一、命題與定理
1、定義:一般地,能明確指出概念含義或特徵的句子,稱為 定義 。例如:
(1) 有一個角是直角的三角形,叫做直角三角形.
(2) 有六條邊的多邊形,叫做六邊形.
2、判斷一件事情的語句叫做 命題 .正確的命題稱為 真命題 ,錯誤的命題稱為 假命題。 如:
(1) 如果兩個角是對頂角,那麼這兩個角相等; (真命題)
(2) 三角形的內角和是 180°; (真命題)
(3) 同位角相等; (假命題)
(4) 平行四邊形的對角線相等; (假命題)
(5) 菱形的對角線相互垂直(真命題)
3、把一個命題改寫成“如果„„那麼„„”的形式.其中,用“如果”開始的部分是題設, 用“那麼”開始的部分是結論.
4、從公理或其他真命題出發,用邏輯推理的方法判斷是正確的命題,並且可以進一步作為 判斷其他命題真假的依據,這樣的真命題叫做定理.
二、全等三角形
1、 全等三角形的概念及其性質
1)全等三角形的定義:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形 。
2) . 全等三角形性質:
(1) 對應 (2)對應角相等(3)周長相等 (4)面積相等
例 1. 已知如圖(1) , ABC ∆≌ DCB ∆,
其中的對應邊 :____與 ____,____與 ____,____與 ____,
例 1. 已知如圖(1) , ABC ∆≌ DCB ∆, 其中的對應邊 :____與 ____,____與 ____,____與 ____,
對應角 :______與 _______,______與 _______,______與 _______.
例 2. 如圖(2) ,若 BOD ∆≌ C B COE ∠=∠∆, . 指出這兩個全等三角形的對應邊; 若 ADO ∆≌ AEO ∆, 指出這兩個三角形的對應角。
(圖 1) (圖 2) ( 圖 3) 例 3.如圖(3) , ABC ∆≌ ADE ∆, BC 的延長線交 DA 於 F ,交 DE 於 G,
105=∠=∠AED ACB , 25, 10=∠=∠=∠D B CAD , 求 DFB ∠、 DGB ∠的度 數 .
2. 全等三角形的判定方法
1) 、兩邊和夾角對應相等的兩個三角形全等( SAS )
例 1.已知:如圖,在 ABC ∆中, BE 、 CF 分別是 AC 、 AB 兩條邊上的高,在 BE 上截取 BD=AC,在 CF 的延長線上截取 CG=AB,連接 AD 、 AG 。
求證:AG=AD.
例 2. 如圖 ,AD 與 BC 相交於 O,OC=OD,OA=OB,求證:DBA CAB ∠=∠
例 3. 如圖, 在 ABC Rt ∆中 ,AB=AC,
90=∠A , 點 D 為 BC 上任一點, DF ⊥AB 於 F , DE ⊥AC 於 E , M 是 BC 中點,試判斷 EMF ∆是什麼形狀的三角形,並證明你的結論 .
例 4. 如圖,在梯形 ABCD 中, AD //BC, AB=CD,延長 CB 至 E ,使 EB=AD,連接 AE 。 求證:AE=AC。
例 5. 如圖, C 為 AB 上一點, ACM ∆、 CBN ∆是等邊三角形 . 直線 AN 、 MC 交於點 E , 直線 BM 、
CN 交於點 F .
(1) 求證:AN=BM。
(2) 求證:CEF ∆是等邊三角形
(3) 將 ∆ACM 繞點 C 逆時針方向旋轉 90
, 其他條件不變,在右圖中補出符合要求的圖形 並判斷 (1)、 (2)兩小題結論是否仍然成立 (不要求證明
)
例 6. 如圖,在 ABC Rt ∆中,AB=AC,
90=∠BAC 。O是BC中點 .
(1) 寫出點 O 到 ABC ∆的三個頂點 A 、 B 、 C 的距離關係 .
(2) 如果點 M 、 N 分別在 AB 、 AC 上移動,在移動中保持 AN=BM,請判斷 OMN ∆的形狀,並 證明你的結論 .
