小學數學21道典型應用題總結+例題!(上)打印貼牆上

1. 歸一問題


【含義】

在解題時,先求出一份是多少(即單一量),然後以單一量為標準,求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。

【數量關係】

總量÷份數=1份數量

1份數量×所佔份數=所求幾份的數量

另一總量÷(總量÷份數)=所求份數

【解題思路和方法】

先求出單一量,以單一量為標準,求出所要求的數量。

例1

買5支鉛筆要0.6元錢,買同樣的鉛筆16支,需要多少錢?

(1)買1支鉛筆多少錢?0.6÷5=0.12(元)

(2)買16支鉛筆需要多少錢?0.12×16=1.92(元)

列成綜合算式0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)

答:需要1.92元。

例2

3臺拖拉機3天耕地90公頃,照這樣計算,5臺拖拉機6天耕地多少公頃?

(1)1臺拖拉機1天耕地多少公頃?90÷3÷3=10(公頃)

(2)5臺拖拉機6天耕地多少公頃?10×5×6=300(公頃)

列成綜合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300(公頃)

答:5臺拖拉機6天耕地300公頃。

例3

5輛汽車4次可以運送100噸鋼材,如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材,需要運幾次?

(1)1輛汽車1次能運多少噸鋼材?100÷5÷4=5(噸)

(2)7輛汽車1次能運多少噸鋼材?5×7=35(噸)

(3)105噸鋼材7輛汽車需要運幾次?105÷35=3(次)

列成綜合算式105÷(100÷5÷4×7)=3(次)

答:需要運3次。


2. 歸總問題


【含義】

解題時,常常先找出“總數量”,然後再根據其它條件算出所求的問題,叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時(幾天)的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。

【數量關係】

1份數量×份數=總量

總量÷1份數量=份數

總量÷另一份數=另一每份數量

【解題思路和方法】

先求出總數量,再根據題意得出所求的數量。

例1

服裝廠原來做一套衣服用布3.2米,改進裁剪方法後,每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布,現在可以做多少套?

(1)這批布總共有多少米?3.2×791=2531.2(米)

(2)現在可以做多少套?2531.2÷2.8=904(套)

列成綜合算式3.2×791÷2.8=904(套)

答:現在可以做904套。

例2

小華每天讀24頁書,12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書,幾天可以讀完《紅巖》?

(1)《紅巖》這本書總共多少頁?24×12=288(頁)

(2)小明幾天可以讀完《紅巖》?288÷36=8(天)

列成綜合算式24×12÷36=8(天)

答:小明8天可以讀完《紅巖》。

例3

食堂運來一批蔬菜,原計劃每天吃50千克,30天慢慢消費完這批蔬菜。後來根據大家的意見,每天比原計劃多吃10千克,這批蔬菜可以吃多少天?

(1)這批蔬菜共有多少千克?50×30=1500(千克)

(2)這批蔬菜可以吃多少天?1500÷(50+10)=25(天)

列成綜合算式50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天)

答:這批蔬菜可以吃25天。



3. 和差問題


【含義】

已知兩個數量的和與差,求這兩個數量各是多少,這類應用題叫和差問題。

【數量關係】

大數=(和+差)÷2

小數=(和-差)÷2

【解題思路和方法】

簡單的題目可以直接套用公式;複雜的題目變通後再用公式。

例1

甲乙兩班共有學生98人,甲班比乙班多6人,求兩班各有多少人?

甲班人數=(98+6)÷2=52(人)

乙班人數=(98-6)÷2=46(人)

答:甲班有52人,乙班有46人。

例2

長方形的長和寬之和為18釐米,長比寬多2釐米,求長方形的面積。

長=(18+2)÷2=10(釐米)

寬=(18-2)÷2=8(釐米)

長方形的面積=10×8=80(平方釐米)

答:長方形的面積為80平方釐米。

例3

有甲乙丙三袋化肥,甲乙兩袋共重32千克,乙丙兩袋共重30千克,甲丙兩袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。

甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙,從中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克,且甲是大數,丙是小數。由此可知

甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)

丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克)

乙袋化肥重量=32-12=20(千克)

答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。

例4

甲乙兩車原來共裝蘋果97筐,從甲車取下14筐放到乙車上,結果甲車比乙車還多3筐,兩車原來各裝蘋果多少筐?

