原文：plus.maths.org/content/os/issue29/features/quadratic
譯者：
道可道 翻譯小組成員校對：Panlan，N.Z.Vilenia
在上一次《二次方程的101個應用：第一部分》中，我們見識了二次方程奧妙，並瞭解了它們隱藏在各種簡單問題之中。在第二個部分，我們將繼續探索旅程，我們將看到這些普通的二次函數怎樣出現在眾多與我們生活息息相關的重要應用當中。
讓我們從上次見過的圓、橢圓、雙曲線和拋物線等二次曲線開始。人們對從古希臘時期就已熟知了這些二次曲線，並從未停止過對它們的研究，但除了圓之外，其他曲線似乎並沒有什麼實際應用。但是，到了16世紀的時候，它們改變了這個世界！
圖片由NASA提供
二次方程不僅能描述行星圍繞太陽運行的軌道，而且給出了更細緻觀察它們的方法。望遠鏡的發明進一步促進了天文學的發展。伽利略使用望遠鏡觀察了木星的衛星和金星的相位，這兩者的結果都進一步驗證了哥白尼理論的正確性。隨後，大型反射式望遠鏡登場，繼續探索宇宙奧秘。近年來，我們使用巨型射電望遠鏡來收聽和發送可能被潛在的外星人所接受的訊息。伽利略望遠鏡使用的鏡頭形狀是由兩條相交的雙曲線構成。由牛頓發明的反射望遠鏡（見後面）有一個鏡面，它的每個截面都呈拋物線形狀！巨型射電望遠鏡和剃鬚鏡的碗狀部分，衛星天線的鐵盤，它們都是拋物線形狀。毫無疑問，二次方程是現代通訊的核心。
二次方程對於理解加速度是必需的
伽利略，為何二次方程能拯救你的生命
由二次方程所描述的橢圓和自然界間的契合在當時看起來非常不同尋常。這就好像大自然在說：“這是一條大家都認識的曲線，讓我們來用它做些什麼吧。” 這些曲線是否正確，在伽利略和牛頓未出現之前，人們一直在等待答案。答案也許是二次方程之所以如此重要的一個最重要原因：它是二次方程和加速度間聯繫。伽利略在17世紀初首次發現了這種聯繫。
很多人都聽說過伽利略，他是比薩大學一個多才多藝的數學教授。他在職業生涯的最後階段，一直專注於與西班牙宗教法庭展開的一場史詩般的決鬥——關於哥白尼太陽系理論的正確性。然而，在此之前，他把大部分時間用於研究物體是如何運動的。早在伽利略之前，古希臘科學家亞里士多德就已經指出，物體在自然狀態是靜止的，且較重的物體比較輕的物體下落速度更快。伽利略對這兩個已被公認的觀點提出了質疑，他研究工作的核心是動力學，而動力學與很多重要的活動存在巨大的關聯性，比如知道何時（及怎樣）停車和怎樣踢反彈射門球。
其核心是理解加速度的概念以及二次方程在裡面如何發揮的作用。
如果一個物體沿著某個方向運動，那麼，在不受外力的情況下，它將沿此方向繼續做勻速運動。我們稱這個速度為 v。現在，假設質點從x=0 處以這種方式運動了時間 t，那麼它現在的位置可由 x=vt 算出。通常情況下，質點都會受到外力作用，如橄欖球會受到重力作用，剎車時會受到摩擦力作用。聚焦到牛頓定律，我們知道質點在恆力的作用下產生恆定的加速度 a。假設初始速度是 u ，那麼經過時間 t 後，速度 v 可由 v=u+at 算出。伽利略意識到我們可以用這個表達式算出質點的位置。特別是，當質點的起始位置是 x=0 時，那麼，在 t 時刻質點的位移 s 可由一下公式算出：
這是一個聯結了 t 和 s 兩個變量的一元二次方程，對我們來說具有許多重要的含義。比如，假設我們知道施加到一輛車上的制動力：由這公式我們可以算出在時間 t 行駛了多遠，或相反的，算出 t 來，汽車行駛了給定距離究竟花了多長時間。
這個結果對我們所有人都很重要，原因在於它揭示了制動距離是初始剎車速度的平方，而非只是翻一番。在這個一元二次方程式裡，我們得出明確的證據，為什麼在城市我們應該慢速行駛，因為開得稍微慢一點就會導致剎車距離大幅度的縮短。正確地解出並理解這個方程式，某種意義上，能夠拯救你或某人的生命！
這個把時間和距離聯繫到一起的簡單的一元二次方程也是彈道學的基礎，彈道學研究物體在重力下運動的方式。在這種情形下，一個物體以不變的加速度 g 沿著 y 方向下落。與此對應的，它以勻速（不考慮空氣阻力因素）水平地沿著 x 方向運動。如果它以速度 u 沿著 x 方向和速度 v 向上在位置 x=y=0 開始，伽利略能夠給出時間 t 時的位置：
換個形式，我們得出
另外表示形式的一元二次方程，這次把 x 和 y 聯繫到一起。讓人驚歎的是軌道的最終形狀，理所當然的是拋物線。
假設你在橄欖球比賽的最後一刻，你必須踢出一個完美的反彈射門球。你必須以正確的角度和速度踢球，從而球空中飛行一個距離x到達球門時，它才能有恰當的高度 y 去越過球門柱。為了達成這個目的，你必須解好一個一元二次方程式。當然在比賽中極度亢奮狀態下你可能無暇思考計算，那就靠平日的練習在發揮重要作用了。更確切地說，粒子軌道的拋物線方程---需要考慮到空氣阻力，拋物體的旋轉和地球自轉等因素進行修正-這些都是火炮發射計算的基礎，所以說這個軍事上的應用都是在遵循伽利略發現。