例 7. 如圖,正方形 ABCD 的邊 CD 在正方形 ECGF 的邊 CE 上,連接 BE 、 DG 。
(1)觀察猜想 BE 與 DG 之間的大小關係,並證明你的結論。
(2)圖中是否存在通過旋轉能夠互相重合的兩個三角形?如果存在, 請你說明旋轉過程; 如果不存 在,請說明理由。
2) 、兩角和夾邊對應相等的兩個三角形全等 ( ASA )
例 1. 如圖 ,AD 是 BAC ∠的平分線, M 是 BC 中點, FM//AD,交 AB 於 E 。
求證:BE=CF。
例 2. 如圖,梯形 ABCD 中, AB//CD, E 是 BC 的中點,直線 AE 交 DC 的延長線於 F
(1) 求證:ABE ∆≌ FCE ∆
(2) 若 BC ⊥AB,BC=10,AB=12,求 AF.
例 3. 如圖,在矩形 ABCD 中, F 是 BC 上的一點, AF 的延長線交 DC 的延長線於 G,DE ⊥AG 於 E ,且 DE=DC.根據以上條件,請你在圖中找出一對全等三角形,並證明你的結論 .
3) 、兩角和夾邊對應相等的兩個三角形全等 ( AAS )
例 1. 如圖, 在 ABC ∆中 , 90=∠C , 30=∠A , 分別以 AB 、 AC 為邊在 ABC ∆的外側作正三角形 ABE 與正三角形 ACD 。 DE 與 AB 交於 F 。求證 :EF=FD。
例 2. 如圖,在 ABC ∆中, AB=AC, D 、 E 分別在 BC 、 AC 邊上。且 B ADE ∠=∠,AD=DE 求證:ADB ∆≌ DEC ∆.
例 3. 如圖,在 ABC ∆中,延長 BC 到 D ,延長 AC 到 E , AD 與 BE 交於 F , ∠ ABC=45˚,試將下
(1) AD ⊥ BD, (2) AE ⊥ BF (3) AC=BF.
4) 、三邊對應相等的兩個三角形全等 ( SSS )
例 1. 如圖, AB=AC,BE和 CD 相交於 P , PB=PC,求證:PD=PE.
例 2. 如圖, 在 ABC ∆中 ,
90=∠C , D 、 E 分別為 AC 、 AB 上的點, 且 AD=BD,AE=BC,DE=DC.求證:DE ⊥ AB 。
例 4. 如圖, 在 ABC ∆中 ,M 在 BC 上, D 在 AM 上, AB=AC , DB=DC 。
求證:MB=MC
5) 、一條直角邊和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等 ( H L )
例 1. 如圖, 在 ABC ∆中 , 90=∠C ,沿過點 B 的一條直線 BE
摺疊 ABC ∆,使點 C 恰好落在 AB 變的中點 D 處,則 ∠ A 的度
數 = 。
例 2. 如圖,
90=∠=∠C B , M 是 BC 中點, DM 平分 ADC ∠。求證:AM 平分 DAB ∠
例 3. 如圖, AD 為 ABC ∆的高, E 為 AC 上一點, BE 交 AD 於 F ,且 BF=AC,FD=CD.
求證:BE ⊥
AC
例 4. 如圖, 在 ABC ∆中 , ∠ ACB=90˚,D 是 AC 上一點, AE ⊥ BD ,交 BD 的延長線於點 E ,又 AE=2
1BD ,求證:BD 是 ∠ ABC 的平分線。
三、尺規作圖
1、 尺 規 作 圖 是 指 限 定 用 無 刻 度 的 直 尺 和 圓 規 作 為 工 具 的 作 圖 。
2、 尺 規 作 圖 舉 例
例 1. (06長沙)如圖,已知 AOB ∠和射線 O B '',用尺規作圖法作 A O B AOB '''∠=∠(要求保留作圖痕 跡) .
例 2(06 南通)已知:ABC △ (如圖) .
求作:ABC △ 的外接圓(要求:用尺規作圖,保留作圖痕跡,寫出作法,不要求證明) .
