在可數基數 ℵ 0 和實數集合的基數 c 之間沒有其它的基數.
如前所述, 從 1874 年開始康托爾發表了關於集合論的一系列文章. 正當他躊躇滿志而又一帆風順地發展他那極具創新思想的超限數理論時, 卻遇到了意想不到的困難. 1878 年, 康托爾在證明了正整數的基數 ℵ 0 和連續統基數 (即實數集合的基數)c 之間滿足關係 2^ ℵ 0 = c後, 就猜想 ℵ 0 和 c 之間再也沒有其它的基數, 即不存在一個集合 X, 使得 X 的基數 α 滿足
該猜想被稱為連續統假設. 然而, 康托爾無論怎樣的努力, 也始終不能證明這個猜測. 雖然他在 1882 年曾宣佈自己已經證明了連續統假設, 但由於他至死也沒能拿出證明過程, 大家都認為康托爾一定是發現了證明中的錯誤. 事實上, 有許多數學家都曾致力於證明連續統假設, 但在相當長的時間內毫無進展. 德國數學家希爾伯特在 1900 年提出的 23 個數學問題中, 第一個就是要證明這個連續統假設. 但到目前為止, 這個傲視數學家長達一百多年的連續統假設仍未獲得徹底解決, 它就想黎曼猜想一樣, 幾乎成了整個數學界的頭等難題.
雖然連續統問題如此之難, 但在 20 世紀數學基礎的研究中還是取得了兩個突破. 第一個來自 1938 年奧地利數理邏輯學家哥德爾 (K.Godel, 1906-1978), 他證明了連續統假設與我們通常的集合論公理系統 (即策莫羅-弗朗克爾公理系統, 簡稱為 ZF 系統) 是相容的 (即相互不矛盾), 只要該系統本身是相容的. 換句話說, 在通常集合論公理相容的條件下, 我們不可能在該系統中證明連續統假設是錯的. 第二個突破出現在 1963 年, 美國數學家柯恩 (P.J.Cohen,1934- ) 又證明了另一半結論: 在相容條件下的 ZF 系統同樣推不出連續統假設是對的. 綜合起來講, 他們證明了連續統假設在 ZF 系統中是一個不可判定的命題. 這當然是一項偉大的成就, 特別是科恩為此創立的“力迫法”在數學基礎的研究中引起了技術性的變革, 柯恩也因此在 1966 年榮獲菲爾茨獎.
100個數學問題
閱讀更多 數學與控制論學習筆記 的文章
