小學三年級奧數知識點
1．和差倍問題
和差問題：幾個數的和與差
和倍問題：幾個數的和與倍數
差倍問題：幾個數的差與倍數
公式適用範圍 已知兩個數的和，差，倍數關係
公式 ①
(和－差)÷2=較小數
較小數＋差=較大數
和－較小數=較大數
公式②
(和＋差)÷2=較大數
較大數－差=較小數
和－較大數=較小數
和÷(倍數＋1)=小數
小數×倍數=大數
和－小數=大數
差÷(倍數-1)=小數
小數×倍數=大數
小數＋差=大數
關鍵問題 求出同一條件下的 和與差 和與倍數 差與倍數
2．年齡問題的三個基本特徵：
①兩個人的年齡差是不變的；
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；
③兩個人的年齡的倍數是發生變化的；
3．歸一問題的基本特點：問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。
關鍵問題：根據題目中的條件確定並求出單一量；
4．植樹問題
基本類型及公式
在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹 棵數=段數＋1
在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 棵距×段數=總長 棵數=段數－1
在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 棵距×段數=總長 棵數=段數
封閉曲線上植樹 棵距×段數=總長
關鍵問題 確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關係
5．雞兔同籠問題
基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；
基本思路：
①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）；
②假設後，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；
④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。
基本公式：
①把所有雞假設成兔子：雞數＝（兔腳數×總頭數－總腳數）÷（兔腳數－雞腳數）
②把所有兔子假設成雞：兔數＝（總腳數一雞腳數×總頭數）÷（兔腳數一雞腳數）
關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
6．盈虧問題
基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由於分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關係求對象分組的組數或對象的總量．
基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由於標準的差異造成結果的變化，根據這個關係求出參加分配的總份數，然後根據題意求出對象的總量．
基本題型及公式
①一次有餘數，另一次不足；盈虧；總份數＝（餘數＋不足數）÷兩次每份數的差
②當兩次都有餘數；盈盈；總份數＝（較大餘數一較小余數）÷兩次每份數的差
③當兩次都不足；虧虧；總份數＝（較大不足數一較小不足數）÷兩次每份數的差
基本特點：對象總量和總的組數是不變的。
關鍵問題：確定對象總量和總的組數。
7．週期循環與數表規律
週期現象：事物在運動變化的過程中，某些特徵有規律循環出現。
週期：我們把連續兩次出現所經過的時間叫週期。
關鍵問題：確定循環週期。
閏年：一年有366天； ①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；
平年：一年有365天。 ①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
8．平均數
基本公式 基本算法
平均數=總數量÷總份數 求出總數量以及總份數
總數量=平均數×總份數
總份數=總數量÷平均數
基準數法：根據給出的數之間的關係，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；最後求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關係用基本公式平均數=基準數＋每一個數與基準數差的和÷總份數。
9．數列求和
等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。
基本概念：
首項：等差數列的第一個數，一般用a1表示；
項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；
公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；
通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；
數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示．
基本公式：
通項公式：an = a1+（n－1）d；通項=首項＋（項數一1) ×公差；