B 'O ' C
例 3. (06 韶關)尺規作圖:已知直線 l 和 l 外一點 A ,求作 A ,使 A 與直線 l 相切. (保留 作圖痕跡,不必寫作 法和
例 4. 如圖,已知 ABC △ 。 (1) BC 邊的垂直平分線(2)作 AC 上的高(3)作 C ∠的平分線(不 寫作法,保留作圖痕跡) .
例 5. (05 四川)如圖,內宜高速公路 OA 和自雅路 OB 在我市相交於點 O ,在 AOB ∠內部有五
寶和正紫兩個鎮 C D , ,若要修一個大型農貿市場 P ,使 P 到 OA
OB , 的距離相等,且使 PC PD =,用尺規作出市場 P 的位置(不寫作法,保留作圖痕跡) .
四、逆命題與逆定理
1、原命題和逆命題的關係:每一個命題都有逆命題,只要將原命題的題設改成結論,並將結論 改成題設,使可得到原命題的逆命題。例如:
條件 結論
原命題:兩直線平行,同位角相等。
逆命題:同位角相等,兩直線平行。
2.定理、逆定理
如果一個定理的逆命題也是定理,那麼這兩個定理叫做互逆定理,其中一個定理叫做另一個 定理的逆定理。例如:
勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。 (1)
勾股定理的逆命題:如果一個三角形的一條邊的平方等於另外兩條邊的平方和,那麼這個三
角形是直角三角形。 (真命題) (2)
∴ (1)與(2)互為 逆定理
例 1. (05 桂林)下列命題中,真命題是( )
l
B
C
A.一組對邊平行且有一組鄰邊相等的四邊形是平行四邊形
B.順次連結四邊形各邊中點所得到的四邊形是矩形
C.等邊三角形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
例 2. (05 包頭)已知下列命題
① 半圓是弧 ②若 22am bm >,則 a b > ③若 22x y =,則 x y =
② ④垂直於弦的直徑平分這條弦
其中原命題與逆命題均為真命題的個數是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
例 3. (05 常德)某超級市場失竊,大量的商品在夜間被罪犯用汽車運走.三個嫌疑犯被警察局傳 訊, 警察局已經掌握了以下事實:(1)罪犯不在 A , B , C 三人之外; (2)C 作案時總得有 A 作從犯; (3)B 不會開車.在此案中能肯定的作案對象是( )
A .嫌疑犯 A B .嫌疑犯 B C .嫌疑犯 C D .嫌疑犯 A 和 C
3. . 等腰三角形的判定
1) 。 等腰三角形的判定:如果一個三角形有兩個角相等, 那麼, 這個三角形是等腰三角形。 (簡 單地說:“等角對等邊” )
2) 。勾股定理的逆定理:如果一個三角形的一邊的平方等於另外兩邊的平方和,那麼這個三角 形是等邊三角形。
例 1. (2006 湖南常德)如
圖 7, P 是等邊三角形 ABC 內的一點,連結
例 1. (2006 湖南常德)如圖 7, P 是等邊三角形 ABC 內的一點,連結
PA PB PC , , ,以 BP 為邊作 60PBQ ∠= ,且 BQ BP =,連結 CQ .
(1)觀察並猜想 AP 與 CQ 之間的大小關係,並證明你的結論. (4分)
(2)若 ::3:4:5PA PB PC =,連結 PQ ,試判斷 PQC △ 的形狀,
並說明理由. (4分)
例 2. (2006 江陰)如圖,在 △ ABC 中, AB=AC,∠ BAD=20°, 且 AE=AD,則∠ CDE= 。
例 3. (2006 眉 山 ) 如 圖 在 6×6的 網 格 (小 正 方 形 的 邊 長 為 1) 中 有 一 個 △ ABC , 則 △ ABC 的 周 長 是 。 圖 7 Q C B
例 3.請作一條直線,將下面的三角形分成兩個三角形,是每個三角形都是
等腰三角形,並標出相關的數據。
4.角平分線、線段的垂直平分
1) 。角平分線性質定理:角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。
逆定理: 到一個叫兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上。
2) 。垂直平分線定理:線段的垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。
逆定理:到一條線段兩端點的距離相等的點,在線段的垂直平分線上。
例 1. (2006 蕪湖課改)如圖,在 ABC △ 中, 90C ∠=
, AD 平分 CAB ∠, 8cm 5cm BC BD ==, ,那麼 D 點
到直線 AB 的距離是 cm .
