對於一個數學家而言，30到40歲無疑是事業的黃金時間，很難想象如果這段時間內只是業餘研究數學的話可以做出大成果來。縱觀數學歷史，數學大師絕大多數在二三十歲便已成名，接近40歲才廣為人知的數學家屈指可數。但在數學史上，卻真正的存在這麼一位大器晚成的數學大師，這就是被譽為“現代分析學之父”的德國數學家魏爾斯特拉斯。
魏爾斯特拉斯（1815~1897）出生於德國西北部的奧斯坦菲爾德，父親是海關職員，有一定的文化素養，年輕時當過教師。但他的父親對子女異常專斷，從不顧及他們的感受或興趣，只想讓他們按自己的意志行事，甚至不讓自己的子女結婚，魏爾斯特拉斯也因此一生未婚。14歲時他進入附近的預科學校學習，學習方面的天才一下子就展露無遺，每年至少拿七項獎學金，其中尤以數學和語言學最為出色。由於出色的數學才能，他還兼職到一家火腿黃油商店做會計。但專斷的父親根本不管這些，在魏爾斯特拉斯中學畢業後，直接讓他去波恩大學學了法律，理由就是讓他以後好進入普魯士政府工作。
魏爾斯特拉斯對法律毫無興趣，甚至厭惡，來到波恩之後，他很少去上課，反倒每天準時出現在酒館裡，喝酒抽菸和高談闊論成了每日的必修課。憑藉自己強大的語言天賦和邏輯思辨能力，魏爾斯特拉斯成了這裡的出名人物。不過等他1838年夏天回到家時，魏爾斯特拉斯只帶回來了裝滿啤酒的大肚子，他沒有獲得任何文憑。這讓他的一家人都大為光火，因為他們省吃儉用讓魏爾斯特拉斯去讀大學，結果他什麼都沒得到就回來了。儘管如此，魏爾斯特拉斯並沒有放棄數學，在抽菸喝酒之餘，他還是認真拜讀了阿貝爾和拉普拉斯等大師的著作。
正當魏爾斯特拉斯一家人一籌莫展之時，老魏爾斯特拉斯在海關的老朋友建議他的這個兒子去附近的蒙斯特學院學習兩年，這樣就可以找到一份教師的工作。迫於生計，老魏也只能同意。而這次經歷在魏爾斯特拉斯一生中算是重要的轉折點，否則我們可能將失去一位佔有重要地位的數學大師。魏爾斯特拉斯這匹千里馬在學院遇到了他的伯樂—數學教授古德爾曼。古德爾曼是函數論的熱衷研究者，尤其是橢圓函數，他以函數展開為冪級數的觀點來研究橢圓函數。但他的研究孤掌難鳴，沒有引起太多的反響。而魏爾斯特拉斯卻看到了冪級數的威力，這成為了貫穿他一生研究工作的工具。魏爾斯特拉斯晚年回憶自己的分析學工作時說:“沒有別的，就是冪級數”。
在跟隨古德爾曼學習橢圓函數後，魏爾斯特拉斯不得不面對教師資格考試和麵試。長期的思考後，他寫就了一篇研究如何將橢圓函數展開為冪級數的論文，這無疑是教師資格考試史上最有分量的論文。古德爾曼給予了高度評價，並且在鑑定報告中建議當局派他去大學而不是中學教書，否則就是浪費他的才華。可惜當局沒有理會古德爾曼的建議，魏爾斯特拉斯也就這樣從26歲開始，在偏遠鄉村當了整整15年的中學教師！
在西普魯士偏遠的鄉村裡，魏爾斯特拉斯當上了一名大學預科學校的教師，他不僅要教數學物理，還要教地理和德文。三年之後，當局覺得這些工作對高大強壯的魏爾斯特拉斯來說還不夠，又給他增加了一份工作，給孩子們教體育。魏爾斯特拉斯的數學大門被古德爾曼打開之後，他就已經沉醉其中了。白天繁重的教學工作並不能澆滅他的熱情，每天夜深人靜之時，他就開始著手開始數學研究。
由於通訊和交通的極度不發達，魏爾斯特拉斯和外界幾乎沒有什麼聯繫，他唯一的學習渠道就是阿貝爾的著作，這也正是他後來十分推崇阿貝爾的原因。1841年魏爾斯特拉斯先於柯西發現瞭如今複變函數論中重要的柯西積分定理，但限於二人當時懸殊的地位以及魏爾斯特拉斯的成果不為人知，這樣的功績就自然歸於柯西。第二年，魏爾斯特拉斯又獨立創造瞭解微分方程租的方法，這種方法嚴格而且成熟，但他也沒有公開發表，因為他心中真正想解決的問題只有橢圓函數。
求橢圓弧長的問題引發了對橢圓積分的研究，這種積分不能用初等函數表達，所以研究起來十分困難。真正的突破後來才由阿貝爾實現，他考慮的橢圓積分的反函數—橢圓函數。雅克比後來發展了阿貝爾的理論，但他同樣沒有真正發現橢圓函數的真正意義。魏爾斯特拉斯在阿貝爾的指引下，艱難地向著高峰前進，白天沒有時間，只好通宵達旦地研究，這樣的研究是孤獨的，但這絲毫沒有動搖他的決心。1848年，魏爾斯特拉斯得到了一次小小的晉升，他被調到一所條件好一點的預科學校教書，而且幸運的是這裡的圖書館書籍還算完備。
1853年夏天的假期，魏爾斯特拉斯回到了久違的家中，父親已經蒼老，弟弟妹妹也已經長大成人。也正是在這個假期，他對橢圓函數的研究取得了重要進展，只等臨門一腳。回到學校後，他仍然夜以繼日的研究。終於在一天早上，學生的喧鬧聲驚動了老校長，原來魏爾斯特拉斯已經兩天沒有來上課了，這嚇得校長直奔他的住處查看，這才知他已不知時日的研究了兩天兩夜了。一篇關於阿貝爾函數劃時代意義的論文就這樣由一位名不見經傳的中學教師完成了！