數列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；數列和=（首項＋末項）×項數÷2；
項數公式：n= (an+ a1)÷d＋1；項數=（末項-首項）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；公差=（末項－首項）÷（項數－1）；
關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；
10．定義新運算
基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。
基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然後按照基本運算過程、規律進行運算。
關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。
②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。
11．數的整除
一、基本概念和符號：
整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有餘數，那麼叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
二、整除判斷方法：
1. 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的2倍後能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。
②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。
③逐次去掉最後一位數字並減去末位數字後能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的9倍後能被13整除。
三、整除的性質：
1. 如果a、b能被c整除，那麼（a+b）與（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整數，那麼a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那麼a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那麼a也能被b和c的最小公倍數整除。
12.巧填算符
1.相同數字：巧用“0”和“1”：相減則為0，相除則為1；
倍數關係：先加然後再除；
2.湊數法：”曹衝稱大象”，先找跟大象最接近的石頭。
3.逆推法
13.速算與巧算
①.×5，×25，×125 見到它們，我就非常想念 2，4，8；
②.×9，×99，×999 變型 ：×（10－1），×（100－1），×（1000－1）
③.×11：兩頭一拉中間相加；
④.×101，×10101，×1001001001：釘卡片大法；
乘法中的速算：
(1)乘法交換律a×b=b×a
(2)乘法結合律(a×b)×c=a×(b×c)
(3)乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c
(4)乘法性質
①兩個數的差與一個數相乘，可以用被減數和減數分別與這個數相乘，再把所得的積相減。(a-b)×c=a×c-b×c
②一個數與兩個數的商相乘，可以用這個數先與商裡的被除數相乘，再除以商裡的除數；或用這個數先除以商裡除數，再與商裡的被除數相乘。a×(b÷c)=a×b÷c=a÷c×b
除法中的速算：
(1)兩個數或幾個數的積除以一個數，可以先用積裡的任何一個因數除以這個數，所得的商再與其他因數相乘。
(a×b×c)÷m=a÷m×b×c=a×(b÷m)×c=a×b×(c÷m)(2)一個數除以兩個數的積，可以用這個數依次除以積裡面的各個因數a÷(b×c)=a÷b÷c
(3)一個數除以兩個數的商，可以用這個數除以商裡的被除數，再乘以商裡的除數；或者用這個數乘以商裡的除數，再除以商裡的被除數a÷(b÷C)＝a÷b×c=a×c÷b
(4)兩個或幾個數的和除以一個數，可以把和裡的各個數分別除以這個數，再把它們的商相加(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m
(5)兩個數的差除以一個數，可以用被減數，減數分別處以這個數，再把所得的商進行相減（a-b）÷c=a÷c-b÷c
(6)商不變的性質：如果被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商不變
a÷b=c (a×m)÷(b×m)=c (a÷m)÷(b÷m)=c(m≠0)
(7) 乘除法混合運算的交換性質：在乘除法混合運算中，帶著數字前面的運算符號交換乘數，除數的位置，結果不變
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a
14.角度的認識
基本概念：
1.直角：（90°），平角（180°），周角（360°），銳角，鈍角
2.互餘：兩個角相加等於90。→直角三角形中，兩個銳角是互餘的。
3.互補：兩個角相加等於180。→內角，外角相加等於180，是互補的。
4.對頂角相等
基本公式：