例 2. 如圖,在△ ABC 中, BC =8cm, AB 的垂直平分線交 AB 於點 D ,
交 AC 於點 E , △ B
CE 的周長等於 18cm, 則 AC 的長等於( )
交 AC 於點 E , △ BCE 的周長等於 18cm, 則 AC 的長等於( )
(A) 6cm (B) 8cm
(C)10cm (D) 12cm
例 3. 如圖, Rt △ ABC 中,∠ C=90°, ∠ CAB=30°, 用圓規和直尺作圖,用兩種方法把它分成兩 個三角形,且其中一個是等腰三角形 . (保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明) .
例 4. 如圖,已知在 Rt △ ABC 中,∠ C =90°, BD 平分∠ ABC , 交 AC 於 D .
(1) 若∠ BAC =30°, 則 AD 與 BD 之間有何數量關係,說明你的理由 ;
(2) 若 AP 平分∠ BAC ,交 BD 於 P , 求∠ BPA 的度數 .
E D A B C
A
B C C B A P A B C D
例 5. 如圖,△ ABC 中, AB 與 AC 的垂直平分線相交於 F, 且分別交 AB 於 D ,交 AC 於 E 。
求證:BF=FC.
例 6. 如圖,過線段 AB 的兩個端點作射線 AM 、 BN ,使 AM ∥ BN, 按下列要求畫圖並回答:
(1)畫∠ MAB 、∠ NBA 的平分線交於 E, ∠ AEB 是什麼角?
(2)過點 E 作一直線交 AM 於 D ,交 BN 於 C ,觀察線段 DE 、 CE ,你有何發現?
(3)無論 DC 的兩端點在 AM 、 BN 如何移動,只要 DC 經過點 E , AD+BC的值是否有變化?並說明理由。
13. 1全等三角形
教學目標:1瞭解全等形及全等三角形的的概念;
2 理解全等三角形的性質
3 在圖形變換以及實際操作的過程中發展學生的空間觀念,培養學生的幾何直覺,
4 學生通過觀察、 發現生活中的全等形和實際操作中獲得全等三角形的體驗在探索和 運用全等三角形性質的過程中感受到數學的樂趣
重點:探究全等三角形的性質
難點:掌握兩個全等三角形的對應邊,對應角
教學過程:
觀察圖案,指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形
問題:你還能舉出生活中一些實際例子嗎?
這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形
思考:
一個圖形經過平移、翻折、旋轉後,位置變化了,但形狀、大小都沒有改變,即平移、翻折、 旋轉前後的圖形全等。
“全等”用 ≅表示,讀作“全等於”
兩個三角形全等時,通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上,如 DEF ABC ∆∆和 全
等時,點 A 和點 D ,點 B 和點 E ,點 C 和點 F 是對應頂點,記作 DEF ABC ∆≅∆
兩個三角形全等時,通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上,如 DEF ABC ∆∆和 全 等時,點 A 和點 D ,點 B 和點 E ,點 C 和點 F 是對應頂點,記作 DEF ABC ∆≅∆
把兩個全等的三角形重合到一起,重合的頂點叫做對應頂點,重合的邊叫做對應邊,重合 的角叫做對應角
思考:如上圖, 13。 1-1DEF ABC ∆≅∆,對應邊有什麼關係?對應角呢?
全等三角形性質:
全等三角形的對應邊相等;
全等三角形的對應角相等。
思考:
(1)下面是兩個全等的三角形,按下列圖形的位置擺放,指出它們的對應頂點、對應邊、對應 角
(2)將 ABC ∆沿直線 BC 平移,得到 DEF ∆,說出你得到的結論,說明理由?
(3)如圖, , ACD ABE ∆≅∆AB 與 AC , AD 與 AE 是對應邊,已知: 30, 43=∠=∠B A , 求 ADC ∠的大小。
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