“從甲車取下14筐放到乙車上,結果甲車比乙車還多3筐”,這說明甲車是大數,乙車是小數,甲與乙的差是(14×2+3),甲與乙的和是97,因此甲車筐數=(97+14×2+3)÷2=64(筐)

乙車筐數=97-64=33(筐)

答:甲車原來裝蘋果64筐,乙車原來裝蘋果33筐。



4. 和倍問題


【含義】

已知兩個數的和及大數是小數的幾倍(或小數是大數的幾分之幾),要求這兩個數各是多少,這類應用題叫做和倍問題。

【數量關係】

總和÷(幾倍+1)=較小的數

總和-較小的數=較大的數

較小的數×幾倍=較大的數

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式,複雜的題目變通後利用公式。

例1

果園裡有杏樹和桃樹共248棵,桃樹的棵數是杏樹的3倍,求杏樹、桃樹各多少棵?

(1)杏樹有多少棵?248÷(3+1)=62(棵)

(2)桃樹有多少棵?62×3=186(棵)

答:杏樹有62棵,桃樹有186棵。

例2

東西兩個倉庫共存糧480噸,東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍,求兩庫各存糧多少噸?

(1)西庫存糧數=480÷(1.4+1)=200(噸)

(2)東庫存糧數=480-200=280(噸)

答:東庫存糧280噸,西庫存糧200噸。

例3

甲站原有車52輛,乙站原有車32輛,若每天從甲站開往乙站28輛,從乙站開往甲站24輛,幾天後乙站車輛數是甲站的2倍?

每天從甲站開往乙站28輛,從乙站開往甲站24輛,相當於每天從甲站開往乙站(28-24)輛。把幾天以後甲站的車輛數當作1倍量,這時乙站的車輛數就是2倍量,兩站的車輛總數(52+32)就相當於(2+1)倍,

那麼,幾天以後甲站的車輛數減少為

(52+32)÷(2+1)=28(輛)

所求天數為(52-28)÷(28-24)=6(天)

答:6天以後乙站車輛數是甲站的2倍。

例4

甲乙丙三數之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數各是多少?

乙丙兩數都與甲數有直接關係,因此把甲數作為1倍量。

因為乙比甲的2倍少4,所以給乙加上4,乙數就變成甲數的2倍;

又因為丙比甲的3倍多6,所以丙數減去6就變為甲數的3倍;

這時(170+4-6)就相當於(1+2+3)倍。那麼,

甲數=(170+4-6)÷(1+2+3)=28

乙數=28×2-4=52

丙數=28×3+6=90

答:甲數是28,乙數是52,丙數是90。



5. 差倍問題


【含義】

已知兩個數的差及大數是小數的幾倍(或小數是大數的幾分之幾),要求這兩個數各是多少,這類應用題叫做差倍問題。

【數量關係】

兩個數的差÷(幾倍-1)=較小的數

較小的數×幾倍=較大的數

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式,複雜的題目變通後利用公式。

例1

果園裡桃樹的棵數是杏樹的3倍,而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵?

(1)杏樹有多少棵?124÷(3-1)=62(棵)

(2)桃樹有多少棵?62×3=186(棵)

答:果園裡杏樹是62棵,桃樹是186棵。

例2

爸爸比兒子大27歲,今年,爸爸的年齡是兒子年齡的4倍,求父子二人今年各是多少歲?

(1)兒子年齡=27÷(4-1)=9(歲)

(2)爸爸年齡=9×4=36(歲)

答:父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3

商場改革經營管理辦法後,本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元,又知本月盈利比上月盈利多30萬元,求這兩個月盈利各是多少萬元?

如果把上月盈利作為1倍量,則(30-12)萬元就相當於上月盈利的(2-1)倍,因此

上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(萬元)

本月盈利=18+30=48(萬元)

答:上月盈利是18萬元,本月盈利是48萬元。

例4

糧庫有94噸小麥和138噸玉米,如果每天運出小麥和玉米各是9噸,問幾天後剩下的玉米是小麥的3倍?

