選自《穿越平行宇宙》
“當通過物理公式來看待世界時會發現，公式描述的是模式和規律，但數學更像是通過外部世界的一扇窗口。我們的物理世界不僅僅是被數學所描述，它正是數學本身，更確切地講，它是一個數學模型。 ——《穿越平行宇宙》泰格馬克”
我的數學學習反省
3歲的小孩對待任何事物都很好奇，喜歡一直追問“為什麼，為什麼呢？”，有時候常常覺得自己已經挖空了腦筋，也還是沒有給出一個讓孩子滿意的答案。雖然對於一連串刨根問底的“為什麼”，我窮盡了想法，但也沒有去阻止，也儘量控制情緒不去做“不為什麼”的答覆。我們是怎麼成為今天的我們，如何習得各項能力，如何進行學習——也許從孩子看待人和事物的視角出發是一個可以觀察的方法。孩子還在持續探究著世界，我卻很少向身邊常見的事物去問“為什麼”了。
在有人問我學的是什麼專業時，我會帶著一點自信，又帶著不少慚愧說，我是學數學的。自信似乎是因為數學可能是被認為比較難的科目，慚愧是因為我覺得自己辜負了大學潛心研究的時光，沒有深鑽，大學的數學不像中學的數學以數字運算為主，與可見的實際應用相關，但大學的數學對我來說我似乎一直沒有很好深入的理解。走出校園，現實生活中用到數學的地方不少，之所以我會感覺沒有直接與課程裡的數學掛鉤，現在想來，更多的原因是在於自己沒有走好這個到真實數學世界的橋樑。
最近寫了些自己對其他幾個學科的認識和感想，但遲遲不敢寫數學（按道理作為自己的本專業應該第一個寫才是）。有人會說，大學學的專業本來就不一定是未來就業的方向，是的，我調整了職業的路徑，但我更想知道是什麼促成了我沒有繼續數學專業研究的道路？思來想去，“難？”、“怕？”我覺得這都不是理由，不去面對就永遠跨不過去，我應該去反思，我沒有堅持數學科研的原因是什麼？為什麼我沒能在大學期間建立長久的數學學習興趣？為什麼我沒有很好的理解數學這門學科？
我需要對數學的學習過程做一個反省。哪怕這個反省已太遲。
一、數學難嗎？
- 抽象的數學
抽象是數學研究中重要的第一步，通過先忽略一些細節，讓事物成為最簡潔的形式，讓事物變得更容易理解。（如杯子和甜甜圈在拓撲學被視為相同）
這個抽象的過程帶我們離開了具體事物的現實世界，進入了只存在於腦中的“概念”世界，雖然會讓人感到不適，覺得難以理解，但實際上，抽象化的步驟能讓我們從一個更宏觀的視角來看待問題，帶領我們逐步貼近事物的本質或核心。
在抽象的過程之後，我們會將得出的結論重新進行應用。比如加入額外的條件和變量，重新應用到現實生活中。
用抽象來思考和解決實際生活問題的方法可列為如下幾個步驟：
- 從實際生活問題（我們可以想象的問題）入手，抽象提煉；
- 運用抽象的方式將這個問題轉變為邏輯概念；
- 藉助邏輯規則來處理這些抽象的概念；
- 如果進一步抽象，可以解決所有類似的問題。
在這個過程中，更關乎的是我們的想象力和思考的能力。抽象地看待事物，你就會發現它們之間存在著看似不可能存在的相似性。
數學的終極目標是找到事物的相似性。不論是數學還是其他科學界都有著對萬物大統一的至高追求，人類在尋求對於世界萬物的深刻理解上一代又一代的做著非凡的努力。 - 純粹的數學（抽象符號的使用）：
我們所面臨的不再全是數字：1，2，3…
更多的會用 a,b,c,x,y,z…
以符號為主要語言的數學一開始看上去很抽象、很難理解，但長遠來看，符號起到了重要的簡化作用，當對概念和符號都非常熟悉後，它們就會在我們的眼中變成了一個具體的事物，能讓你在思考這個問題的時候，因為去除了大量的非必須的條件，而是以最簡潔的形式來思考，可以將更多的腦力集中用於攻克更為複雜和重要的數學問題。
另外符號也成為了一個你可以與他人在數學領域裡進行溝通的語言，就像音樂裡的符號一樣，都是一種跨文化、跨領域的語言。我們之所以不熟悉，往往是缺少深入的學習和理解。
