「初中數學」相似三角形精選試題(上)

在初中數學裡，相似三角形的知識雖然所佔比分不多，但它是非常重要的一部分，因為證兩個三角形相似相對於證兩個三角形全等需要的條件要少，特別是用兩對角相等證兩個三角形相似，更是方便，快捷，而一但兩個三角形相似了，則對應邊成比例，得到一個等式，利用這一性質，就可求某一條邊的長度，這也是列方程的依據，方程的思想是非常重要的數學思想方法，是解決數學問題的有力武器，我們說，幾何有三寶:勾股，相似和三角，可見相似這部分知識的重要，那麼如何很好地掌握這部分知識呢？下面以題說明。

【題目呈現】

1.如圖，點A在線段BD上，在BD的同側作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE，AE分別交於點P，M.對於下列結論:

①△BAE∽△CAD;②MP×MD=MA×ME;③.2CB²=CP×CM.其中正確的序號是______.

【分析】△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=45°，∴∠CAE=90°，∴CA/AB=AD/AE=√2，又知∠BAE=∠CAD，∴△BAE∽△CAD，①正確.由①知，∠BEA=∠CDA，又∠PME=∠AMC，∴△PME∽△AMD，∴MP/MA=ME/MD，∴MP×MD=MA×ME，②正確.由於MP/MA=ME/MD，又∠PMA=∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM=∠AED=90°，在Rt△CAM中，AP⊥CM，∠CAM=90°，由射影定理得AC²=CP×CM，在等腰直角三角形中，可得AC²=2BC²，∴2CB²=CP×CM，③正確.∴正確的序號為①②③.

【總結】本題考查了相似三角形的判定，特別是，由△PME∽△AMD，得MP/MA=ME/MD，再由∠PMA=∠EMD，證出△PMA∽△EMD，這一方法一定要熟練，平時做題時要有意識地進行練習，以提高推理能力，同時要熟練應用射影定理.

2.已知有一塊等腰三角形紙板，在它的兩腰上各有點E和F，把這兩點分別與底邊中點連接，並沿著這兩條線段剪下兩個三角形，所得的這兩個三角形相似，剩餘部分(四邊形)的四條邊的長度如圖所示，那麼原等腰三角形的底邊長是多少？

【分析】E，F兩點在等腰三角形的腰上，底邊的中點在哪裡呢？顯然應分兩種情況討論:

①當點A為等腰三角形的頂點，點D為底邊的中點時，如下圖，

由於△BDE與△DFC相似，又AB=AC，∠B=∠C，BD=DC，DE=3，DF=2，∴DE與DF是對應邊，相似比為DE/DF=3/2，∴BD與DC不可能是對應邊，則應為BE/DC=BD/CF=3/2，那麼又如何求對應邊的長度呢？我們想到了列方程.設BD=DC=a，AB=AC=b，則BE=b一2，CF=b一4，由BE/DC=DE/DF=BD/CF，得(b一2)/a=3/2=a/(b一4)，解得a=12/5，∴BC=24/5.

②當點D為等腰三角形的頂點，點A為底邊的中點時，如下圖，

則AB=AC，∠B=∠C，AE與AF應是對應邊，∴△BAE與△CFA的相似比為AE/AF=1:2，那麼AB邊應與CF是對應邊，設AB=AC=m，BD=CD=n，則BE=n一3，CF=n一2，由△BAE∽△CFA，得BE/AC=AE/AF=AB/CF，即(n一3)/m=1/2=m/(n一2)，解得，m=2/3，n=10/3，此時AB=2/3，BE=n一3=1/3，而AE=2，BE，BA，EA不能構成三角形，故此種情況不成立.

綜上所述，原等腰三角形的底邊長為24/5.

【總結】本題主要用到了分類討論的思想方法，兩個三角形相似，找對應邊時，根據確定的元素，結合題中的條件，分析確定其他的對應邊，這樣可簡化計算量.

3.如圖，在Rt△ABC內有邊長分別為a，b，c的三個正方形，則a，b，c滿足的關係式是_______.

【分析】我們先不管題目是難還是易，當我們拿到這樣的題時，該如何分析？要求a，b，c三線段滿足的關係式，那肯定要建立，有關a，b，c的方程，結合條件，應用相似知識合適，相似三角形的邊應是含a，b，c或其代數式為宜，所以鎖定△DEF與△GHK，易證∠FDE=∠HGK，或∠DFE=∠HKG，則△DEF∽△GHK，∴DE/HG=EF/HK，而DE=a，EF=b一a，HG=b一c，HK=c，∴可得，a/(b一c)=(b一a)/c，化簡得b(b一a一c)=0，由於b≠0，∴a+c=b.

4.如圖，在△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC於點M，CN⊥AB於點N，點P為BC的中點，連接PM，PN，MN，有下列結論:①PM=PN;②AM/AB=AN/AC;③△PMN為等邊三角形;④當∠ABC=45°時，BN=√2PC，其中正確結論的序號是___________.

【分析】由於BM⊥AC於M，CN⊥AB於N，點P為BC的中點，∴PN為Rt△BNC斜邊BC的中線，∴PN=BC/2，PM為Rt△BMC斜邊BC的中線，∴PM=BC/2，∴PM=PN，①正確.易知△BMA∽△CNA，∴AM/AN=AB/AC，∴AM/AB=AN/AC，②正確.由於∠A=60°，易得∠ABM=∠ACN=30°，∴∠MBP+∠NCP=60°，由①知BP=PM，CP=PN，∴∠MBP=∠BMP，∠NCP=∠CNP，∴∠NPB=2∠NCP，∠MPC=2∠MBP，∴∠NPB+∠MPC=2(∠MBP+∠NCP)=120°，∴∠NPM=60°，又PM=PN，∴△PMN為等邊三角形，③正確.若∠ABC=45°，則△BNC為等腰直角三角形，∵P為BC的中點，∴NP⊥BC，∴BN=√2BP=√2PC，④正確，∴正確結論的序號為①②③④.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD於點E，點F，M分別是AB，BC的中點，BN平分∠ABE交AM於點N，AB=AC=BD，連接MF，NF.

(1)判斷△BMN的形狀，並加以證明;

(2)判斷△MFN與△BDC之間的關係，並加以證明.

【分析】①依據條件，聯想知識，靠攏結論。∵AB=AC，M是BC的中點，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=1/2(∠BAE+∠ABE)=45°，∴△BMN是等腰直角三角形.

②∵F，M分別是AB，BC的中點，∴MF∥AC，MF=AC/2，∵AC=BD，∴MF=BD/2，即MF/BD=1/2，∵△BMN是等腰直角三角形，MN=BM=BC/2，即MN/BC=1/2，∴MF/BD=MN/BC，∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB=90°，∵FM∥AC，∴FM⊥BE，∴∠CBD+∠FMB=90°，∴∠NMF=∠CBD，∴△MFN∽△BDC.

本題若想利用兩角證相似，則較難，甚至證不出來，題中有邊的倍分關係，所以用對應邊成比例且夾角相等來證.

【總結】分析條件，聯想相關知識，運用某些技巧和方法，步步逼近結論，是通用的解題方法。