話說從前有個地主，地主家裡有一片草地，這是個草地分成兩塊，一塊是老草，這塊草地不再長新鮮的草了，也不會枯死，坐等牛來吃；一塊是新草，每天都會有新草長出來，不過每天長的速度是一樣一樣的……
原來舊草和新草長這樣啊
地主家確實富有，還養了不少耕地的牛，不過這些牛是要吃東西的，不然哪裡來的力氣減肥呢……
我們的故事開始了，先上個冷盤，看看題目:
一片均勻生長的草。10頭牛20天吃完，15頭牛10天吃完。25頭牛多少天吃完？
對了，這就是很多老師都會拿出來考你們的第一道題，暈乎乎的，管他多少天吃完，地主就給我這麼多工錢，不著急，慢慢吃，再說了，買菜也用不著這些數學問題......
我們先來跳個熱身舞蹈吧：
0 預習：
1、1頭牛1天吃1份草，5頭牛1天吃幾份草？
2、1頭牛1天吃1份草，5頭牛5天吃幾份草？
3、3頭牛2天吃12份草，5頭牛5天吃幾份草？
對了，這些問題需要你對“歸一”“歸總”問題比較熟悉，簡直......
解決牛吃草問題，你還需要對於不變量和變化量有個熟悉的理解，抓住不變量在數學的學習中很重要了，啥是不變量？我們先來看個故事吧。老師上課最喜歡講“段子”了。
大家都看過電視劇《西遊記》中孫悟空和二郎神決鬥的場面吧？
我一個筋斗雲十萬八千里，這妖怪居然也追的上......
二郎神與孫悟空有一段精彩的鬥法，兩個人不斷變化，相生相剋，在鬥法之中，二郎神先後變作雀鷹、海鶴、魚鷹、灰鶴，孫悟空先後化成麻雀、鷺鷥、魚、水蛇和花鴇，最後悟空變作一座土地廟，以嘴當門，想騙二郎神進門把他吃了。卻因為尾巴無處可放，只好變個旗杆插在廟後，結果被二郎神看出破綻，差點兒把孫悟空的門牙打掉。對了，二郎神的天眼能夠發現猴子的尾巴就是個不變量，廟裡哪有旗杆呢？
言歸正傳，“牛吃草”問題有哪些不變量呢？
兩個很重要的不變量：
就是原來的草和日長量(每天長出來的草)。
1 方法一：經典解法
經典解法自然是通用解法，也需要我們必須掌握的方法，不妨先採用問題驅動式來解決這個問題：
剛才的題目：牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長。這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。供25頭牛可吃幾天？
要想知道這些草供25頭牛可吃幾天，必須知道草的總量和每頭牛每天吃草的量。然而題目當中並沒有告訴我們這樣的條件啊。不妨我們可以假設1頭牛1天吃1份的草，（方法一到三都是這種假設），那麼10頭牛20天可以吃10×20=200份草。15頭牛10天可以吃15×10=150份草，有同學可能會奇怪了，同樣都是把牧場的草吃完了，為什麼吃草的總量不一樣啊？你們明白為什麼嗎？
10頭牛20天吃的總草量比15頭牛10天吃的總草量多，多出部分相當於20-10=10天新生長出的草量。設1頭牛1天吃1份草，則10頭牛20天比15頭牛10天多吃
10×20-15×10=50份，那麼這塊牧場每天新長50÷10=5份牧草。
在第一種情況中，20天一共新長了5×20=100份牧草，而牛一共吃了10×20=200份，說明原來有牧草200-100=100份。
因為每天長5份的草，那麼我們這麼來安排 吧，把牛兵分兩路，一路安排5頭牛專門吃新長的草，為啥安排5頭牛？因為每天新長5份草，一頭牛一天吃1分，正好不讓它在增長了，剩下的牛自然安排為第二路，專門吃原來的吃老的草，什麼時候才能把草吃完呢？當牛把原有的草吃完的時候，草就不再生長了，也就是把所有的草全都吃完了。地主家也沒有餘糧了了。
25頭牛中安排5頭牛吃新草，剩下的20頭牛去吃原有的草，那麼原有牧草可維持5天，即可供25頭牛吃5天。
2 方法二：列方程
假設1頭牛1天吃1份草，設日長量為x份
那麼從圖中很顯然可以看出：
20×10-20x=10×15-10x
x=5
所以balabala.........計算出原有草是100份，新草100份
100÷（25-5）=5天
3 方法三：也是列方程
學生：老師我會做這道題了，兩種方法？
老師：哪兩種？
學生：一種是列方程，另一種也是列方程
老師：……
學生：魯迅說過，“我家後院有兩棵樹，一棵是棗樹，另一棵是棗樹”。
在牛吃草，一共兩個不變量，原來的草和日長量。方法二設了日長量為x，根據原來的草列出等式，這個方法是設原來的草為x，顯然，可以根據日長量列出等式哦。
10頭牛對應的速度差是x/20,
15頭是x/10.
10-x/20=15-x/10 x=100
代入方程得到日長量為5 然後100÷（25-20）=5天
4 方法四：工程方法
牛吃草問題還可以利用工程問題方法來考慮，假設
設原有草為“1 ”，
那麼 10頭牛每天吃的-日長量=1/20
15頭牛每天吃的-日長量=1/10
（1/10-1/20）÷（15-10）=1/100
這為一頭牛一天吃的草。
代入可以算出日長量是1/20
1÷（25/100-1/20）=5天
5 小結：這裡講了4種方法，還有比例法和麵積法等等，其實共同的本質都是把握了原有草和日長量不變。一般孩子在培訓班學學套路的居多，用心思考的孩子極少。在這裡我談牛吃草問題的解法不僅對小學生思維的提升有幫助其實對初中生應該有一定的啟發。當然，抽水、吃人(排隊檢票售票)（好嚇人啊）、資源開採、上下扶梯等等都是這一類題目。開始我是一題多解，然後來總結多種解法的共同本質，通過這一題的深入理解，我們順便也可以解決多人行程問題了。其實小學階段甚至初中的應用題無外乎做加法和乘法，所以可以考慮面積方法。牛吃草問題可以看成追及問題和工程問題這就可以在縱向上加以思考。同時通過此題也可以感受為何設1頭牛1天1不設原有草就是因為能算整數比分數計算方便。思考的方法仍然要抓住不變量才可以。由此及彼去想行程問題就是四個字以靜制動的解決。但在
平時的學習中要善於積累隱性的不變量，除了注重積累顯性不變量外。我的思維觀念是希望孩子在會做題的基礎上先一題多解拓展思維，然後回頭認清問題本質，思考比題海重要的多。
