序言 09 April 2020
個人消費分期借款會經常遇到手續費的問題，而金融機構也沒有給出實際的借款利率，造成消費者對其借款成本無法準確把握，甚至有的還出現誤判，認為借款利率很低，會對其決策造成影響。
本文從實際案例出發，重新詳細闡述了資金的時間價值的計算基礎，當然這是所有金融從業人員自備的“裝備”，同時也是IFA在無法跟客戶簡單解釋情況下，給客戶參考的一篇“入門”文章。
消費分期貸款如何換算成實際的年化利率，做到心中有數，這個問題的確挺困擾人的。
例
小明用分期消費貸款18萬買了一輛車，分36期（叄年）還本付息的方式，每月手續費率0.5%，這樣，小明每月需要還900元手續費加上本金5000元，每月共5900元的還款金額，要持續三年。
小明感到困惑，他的分期消費貸款實際利率到底是多少呢？
也許有人用粗暴算法，就是每月手續費率0.5%，一年就是0.5%*12=6%，所以年化的貸款利率就是6%嘛。不過這個算法的確是太粗暴了，誤差太大，呵呵。
如果真正的每期手續費是0.5%的話，第一個月的確是900（18萬乘0.5%），但是第二個月因為還掉了5000元的本金，所以手續費應該是175000*0.5%=875元才對！三年後最後一期的本金僅剩5000元，所以最後一期的手續費應該是5000*0.5%=25元才對！
但是銀行不是這麼跟你算的，不管你還了多少本金，它每期都用18萬來計算你的手續費！每期都收你900元！被銀行帶錯覺了。
這樣細想實際的貸款利率，6%是肯定不止的。
也有人用粗略算法，按上面的分析，每期的本金餘額相加進行平均，就是本金的中位數9萬（為18萬的一半），9萬的本金每月要給900元手續費，月利率不就是1%嗎，年化利率就是12%了。就是採用“兩倍的月分期費率乘以12”的算法。
這個粗略算法比粗暴算法要精確很多了，但是由於前期的本金大，比重理應要多一點，對利率的影響會比後期的要大，所以不可以簡單用算數平均來處理，顯然實際利率就沒有這麼高，這不是科學精確的答案。
還好，正確的計算所要求掌握的知識並不高，初中數學就行。但是，對於金融從業人員來說，掌握相關概念、記住相關的公式則是必須的。
首先我們先梳理一下需要掌握的一些基本概念，這些概念是現代投資理論的基石，雖然簡單但是十分重要，包括資金的時間價值、複利等，投資理論認為，由於存在“利率”這個東西，所以即便是等額的資金，在不同的時間節點，它們的價值是不同的。
顯然，“利率(i，Interest)”是第一個重要的概念，是資金時間價值的基礎。
第二個重要的概念就是“週期”，比如上述例子中的小明的分期還款中的週期就是月度，為什麼週期重要？因為這個“週期”是要使用“利率”進行結算的依據，是“激活”利率的重要條件。當然也是產生利息後可以立馬轉為本金的節點（開始利滾利了）。
接下來有“現值(PV，Present Value)”的概念，就是目前現在的資金額。
終值(FV，Future Value)：期末體現出來的賬面資金額。
週期金（年金A，Annuity）：週期末（或初期，一個週期末就是下一個週期的初期）的賬面資金額。
上述的資金描述中我們沒有說是收入還是支出，這個是無所謂的，因為你的收入就是別人的支出，計算方式是一樣的。
為了便於理解，上面各個概念可以用一個圖來表示，記住這張圖概念就很清晰了：
製圖：雨季
我們所遇到的幾乎所有的投資計算，包括貼現、按揭、分期、投資回報測算、債券定價、資產定價等等，就是不斷在上圖中的四個要素（PV、FV、A、i）中算來算去、折來折去而已。
同時，現值與折現值、貼現值；週期金與年金；利率與收益率、貼現率、折現率、內部收益率、資金成本等等都是一個概念，它們只是在不同的場合採用不同的說法。只要腦中有圖，就不會被其他概念所混淆。
◎現值（PV）與終值（FV）的轉換
有一筆現錢P，經過n期後的終值F是多少？計算如下：
第一期後有本加利合計為（P+P*i），即P*（1+i）；
第二期後有本加利合計為（P*（1+i）+ P*（1+i）*i），即P*（1+i）2；
……
第n期後有本加利合計為P*（1+i）n；
所以：
公式一：F = P*（1+i）n