通過符號的表達，通過抽象的概念來進行的數學研究，這或許才是數學中最純粹、最重要的部分。就像愛德華在《愛與數學》中寫的那樣，他因為猶太籍的身份在大學申請期間遭遇了不公平的歧視，甚至都在影響他的職業生涯，那為什麼他在如此艱難的情況下，非但沒放棄，反而更加努力的抓住一切機會（翻牆聽課，尋找導師）致力於純數學的研究——他並不期望得到任何回報，只是單純地追求知識帶給人的樂趣。我想這就是愛德華通過不懈的努力，發現了具有極大魅力的數學本身，並不是為了實際可見的用處而進行數學的學習。
- 數學與應用數學
純數學（研究數學本身）和應用數學（將數學應用於實際問題的解決）是現代數學的兩大領域。
【純數學】一些純數學理論的研究不像應用數學可以直接用於實際問題，更多的是間接的使用，比如範疇學-拓撲學-物理-化學-醫學。還比如愛德華所沉醉的純數學領域，有些他所研究的高深領域在他當時只有很少數的科學家能明白，對大眾來說雖然看似遠離真實世界，但並非不實用，反而因為這些理論在其他學科的應用，促進了極大的發展。（比如通過數學建立了宇宙的基本粒子模型，廣義相對論的發展有助於科學家們掌握星球運動的軌跡並預測自然界中的事件。）
選自《數學思維》
【應用數學】博弈論、密碼術、概率論、統計學等常見的數學理論和工具，都被廣泛的應用於在大量的學科領域如自然科學（化學、生物等），工程學（電路系統等）、經濟學、金融學、心理學、國際關係、政治學、社會科學、人文學科、計算機科學等。
- 如何定義數學是難還是簡單？
我們如何去定義一個事物，如何去理解，決定了它是難還是簡單。（在這一節大段引用數學家鄭樂雋在《數學思維》中的描述來定義數學的“簡單”）
數學是什麼？
在數學家鄭樂雋看來，數學是運用邏輯規則，對所有符合邏輯規則的事物進行的研究。
那麼，數學是用來做什麼的呢？
她認為數學有兩個廣義的用途：1. 提供一種對概念進行精準描述的語言和一個清晰闡述關於這些概念的論證的系統。2. 對概念進行理想化處理，著重探討不同概念的相似部分，從而使得對不同概念的同時比較和研究成為可能。簡單地說，數學的目的是讓複雜的事物簡單化。事物複雜的原因有很多，而數學並不會處理所有這些複雜的情況（或者說，就算處理，也往往不是直接處理）。有三種複雜的情況是數學會處理的：1. 僅僅依靠我們的直覺不足以得出結論。2. 包含太多模稜兩可的部分，以至無法做出判斷。3. 在太短的時間內有太多要處理的問題。
在這些時候，數學就會來幫助我們了。1. 它會幫助我們建立和理解就一般直覺而言太難理解的論證。2. 它能夠去除模糊不清之處，讓我們可以準確地知道我們所討論的究竟是什麼。3. 它可以幫助我們尋找捷徑，同時回答很多的問題，因為它證明了這些問題其實都是同一個問題。
數學是怎麼做到這一切的呢？
藉助抽象：剔除模稜兩可的部分，忽略與當前問題無關的細節。在數學中，你需要做的就是不斷地剔除和忽略，直到你不再需要做其他，只需要應用純粹、明確的邏輯規則進行思考。
解決問題方式的重點在於：我們通過忽略複雜的事物讓事物簡單化了。換句話說，數學研究的是我們不必剔除的部分——那些簡單的部分。
然而，與之相反的是，相對於“簡單”的數學來說，生活是複雜的。
生活中涉及許多不能夠藉助邏輯思考得出結論的內容（比如想象力），也許是因為我們的邏輯思考能力還沒有強大到能夠理解生活的全部，也許是因為我們永遠不可能只憑理性來解釋生活中發生的一切。
二、如何更好的學習數學？
- 數學有用嗎？
我記得入學不久就有道作業題，證明“1+1=2”。
數學裡不講究“顯而易見”，而是講究嚴格的推理。我們知道1+1=2，是因為一個我們信任的人告訴我們1+1=2，而不是自己證明出來的。就像是我們知道地球是圓的一樣，並不是我們自己真的看到了，而是科學家告訴我們的。在數學的世界裡，嚴格的邏輯推理，嚴格的證明，才是最真實和確定的語言，被每一個數學家和數學愛好者所認同和接受。
