人沒有發現的東西，從中得到興奮和愉悅。

如牛23

素數存在的規律:一素數在自然數中的密度趨向於零,但永遠大於零。二:適合比狀態下週期性漸強，定波長週期性漸弱。三素數在自然數中的分佈趨向於均勻。四素數存在的位數速度趨向於自然數位數速度。(以上隨自然數無限增大)。

關鍵字: 質數 約數 數學