n邊形：內角和＝（n－2）×180；外角和＝360°；內角＋外角＝180°
正多邊形：每條邊都相等；每個內角都相等；每個外角都相等；
三角形的外角：三角形的外角等於與之不相鄰的兩個內角和。
解答題目時，最常使用的就是外角和！
小學三年級奧數題練習及答案解析
1、南京長江大橋共分兩層，上層是公路橋，下層是鐵路橋。鐵路橋和公路橋共長11270米，鐵路橋比公路橋長2270米，問南京長江大橋的公路和鐵路橋各長多少米？
分析：和差基本問題，和11270米，差2270米，大數=(和+差)/2，小數=(和-差)/2。
解：鐵路橋長=(11270+2270)/2=6770米，公路橋長=(11270-2270)/2=4500米。
2、三個小組共有180人，一、二兩個小組人數之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數。
分析：先將一、二兩個小組作為一個整體，這樣就可以利用基本和差問題公式得出第一、二兩個小組的人數和，然後對第一、二兩個組再作一次和差基本問題計算，就可以得出第一小組的人數。
解：一、二兩個小組人數之和=(180+20)/2=100人，第一小組的人數=(100-2)/2=49人。
3、甲、乙兩筐蘋果，甲筐比乙筐多19千克，從甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的蘋果比甲筐的多3千克？
分析：從甲筐取出放入乙筐，總數不變。甲筐原來比乙筐多19千克，後來比乙筐少3千克，也即對19千克進行重分配，甲筐得到的比乙筐少3千克。於是，問題就變成最基本的和差問題：和19千克，差3千克。
解：(19+3)/2=11千克，從甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中的蘋果比甲筐的多3千克。
三年級奧數題：和差倍數問題（二）
1、在一個減法算式裡，被減數、減數與差的和等於120，而減數是差的3倍，那麼差等於多少？
分析：被減數=減數+差，所以，被減數和減數與差的和就各自等於被減數、減數與差的和的一半，即：被減數=減數+差=(被減數+減數+差)/2。
因此，減數與差的和= 120/2=60。這樣就是基本的和倍問題了。小數=和/(倍數+1)
解：減數與差的和=120/2=60，差=60/(3+1)=15。
2、已知兩個數的商是4，而這兩個數的差是39，那麼這兩個數中較小的一個是多少？
分析：兩個數的商是4，即大數是小數的4倍，因此，這是一個基本的差倍問題。小數=差/(倍數-1)。
解：兩個數中較小的一個=39/(4-1)=13。
3、姐姐做自然練習比妹妹做算術練習多用48分鐘，比妹妹做英語練習多用42分鐘，妹妹做算術、英語兩門練習共用了44分鐘，那麼妹妹做英語練習用了多少分鐘？
分析：姐姐做自然練習的時間是一定的，比妹妹做算術和英語的時間分別差了48分和42分，說明妹妹做英語比做算術多用了48-42=6分鐘，仍然是一個和差問題。
解：妹妹做英語練習用時=(44+6)/2=25分鐘。
三年級奧數題：和差倍數問題（三）
1、已知△，○，□是三個不同的數，並且△+△+△=○+○，○+○+○+○=□+□+□，△+○+○+□=60，那麼△+○+□等於多少？
分析：由一、二可知，□是△的2倍，將它代換到三中，就是三個△加2個○等於60，而△+△+△=○+○，所以，△+△+△=○+○=60/2=30，△=10，○=15，□=20。
解：△+○+□=10+15+20=45。
2、用中國象棋的車、馬、炮分別表示不同的自然數。如果，車÷馬＝2，炮÷車＝4，炮-馬＝56，那麼“車+馬+炮”等於多少？
分析：車÷馬＝2，車是馬的2倍；炮÷車＝4，炮是車的4倍，是馬的8倍；炮-馬＝56，炮比馬大56。差倍問題。
解：馬=56/(8-1)=8，炮=56+8=64，車=8*2=16，車+馬+炮=8+64+16=88。
3、聰聰用10元錢買了3支圓珠筆和7本練習本，剩下的錢若買一支圓珠筆就少1角4分；若買一本練習本還多8角，問一支圓珠筆的售價是多少元？
分析：剩下的錢若買一支圓珠筆就少1角4分；若買一本練習本還多8角，說明圓珠筆比練習本貴1角4分+8角=9角4分，那麼，3支圓珠筆就要比三本練習本貴94*3=282分=2元8角2分，這樣，就相當於在10元中扣除2元8角2分加8角，正好可以買11本練習本，所以，每本練習本的價錢是(1000-282-80)/11=58分=5角8分。
解：圓珠筆-練習本=14+80=94分，每本練習本的價錢是(1000-94*3-80)/11=58分=5角8分，圓珠筆的售價=58+94=152分=1元5角2分。
三年級奧數題：和差倍數問題（四）
1、甲、乙兩位學生原計劃每天自學的時間相同，若甲每天增加自學時間半小時，乙每天減少自學時間半小時，則乙自學6天的時間僅相等於甲自學一天的時間。問：甲、乙原訂每天自學的時間是多少分鐘？
分析：甲每天增加自學時間半小時，乙每天減少自學時間半小時，甲比乙多自學一個小時，乙自學6天的時間僅相等於甲自學一天的時間，甲是乙的6倍，差倍問題。
解：乙每天減少半小時後的自學時間=1/(6-1)=1/5小時=12分鐘，乙原計劃每天自學時間=30+12=42分鐘，甲原計劃每天自學時間=12*6-30=42分鐘。
2、一大塊金帝牌巧克力可以分成若干大小一樣的正方形小塊。小明和小強各有一大塊金帝巧克力，他們同時開始吃第一小塊巧克力。小明每隔20分鐘吃1小塊，14時40分吃最後1小方塊；小強每隔30分鐘吃1小塊，18時吃最後1小方塊。那麼他們開始吃第1小塊的時間是幾時幾分？