或者：
公式二：P = F/（1+i）n = F*(1+i)-n
◎現值（PV）與週期金（年金A）的轉換
有n期的年金A（等額），相當於現值多少？計算如下：
第一期的年金A折現值為（依據公式二）：A*（1+i）-1；
第二期的年金A折現值為：A*（1+i）-2；
……
第n期的年金A折現值為：A*（1+i）-n；
以上各期折現值可以相加得出所有n期年金的折現值：
公式三：
P = A*（1+i）-1 + A*（1+i）-2 + …… + A*（1+i）-n
= A*[1-（1+i）-n]/i
或者：
公式四：A = P*i/[1-（1+i）-n]
……已知現值P，求平攤每期的年金A值的公式。
銀行樓宇按揭中的等額還本付息法的計算就是採用公式四。
◎終值（FV）與週期金（年金A）的轉換
把公式二代入公式三即可得出：
公式五：F = A*[（1+i）n -1]/i
公式六：A = F*i/[（1+i）n -1]
每期存一筆資金，到n期後賬戶可以有多少錢，適用公式五。
我想N年後有一筆錢F，那麼每年需要存多少錢才可以實現，適用公式六。
好了，回到小明的分期消費貸款，我們知道了現值（18萬），知道了週期金（每月5900元），總週期為36期，求月利率i。用公式三，可以有：
[1 -（1+i）-36]/i = 180000/5900
靠！上面這個 i 怎麼解？我也不會解（哪位數學大神有解的話，重酬）。
如果不借用電腦或專用計算器的話，只能試算，找近似值，比如i=1%試試，太高了換0.9%，這樣找出近似值，方法很笨。
但是我們有“神器”Excel電子表格呀，已知現值、週期金（年金A），使用IRR函數就可以求i了，而且週期金可以不相等，見下圖（其他的相關函數見附錄）：
Excel使用的是迭代法計算函數IRR。從試算值開始，IRR不斷修正計算結果，直至其精度小於0.00001%。如果IRR反覆運算20次，仍未找到結果，則返回錯誤值“#NUM!”，充分發揮了電腦在計算能力上的優勢。
可是微軟好像也沒有找到好的計算方法，人類就是這麼笨了！明明知道可解，就是一次性算不出來。
計算結果與粗略算法計算出來的年化利率12%相差0.92%，如果懶得精確計算的話，採用粗略算法可以大概有個數。
小明的分期消費貸款利率經計算的結果就是11.08%，與銀行說的分期費率0.5%（年化6%）是不是有很大差距？
所以小明對分期貸款的利率感到困惑也是正常，對於銀行來講，這個i其實就是它的“內部收益率”，對於小明來講，就是其借款利率。
延伸出的“內部收益率（IRR ，Internal Rate of Return）”概念，就是未來項目產生的資金流入的現值總額與資金流出的現值總額相等（淨現值等於零）時的折現率，IRR越高，項目的收益就越好。
此外還可延伸出“淨現值（NPV，Net Present Value）”的概念。淨現值是指投資方案實施後，未來所產生的全部收入的淨流量以資金成本為貼現率（i）換算為現值之後，與總投資額（統一換算為現值）的差額。淨現值法就是按淨現值大小來評價投資方案優劣的一種方法，顯然淨現值大於零則方案可行,且淨現值越大,方案越優,投資效益越好。
淨現值、IRR是在投資回報測算中常見的計算方法。
附錄：其他Excel相關函數
1、 FV（Rate,Nper,Pmt,Pv,Type），已知利率（Rate）、總期數（Nper）、週期金（年金Pmt）、現值（Pv）轉換為終值。
2、 PV（Rate,Nper,Pmt,Fv,Type），已知利率（Rate）、總期數（Nper）、週期金（年金Pmt）、終值（Fv）轉換為現值。
3、 PMT（Rate,Nper,Pv,Fv,Type），已知利率（Rate）、總期數（Nper）、現值（Pv）、終值（Fv）求每期的週期金（年金A）。
4、 NPV（Rate,Value1，Value2，……），已知貼現率（Rate）、每期的淨現金流（Value，最多254期），轉換為淨現值。
（end）
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