由於每天運出的小麥和玉米的數量相等,所以剩下的數量差等於原來的數量差(138-94)。把幾天後剩下的小麥看作1倍量,則幾天後剩下的玉米就是3倍量,那麼,(138-94)就相當於(3-1)倍,因此

剩下的小麥數量=(138-94)÷(3-1)=22(噸)

運出的小麥數量=94-22=72(噸)

運糧的天數=72÷9=8(天)

答:8天以後剩下的玉米是小麥的3倍。



6. 倍比問題


【含義】

有兩個已知的同類量,其中一個量是另一個量的若干倍,解題時先求出這個倍數,再用倍比的方法算出要求的數,這類應用題叫做倍比問題。

【數量關係】

總量÷一個數量=倍數

另一個數量×倍數=另一總量

【解題思路和方法】

先求出倍數,再用倍比關係求出要求的數。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克,現在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?

(1)3700千克是100千克的多少倍?3700÷100=37(倍)

(2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克)

列成綜合算式40×(3700÷100)=1480(千克)

答:可以榨油1480千克。

例2

今年植樹節這天,某小學300名師生共植樹400棵,照這樣計算,全縣48000名師生共植樹多少棵?

(1)48000名是300名的多少倍?48000÷300=160(倍)

(2)共植樹多少棵?400×160=64000(棵)

列成綜合算式400×(48000÷300)=64000(棵)

答:全縣48000名師生共植樹64000棵。

例3

鳳翔縣今年蘋果大豐收,田家莊一戶人家4畝果園收入11111元,照這樣計算,全鄉800畝果園共收入多少元?全縣16000畝果園共收入多少元?

(1)800畝是4畝的幾倍?800÷4=200(倍)

(2)800畝收入多少元?11111×200=2222200(元)

(3)16000畝是800畝的幾倍?16000÷800=20(倍)

(4)16000畝收入多少元?2222200×20=44444000(元)

答:全鄉800畝果園共收入2222200元,全縣16000畝果園共收入44444000元。



7. 相遇問題


【含義】

兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行,在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。

【數量關係】

相遇時間=總路程÷(甲速+乙速)

總路程=(甲速+乙速)×相遇時間

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式,複雜的題目變通後再利用公式。

例1

南京到上海的水路長392千米,同時從兩港各開出一艘輪船相對而行,從南京開出的船每小時行28千米,從上海開出的船每小時行21千米,經過幾小時兩船相遇?

392÷(28+21)=8(小時)

答:經過8小時兩船相遇。

例2

小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步,小李每秒鐘跑5米,小劉每秒鐘跑3米,他們從同一地點同時出發,反向而跑,那麼,二人從出發到第二次相遇需多長時間?

“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400×2

相遇時間=(400×2)÷(5+3)=100(秒)

答:二人從出發到第二次相遇需100秒時間。

例3

甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行,甲每小時行15千米,乙每小時行13千米,兩人在距中點3千米處相遇,求兩地的距離。

“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快,乙騎得慢,甲過了中點3千米,乙距中點3千米,就是說甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,

相遇時間=(3×2)÷(15-13)=3(小時)

兩地距離=(15+13)×3=84(千米)

答:兩地距離是84千米。



8. 追及問題


【含義】

兩個運動物體在不同地點同時出發(或者在同一地點而不是同時出發,或者在不同地點又不是同時出發)作同向運動,在後面的,行進速度要快些,在前面的,行進速度較慢些,在一定時間之內,後面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。

【數量關係】

追及時間=追及路程÷(快速-慢速)

追及路程=(快速-慢速)×追及時間

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式,複雜的題目變通後利用公式。

例1

好馬每天走120千米,劣馬每天走75千米,劣馬先走12天,好馬幾天能追上劣馬?

(1)劣馬先走12天能走多少千米?75×12=900(千米)

(2)好馬幾天追上劣馬?900÷(120-75)=20(天)

列成綜合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)

答:好馬20天能追上劣馬。

例2

小明和小亮在200米環形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他們從同一地點同時出發,同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。

小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈,即200米,此時小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,須知追及時間,即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒,則跑500米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是

(500-200)÷[40×(500÷200)]

=300÷100=3(米)

答:小亮的速度是每秒3米。

例3

我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人,敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑,解放軍在晚上22點接到命令,以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米,問解放軍幾個小時可以追上敵人?

敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是(22-16)小時,這段時間敵人逃跑的路程是[10×(22-6)]千米,甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時間=[10×(22-6)+60]÷(30-10)

=220÷20=11(小時)

答:解放軍在11小時後可以追上敵人。

例4

一輛客車從甲站開往乙站,每小時行48千米;一輛貨車同時從乙站開往甲站,每小時行40千米,兩車在距兩站中點16千米處相遇,求甲乙兩站的距離。

這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落後於貨車(16×2)千米,客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間,

這個時間為16×2÷(48-40)=4(小時)

所以兩站間的距離為(48+40)×4=352(千米)

列成綜合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)]

=88×4

=352(千米)

答:甲乙兩站的距離是352千米。



9. 植樹問題


【含義】

按相等的距離植樹,在距離、棵距、棵數這三個量之間,已知其中的兩個量,要求第三個量,這類應用題叫做植樹問題。

【數量關係】

線形植樹棵數=距離÷棵距+1

環形植樹棵數=距離÷棵距

方形植樹棵數=距離÷棵距-4

三角形植樹棵數=距離÷棵距-3

面積植樹棵數=面積÷(棵距×行距)

【解題思路和方法】

先弄清楚植樹問題的類型,然後可以利用公式。

例1

一條河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,頭尾都栽,一共要栽多少棵垂柳?

136÷2+1=68+1=69(棵)

答:一共要栽69棵垂柳。

例2

一個圓形池塘周長為400米,在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹,一共能栽多少棵白楊樹?

400÷4=100(棵)

答:一共能栽100棵白楊樹。

例3

一個正方形的運動場,每邊長220米,每隔8米安裝一個照明燈,一共可以安裝多少個照明燈?

220×4÷8-4=110-4=106(個)

答:一共可以安裝106個照明燈。

例4

給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚,所用地板磚的長和寬分別是60釐米和40釐米,問至少需要多少塊地板磚?

96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(塊)

答:至少需要400塊地板磚。

例5

一座大橋長500米,給橋兩邊的電杆上安裝路燈,若每隔50米有一個電杆,每個電杆上安裝2盞路燈,一共可以安裝多少盞路燈?

(1)橋的一邊有多少個電杆?500÷50+1=11(個)

(2)橋的兩邊有多少個電杆?11×2=22(個)

(3)大橋兩邊可安裝多少盞路燈?22×2=44(盞)

答:大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。



10. 年齡問題


【含義】

這類問題是根據題目的內容而得名,它的主要特點是兩人的年齡差不變,但是,兩人年齡之間的倍數關係隨著年齡的增長在發生變化。

【數量關係】

年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯繫,尤其與差倍問題的解題思路是一致的,要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

【解題思路和方法】

可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

例1

爸爸今年35歲,亮亮今年5歲,今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍?明年呢?

35÷5=7(倍)

(35+1)÷(5+1)=6(倍)

答:今年爸爸的年齡是亮亮的7倍,

明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。

例2

母親今年37歲,女兒今年7歲,幾年後母親的年齡是女兒的4倍?

(1)母親比女兒的年齡大多少歲?37-7=30(歲)

(2)幾年後母親的年齡是女兒的4倍?30÷(4-1)-7=3(年)

列成綜合算式(37-7)÷(4-1)-7=3(年)

答:3年後母親的年齡是女兒的4倍。

例3

甲對乙說:“當我的歲數曾經是你現在的歲數時,你才4歲”。乙對甲說:“當我的歲數將來是你現在的歲數時,你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少?

這裡涉及到三個年份:過去某一年、今年、將來某一年。列表分析:

過去某一年 今年 將來某一年

甲 □歲 △歲 61歲

乙 4歲 □歲 △歲

表中兩個“□”表示同一個數,兩個“△”表示同一個數。

因為兩個人的年齡差總相等:□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差數列,所以,61應該比4大3個年齡差,

因此二人年齡差為(61-4)÷3=19(歲)

甲今年的歲數為△=61-19=42(歲)

乙今年的歲數為□=42-19=23(歲)

答:甲今年的歲數是42歲,乙今年的歲數是23歲。


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