當我努力尋找一些讓數學結合具體生活情景的應用，為了給學生授課時能更好的激發興趣，我跟另外一位老師交流說我這樣做的目的是希望讓學生覺得學數學是有用的。這位純數學方向的老師說，“為什麼一定要有用呢？我學的數學方向一點也沒有實際生活的應用場景，但它就是很有趣，就是有很多科學家在為此做著大量的研究”。
是啊，為什麼一定要有用呢？
當他在跟我說這句話的時候，就像是在唱一首“純數學理論知識可以帶給人們無窮的力量和訓練思維”的歌曲，這首歌我在大學時聽過，但因為自己沒有很好的理解，而聽不懂了。
數學與應用數學，本身是互相息息相關。
有用？沒用？——就像是那些覺得有用的人在用複雜的公式描述著對事物的理解，在敲一段你壓根不知所云的代碼一樣。
高層次的數學是關於如何思考的，帶給人們思維的力量。
我在學習數學的過程中遇到障礙的原因是：對數學概念理解和掌握不牢；也許當時並不明白所學習的內容解決的會是什麼樣的問題。
在高中階段，通過閱讀題目，寫下所有與題目中的量相關的字母符號，很快知道用什麼公式，並將其代入公式，這似乎就是比較有效，看起來是在用較少的工作量、不需要充分理解這些知識本身的情況下就能解決數學題目並獲取分數的方法。如果題目接近現實生活，還會覺得數學正在應用，看的到數學的用處。但如果遇到一些不切實際的題目時，也會想這些題目到底做了有什麼用呢？以後真的會用到嗎？所以我做這些題目也只是為了高考嗎？就像後來我選擇報考數學系，也有一部分原因是覺得這種做題拿分的方式出現了效果，自認為自己數學成績是好的，數學是所有科目中略強的，數學是可以深入學下去的。
但是，我發現我其實是忽略了學習數學的真正意義，忽略了數學作為如何解決問題的存在，而不是真的只在完成一道題目，解決了一個問題。
- 學習數學的內驅力和外驅力
人們常常宣傳學數學的外在動機——很多工作傾向數學能力的學生，很多大學專業傾向數學基礎好的學生，數學可以解決很多實際生活中的問題。
如果我們在研究數學時更多地受外在動機驅使的話，就會成為我們學習數學道路上的一個很大的障礙。假定我們在學校裡數學課的學習上，如果所有的學習都是由外在動機驅動，那麼我們是在解決一個別人給我出的問題，一個我除了完成數學作業和應付考試外很可能根本沒有必要去解決的問題。
可能你會問，那我現在正值學習基礎數學的階段，不按照老師的要求來做題，還能怎麼做呢？
其實我們在面對別人出的題目時，也是可以發現其中的內在動機。
我們在做數學練習的過程中，有時候推導錯了也有可能碰巧得到正確的答案，那我們就需要重新去思考整個邏輯推導的過程。糾正思考的過程雖然慢，但比只是得到一個正確答案更有助於我們理解，也會更增強我們學習數學時的信心。除了數學科目，其他科目的學習也是一樣，不論我們做什麼實驗或者演算、做學習計劃或者職業規劃，如果不清晰的瞭解自己在思考過程中的點正確與否，就會很難最後自主思考出正確的答案。
我們學習的數學公理、定理等等知識，是數學家們花費很長時間投身於複雜的數學問題才得以發現和證明的。如果我們更仔細地洞察身處的世界，就會發現生活中處處有數學，以此激發自己的興趣與熱情——內因驅動，在學習數學的過程中仔細的去研究學業和生活上的數學問題（不一定是要研究最高水平的問題），以問題為導向，提出各種形式的疑問，自主的去想辦法使用、調整、改善標準化的方法，嘗試創造性的解決和應對這些複雜的數學問題，這將會很鍛鍊我們的能力——讓我們在面對未來複雜社會的工作和生活中，遇到困難堅持不懈，不輕言放棄。
數學地圖 （圖片來源：Dominic Walliman）
三、寫在最後
登上一座山能讓你看到更高的山
你是否有過這種體驗——登上一座山的頂峰，發現的卻是比它更高的所有其他山峰？
學習數學也是如此，數學不僅僅是我們所熟知的數字和方程部分，跳出以往對數學狹隘的、線性的、不完整的看法，伴隨著對數學的熱情，透過敏銳的洞察，持續的加強自己的學識和能力，從更大的範圍內使用數學，我們就會發現越來越多的事物和現象可被研究和理解，人也因此而充盈和愉悅。
* 拓展閱讀：《數學思維》《愛與數學》《穿越平行宇宙》《你學的數學可能是假的》
