作者 | 乔治·G·斯皮罗
翻译 | 郭婷玮
来源 | 《数学杂谈：数学世界里的奇闻趣事》
摘要：没有人愿意排队，包括数学家在内，不管排什么队都一样。排队这种不愉快的麻烦事，能用数学理论来解决吗？
没有人喜欢排队，包括数学家在内，即便只要他们愿意，他们可以把关于队伍和排队的专业知识应用到实际中来。排队就是浪费时间，特别是在滑雪度假时。瑞士弗利姆斯高山度假区引进新式六人座高速缆椅，就是个恰当的例子。几年前，这种座椅取代了1960年代生产的老旧双人座缆椅和丁字架（一种利用缆绳运送人员上下山的简易T形装置）。
旧缆椅每小时的总运输量是3450名乘客，而这个最现代化的新型缆椅每小时单程即可载运3200人——当然前提是在运作不出差错的情况下。但在运转的第一年，缆椅总出故障，无法实现缆椅预期的平稳运转时的最大载荷。在新缆椅刚开始运行时，每小时最多只能载运2700名乘客上山，不仅建造商大失所望，而且度假区的旅游局，当然还有滑雪游客也都很失望。
对来到这里的滑雪者来说，不顺当的开始表现排在缆椅队伍后面的滑雪客，比能坐上缆椅的人多，结果是起点站开始排起一列队伍，而且每分钟都在变长。接近中午时，滑雪都必须等上30分钟。如果这时候没人放弃在当天剩下的时间里上山滑雪，队伍每小时还将增加约500人。
关于这烦人的冗长队伍，当然有适用的数学理论。最早发展出相关数学理论的是丹麦数学家厄朗（Agner Krarup Erlang），1900年代初，他在哥本哈根电话公司工作，负责解决这类问题：需要多少线路和多少接线生，才能提供令人满意的电话服务？在检测可能在同一时间打入交换台的电话数时，他发展出一个公式，可以算出所有线路同时忙线的概率。经过后来的几次改进，厄朗的公式也能用于计算平均等候时间，而且时至今日仍然适用。例如客服中心就用以估算所需的电话线路数量。
对于不谙此道者，排队是件很不愉快的麻烦事，不管排什么队都一样。无法描述，也没有避开排队的好方法。喔，嗯？有好方法？每一个队伍都一样？当然不一样，至少对能看出一个队伍与另一个队伍重要的细微差异的专家来说如此。表征排队的一项特性是排队者加入队伍的时间分布：排入队伍的时间是随机且相互独立的吗，就像开进收费站的汽车？抑或排队者以特定规律出现，如同旅客抵达机场安检处，他们到达的时间取决于飞机降落的时间？
因此，排队远不只是一大群悲惨的人等候接受服务，排队的一项重要特征是队伍纪律。在人人遵守传统行为规范的国家里，队伍纪律决定了排队者接受服务的顺序。比如，根据排队者到达顺序提供服务，就像交通信号灯由红转绿后，汽车依序启动一样，但也可能以相反的顺序为排队者服务，如人们走出电梯的顺序。服务于等候的排队者还有另一种聪明方式，就是先服务那些需时最少的排队者。这种做法可以让所有排队都的等候时间总和最小。
1961年，麻省理工学院营销学教授利特尔（John D. C. Little）总结出一个数学规律，虽然看似微不足道，后来却证明那是一个非常重要的定律，随即以他的名字命名为利特尔定律。这个定律说明，一列队伍中排队的平均人数，等于他们的平均到达率乘以待在队伍中的平均时间。若每小时有60人加入队伍中，且服务每个人的时间为10分钟，则平均而言队伍中总会有10个人。这个定律的卓越之处在于，不管到达时间、服务时间和队伍纪律发生什么变化，定律都成立。
图片来源网络
既然排队涉及人及其行为，需要考虑的变量就不只是等候时间，心理因素也在其中扮演着重要角色，而数学家多半忽略这个因素。机场是很容易观察到这一点的地方，有两个航站楼的苏黎世机场就是最好的例子。第二航站楼有好几个值机柜台，旅客排队时自然会去排队最短的那列队伍。但如果你所排的队伍中有一个旅客要求特殊或机票有问题，那就倒霉了，所有排在这队伍中的人，不得不耐心等待这些费时的作业结束，与此同时，他们沮丧地看着其他队伍迅速向前移动。
机场另一侧的第一航站楼的设计则不同：排一列队伍等候所有的值机柜台，结果每个旅客的平均等候时间比第二航站楼里所需的时间短。令人意外的是，这一结论不一定会促使旅客舍弃第二航站楼（如果旅客可以自行选择的话）。位于海法市的以色列理工学院的4位科学家分析了这个现象。他们发现多数旅客误以为有多列队伍的排队系统等候时间短，但这项研究也显示出一个矛盾：虽然感觉要等待比较久的时间，多数受访旅客仍偏好排单列队伍。研究者认为，这可归因于单列队伍的公平本质。显而易见，公平比等候时间更重要。
- 作者 -
----这里是数学思维的聚集地------
閱讀更多 超級數學建模 的文章