維爾斯特拉斯以自己獨特的思想和完備的方法，改寫和美化了橢圓函數理論。他決定以阿貝爾為榜樣，把它寄給柏林的《克萊爾雜誌》發表，他相信這將引起轟動。《克萊爾雜誌》沒有使他失望，在1854年第47捲上，雜誌全文刊登了維爾斯特拉斯的這篇論文。這是《克萊爾雜誌》對數學發展作出的又一個重大貢獻。論文一經發表立刻引起巨大的轟動。不僅因為這麼一篇偉大傑作出自一位不知名的偏遠的鄉村教師之手，而且這是一項規模宏大的工程，文中包含了大量創造性的成果，直接將橢圓函數論的研究推到了全新的高度。做為橢圓函數論發源地之一的柯尼斯堡大學異常興奮，雅克比的繼承人理查勞特親自跑來魏爾斯特拉斯所在學校，向他頒發了學校的榮譽博士學位。教育部，雜誌社編輯等都紛紛前來祝賀。可謂一朝成名天下知！
1857年，最終在數學界的不懈努力下，魏爾斯特拉斯來到柏林工業大學（後來轉任柏林大學教授，直至去世）任數學教授，同年被選舉為柏林科學院院士，此時的魏爾斯特拉斯已經42歲了，對大多數數學家而言，黃金時期已經過去，而對他而言，或許才剛剛開始。
在柏林期間，魏爾斯特拉斯完成了數學史上另一大創舉，那就是分析（微積分）嚴格化的偉大工作。魏爾斯特拉斯在數學界有一個名號叫“流言終結者”，這是因為他曾舉出過許多反例來說明一些直覺上的觀點是錯誤的，其中尤以構造出“處處連續而處處不可微”的函數最為出名，這些反例的重要性在於突出了嚴密的理論基礎對數學理論的重要性。在分析的嚴格化這一歷程中，應該說柯西和魏爾斯特拉斯扮演了最重要的角色，而魏爾斯特拉斯的結果更接近於現代的形式，也更成功，比如我們非常熟悉的“δ-ε”語言就完全出自魏爾斯特拉斯之手。同時他還提出了許多新概念和定理，如一致收斂等，並嚴格地重新定義了極限、連續和導數等概念與函數逼近定理等。這些成果極大地造就了今天教科書中非常完善的數學分析體系。我們可以借用希爾伯特的評價來總結他的這一功績:
“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數學分析建立了堅實的基礎。通過澄清極小、極大、函數、導數等概念，他排除了在微積分中仍在出現的各種錯誤提法，掃清了關於無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源於無窮大、無窮小朦朧思想的困難。今天，分析學能達到這樣和諧可靠和完美的程度本質上應歸功於魏爾斯特拉斯的數學活動”。
而在複變函數論上，魏爾斯特拉斯則與柯西和黎曼三足鼎立。柯西開創了複變函數積分理論，而黎曼則藉助深刻的黎曼映射定理開創了複變函數的幾何理論。魏爾斯特拉斯則利用冪級數定義了複函數的解析性，從而推導出整個單複變函數論，其結果也成為了如今複變函數教材的主體內容，亦可謂居功甚偉。龐加萊評價時說到："黎曼的方法首先是一種發現的方法，而魏爾斯特拉斯的則首先是一種證明的方法。"
魏爾斯特拉斯一生最大的數學成就集中在橢圓函數、數學分析和複變函數論上。除此之外，他在二次型理論、變分學、函數逼近論等方面均有建樹，甚至對天體力學中的n體問題也很有研究。
魏爾斯特拉斯不僅數學研究極為出色，在數學教育方面同樣流芳千古。在鄉村中學期間，他就曾專門寫過研究數學教育的論文。而到了大學，除去研究之外，魏爾斯特拉斯同樣循循善誘，誨人不倦。許多學生慕名而來，其中就包括後來的瑞典現代數學奠基人米塔-列夫勒，偉大的女數學家、歷史上第一個數學女博士柯瓦列夫斯卡婭等著名人物。魏爾斯特拉斯同樣品德高尚，這與他的同行柯西形成了鮮明對比，他從來不計較個人得失，經常將自己的手稿借給學生參考，包括一些還未發表的成果，所以偶爾就有人剽竊他的成果，但他也並不怎麼在意。後來他裝滿了手稿的手提箱被盜以後，才真正地對這樣的行為表示了極大的憤怒。
即使在生命中最後的幾年，魏爾斯特拉斯也沒有停止對數學的思考，即使他已經老態龍鍾。此時他的學生已經遍佈整個歐洲甚至美國，他在數學教育史上的影響力也是罕見的，這深刻地影響了接下來整個20世紀分析學甚至數學的發展面貌。再加之他傳奇的經歷，整個德意志都將他看做民族的驕傲和偉人。魏爾斯特拉斯以其深刻的數學研究、出色的數學教育還有偉大的品德人格，充分贏得了世人的尊敬和推崇，在數學史上留下了光輝的一頁，這值得我們所有人致敬。
1897年2月19日，“現代分析學之父”魏爾斯特拉斯走到了人生的終點，但他的功績和魅力必將惠澤後世，源遠流長……
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