我們把鐘擺原理的發現留給伽利略。大約在1600年，伽利略參加了在比薩的教堂禮拜儀式（他不得不參加）。在佈道百無聊賴之際，他開始觀察一個吊燈的來回擺動—並有了一個了不起的發現：吊燈擺動的時間和擺動幅度無關。這個發現導致了吊鐘和鐘錶的發明，比如落地式大擺鍾，但是在那時伽利略還不能科學地解釋這個現象。為了解釋這個現象，我們需要另外一個一元二次方程。
牛頓，一元二次方程和沐浴高歌
牛頓出生於伽利略去世的那一年，他徹底地改變了我們理解科學的方式，也改變了數學在科學可預見性中的作用。牛頓的靈感來自伽利略和開普勒的啟發。這些科學巨人準確地描述了動力學和天體力學的現象，但都沒有形成科學的解釋。直到牛頓才給出了他們觀測過的那些現象數學上的解釋。
首先，他用公式闡述了力學三定律，這就能解釋伽利略所觀測的結果。第二，他描述了萬有引力基本定律，即：兩個彼此互相吸引的物體受到的萬有引力與他們距離的平方成反比。通過幾何式的論證，他能夠證明，這個力學定律揭示了行星沿圓錐曲線繞著太陽運動。（當然，平方反比定律以周知的曲線形式導出行星運轉軌道是一個巨大的巧合）。牛頓也在光學領域做出了貢獻，他意識到伽利略曾使用的望遠鏡（基於透鏡）存在對不同顏色光的折射情況並不同的問題，於是動手設計了一個基於反射鏡的望遠鏡克服它。使各個角度的光線都匯聚到焦點的反射鏡的最好形狀，恰巧是拋物面，如此便產生了我們早期見過的反射式望遠鏡。
並且牛頓的貢獻深入到我們生活的方方面面。當他用幾何論證來給同時代的人解釋問題時，他也（和萊布尼茨幾乎同時，但各自獨立地）創立了微積分。這是一個關於物體變化率的數學理論，將其運用在牛頓運動定律上便可完美地描述物體的相互作用。把微積分理論應用於現實世界的基本工具是微分方程。比方說，它可以把物體運動情況的變化與作用在物體上的力相聯繫。微分方程幾乎在所有現代應用數學領域都處於核心地位。從金屬棒中的熱傳導到動物皮毛的生長模式，微分方程的應用數不勝數，而且在現代科技中起到至關重要的作用。
當牛頓還在世的時，這一切都還是未來的事情！不過牛頓曾考慮過一個伽利略尤為感興趣的鐘擺問題。鐘擺的運動可以用一個微分方程來描述，關於擺錘的小角度擺動情況，我們可以從這個方程求出擺動的時間。而解出這個微分方程只需要找到一個對應的一元二次方程的解。
如果 x 是鐘擺擺動的角度,牛頓對鐘擺長度，空氣阻力和引力大小引入參數 a,b,c，則運動的方程可寫為：
其中 t 是時間;
是擺的加速度;
是擺的速度;
這種類型的微分方程通過使用計算機求出數值解是完全沒問題，而且在現代科技中常用這樣手段解決很複雜的方程。然而，數學家萊昂哈德•歐拉提出了僅依靠解出某一元二次方程進而得到這類特殊方程解的方法，歐拉提出了這個解的形式：
這裡
是自然對數的底數。這個函數的重要意義在於
替換進這個微分方程並且除以
，對於 w 給出下列方程
很熟悉吧？！所以要解出最初的那個微分方程，我們需要做的是，解出這個一元二次方程並 w 再替換回去。如此我們便能準確預測擺的運動。
有趣的是一元二次方程不同形式的解（這裡在複數域考慮求解）導出了微分方程大相徑庭的解。如果 b²>4ac,這個一元二次方程就有兩個實數解。
相對應的微分方程有一個看上去像下圖的解，在物理上，這個解對應於有摩擦阻力的阻尼擺（或鐘擺在溶液，如水中的運動）。
相應地，如果 b²<4ac, 那相同的微分方程有振盪解，看上去像下圖。那更像我們熟悉的鐘擺運動。
這兩個類型運動的差別是很大的，在第二種情形下，一元二次方程的解為帶一個平方根 -1的複數解。一會兒我們將看到更多細節。
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這類能籍由一元二次方程而解出的微分方程（被稱作二階常係數方程）的發現具有重大意義。原因在於微分方程的廣泛性及其對應一元二次方程的解告訴我們原微分方程的解是否可能增大，不變或減小。這對工程師很重要，工程師總是盡力設計安全的結構和機械。在這些結構裡，小擾動的快速增長將導致結構故障（稱為不穩定性）。類似的考慮也可用於電路中。實踐上，通常是通過解出上面的一元二次方程並找到根 w 是否有某些特性進而設計一個安全的結構。有時不斷增大的解可能是有用的，特別是聯繫到共鳴現象的時候。想象一下，你以頻率f上下振動鐘擺，f取某些值比它取其它值能產生更大的振幅。這就是共鳴。每一次你給收音機調頻或邊淋浴邊唱歌的時候，你就會遇到共鳴。唱歌時，共振音符聽起來最好聽（最響亮）。而對於擺動的鐘擺，共振頻率由下式給出。（未完待續）
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