分析：小明每隔20分鐘吃1小塊，小強每隔30分鐘吃1小塊，小強比小明多間隔10分鐘，小明14時40分吃最後1小方塊，小強18時吃最後1小方塊，小強比小明晚3小時20分，說明在吃最後一塊前面共有(3*60+20)/10=20個間隔，即已經吃了20塊。那麼，20*20=400分鐘=6小時40分鐘，14時40分-6小時40分=8時。
解： 18時-14時40分=3小時20分=3*60+20=200分鐘，已經吃的塊數=200/(30-20)=20塊，小明吃20塊用時20*20=400分鐘=6小時40分鐘，開始吃第一塊的時間為14時40分-6小時40分=8時。
三年級奧數題：速算與巧算
【試題】巧算與速算：41×49＝( )
【詳解】相乘的兩個數都是兩位數，且十位上的數字相同，個位上的數字之和正好是10，這就可以運用“頭同尾合十”的巧算法進行簡便計算。
“頭同尾合十”的巧算方法是：用十位上的數字乘十位上的數字加1的積，再乘100，最後加上個位上2個數字的乘積。
41×49，先用(4＋1)×4＝20，將20作為積的前兩位數字，再用1×9＝9，可以發現末位數字相乘的積是一位數，那就在9的前面補一個0，作為積的後兩位數字。這樣答案很簡單的就求出了，即41×49=(4＋1)×4×100＋1×9=2009。
三年級奧數題：植樹問題
【試題】一塊三角形地，三邊分別長156米，234米，186米，要在三邊上植樹，株距6米，三個角的頂點上各植上1棵數，共植樹( )棵。
【詳解】此題植樹線路是封閉的，這類題的特點是：因為頭尾兩端重合在一起，所以棵數等於分成的段數。題中要求三角形三個頂點上要各栽一棵樹，因此我們要按照三條邊來考慮。因為156÷6＝26(段)，186÷6＝31(段)，234÷6＝39(段)，所以每邊恰好分成了整數段，這樣，從周長來講，應栽樹的棵數與段數相等。即共植樹：26+31+39=96(棵)。
三年級奧數應用題解題技巧（一）
【試題】一臺拖拉機5小時耕地40公頃，照這樣的速度，耕72公頃地需要幾小時？
【詳解】要求耕72公頃地需要幾小時，我們就要先求出這臺拖拉機每小時耕地多少公頃？(1)每小時耕地多少公頃？
40÷5=8(公頃)
(2)需要多少小時？
72÷8=9(小時)
答：耕72公頃地需要9小時。
三年級奧數應用題解題技巧（二）
【試題】紡織廠運來一堆煤，如果每天燒煤1500千克，6天可以燒完。如果每天燒1000千克，可以多燒幾天？
【詳解】要想求可以多燒幾天，就要先知道這堆煤每天燒1000千克可以燒多少天；而要求每天燒1000千克，可以燒多少天，還要知道這堆煤一共有多少千克。
(1)這堆煤一共有多少千克？
1500×6=9000(千克)
(2)可以燒多少天？
9000÷1000=9(天)
(3)可以多燒多少天？
9-6=3(天)。
三年級奧數應用題解題技巧（三）
【試題】把7本相同的書摞起來，高42毫米。如果把28本這樣的書摞起來，高多少毫米？(用不同的方法解答)
【詳解】
方法1：
(1)每本書多少毫米？
42÷7=6(毫米)
(2)28本書高多少毫米？
6×28=168(毫米)
方法2：
(1)28本書是7本書的多少倍？
28÷7=4
(2)28本書高多少毫米？
42×4=168(毫米)
三年級奧數應用題解題技巧（四）
【試題】兩個車間裝配電視機。第一車間每天裝配35臺，第二車間每天裝配37臺。照這樣計算，這兩個車間15天一共可以裝配電視機多少臺？
【詳解】
方法1：
(1)兩個車間一天共裝配多少臺？
35＋37=72(臺)
(2)15天共可以裝配多少臺？
72×15=1080(臺)
方法2：
(1)第一車間15天裝配多少臺？
35×15=525(臺)
(2)第二車間15天裝配多少臺？
37×15=555(臺)
(3)兩個車間一共可以裝配多少臺？
555＋525=1080(臺)
答：15天兩個車間一共可以裝配1080臺。
三年級奧數應用題解題技巧（五）
【試題】同學們到車站義務勞動，3個同學擦12塊玻璃。(補充不同的條件求問題，編成兩道不同的兩步計算應用題)。
補充1：“照這樣計算，9個同學可以擦多少塊玻璃？”
【詳解】
(1)每個同學可以擦幾塊玻璃？
12÷3=4(塊)
(2)9個同學可以擦多少塊？
4×9=36(塊)
答：9個同學可以擦36塊。
補充2：“照這樣計算，要擦40塊玻璃，需要幾個同學？”
【詳解】
(1)每個同學可以擦幾塊玻璃？
12÷3=4(塊)
(2)擦40塊需要幾個同學？
40÷4=10(個)
答：擦40塊玻璃需要10個同學。
三年級奧數應用題解題技巧（六）
【試題】小華每分拍球25次，小英每分比小華少拍5次。照這樣計算，小英5分拍多少次？小華要拍同樣多次要用幾分？
【解析】
(1)小英每分拍多少次？
25-5=20(次)
(2)小英5分拍多少次？
20×5=100(次)
(3)小華要幾分拍100次？
100÷25=4(分)
答：小英5分拍100次，小華要拍同樣多次要用4分。
三年級奧數應用題解題技巧（七）
【試題】 劉老師搬一批書，每次搬15本，搬了12次，正好搬完這批書的一半。剩下的書每次搬20本，還要幾次才能搬完？
【解析】
(1)12次搬了多少本？
15×12=180(本)
搬了的與沒搬的正好相等
(2)要幾次才能把剩下的搬完？
180÷20=9(次)
答：還要9次才能搬完。
閱讀更多 王老師講數學 的文章
