序言 09 April 2020
个人消费分期借款会经常遇到手续费的问题，而金融机构也没有给出实际的借款利率，造成消费者对其借款成本无法准确把握，甚至有的还出现误判，认为借款利率很低，会对其决策造成影响。
本文从实际案例出发，重新详细阐述了资金的时间价值的计算基础，当然这是所有金融从业人员自备的“装备”，同时也是IFA在无法跟客户简单解释情况下，给客户参考的一篇“入门”文章。
消费分期贷款如何换算成实际的年化利率，做到心中有数，这个问题的确挺困扰人的。
例
小明用分期消费贷款18万买了一辆车，分36期（叁年）还本付息的方式，每月手续费率0.5%，这样，小明每月需要还900元手续费加上本金5000元，每月共5900元的还款金额，要持续三年。
小明感到困惑，他的分期消费贷款实际利率到底是多少呢？
也许有人用粗暴算法，就是每月手续费率0.5%，一年就是0.5%*12=6%，所以年化的贷款利率就是6%嘛。不过这个算法的确是太粗暴了，误差太大，呵呵。
如果真正的每期手续费是0.5%的话，第一个月的确是900（18万乘0.5%），但是第二个月因为还掉了5000元的本金，所以手续费应该是175000*0.5%=875元才对！三年后最后一期的本金仅剩5000元，所以最后一期的手续费应该是5000*0.5%=25元才对！
但是银行不是这么跟你算的，不管你还了多少本金，它每期都用18万来计算你的手续费！每期都收你900元！被银行带错觉了。
这样细想实际的贷款利率，6%是肯定不止的。
也有人用粗略算法，按上面的分析，每期的本金余额相加进行平均，就是本金的中位数9万（为18万的一半），9万的本金每月要给900元手续费，月利率不就是1%吗，年化利率就是12%了。就是采用“两倍的月分期费率乘以12”的算法。
这个粗略算法比粗暴算法要精确很多了，但是由于前期的本金大，比重理应要多一点，对利率的影响会比后期的要大，所以不可以简单用算数平均来处理，显然实际利率就没有这么高，这不是科学精确的答案。
还好，正确的计算所要求掌握的知识并不高，初中数学就行。但是，对于金融从业人员来说，掌握相关概念、记住相关的公式则是必须的。
首先我们先梳理一下需要掌握的一些基本概念，这些概念是现代投资理论的基石，虽然简单但是十分重要，包括资金的时间价值、复利等，投资理论认为，由于存在“利率”这个东西，所以即便是等额的资金，在不同的时间节点，它们的价值是不同的。
显然，“利率(i，Interest)”是第一个重要的概念，是资金时间价值的基础。
第二个重要的概念就是“周期”，比如上述例子中的小明的分期还款中的周期就是月度，为什么周期重要？因为这个“周期”是要使用“利率”进行结算的依据，是“激活”利率的重要条件。当然也是产生利息后可以立马转为本金的节点（开始利滚利了）。
接下来有“现值(PV，Present Value)”的概念，就是目前现在的资金额。
终值(FV，Future Value)：期末体现出来的账面资金额。
周期金（年金A，Annuity）：周期末（或初期，一个周期末就是下一个周期的初期）的账面资金额。
上述的资金描述中我们没有说是收入还是支出，这个是无所谓的，因为你的收入就是别人的支出，计算方式是一样的。
为了便于理解，上面各个概念可以用一个图来表示，记住这张图概念就很清晰了：
制图：雨季
我们所遇到的几乎所有的投资计算，包括贴现、按揭、分期、投资回报测算、债券定价、资产定价等等，就是不断在上图中的四个要素（PV、FV、A、i）中算来算去、折来折去而已。
同时，现值与折现值、贴现值；周期金与年金；利率与收益率、贴现率、折现率、内部收益率、资金成本等等都是一个概念，它们只是在不同的场合采用不同的说法。只要脑中有图，就不会被其他概念所混淆。
◎现值（PV）与终值（FV）的转换
有一笔现钱P，经过n期后的终值F是多少？计算如下：
第一期后有本加利合计为（P+P*i），即P*（1+i）；
第二期后有本加利合计为（P*（1+i）+ P*（1+i）*i），即P*（1+i）2；
……
第n期后有本加利合计为P*（1+i）n；
所以：
公式一：F = P*（1+i）n
或者：
公式二：P = F/（1+i）n = F*(1+i)-n
◎现值（PV）与周期金（年金A）的转换
有n期的年金A（等额），相当于现值多少？计算如下：
第一期的年金A折现值为（依据公式二）：A*（1+i）-1；
第二期的年金A折现值为：A*（1+i）-2；
……
第n期的年金A折现值为：A*（1+i）-n；
以上各期折现值可以相加得出所有n期年金的折现值：
公式三：
P = A*（1+i）-1 + A*（1+i）-2 + …… + A*（1+i）-n
= A*[1-（1+i）-n]/i
或者：
公式四：A = P*i/[1-（1+i）-n]
……已知现值P，求平摊每期的年金A值的公式。
银行楼宇按揭中的等额还本付息法的计算就是采用公式四。
◎终值（FV）与周期金（年金A）的转换
把公式二代入公式三即可得出：
公式五：F = A*[（1+i）n -1]/i
公式六：A = F*i/[（1+i）n -1]
每期存一笔资金，到n期后账户可以有多少钱，适用公式五。
我想N年后有一笔钱F，那么每年需要存多少钱才可以实现，适用公式六。
好了，回到小明的分期消费贷款，我们知道了现值（18万），知道了周期金（每月5900元），总周期为36期，求月利率i。用公式三，可以有：
[1 -（1+i）-36]/i = 180000/5900
靠！上面这个 i 怎么解？我也不会解（哪位数学大神有解的话，重酬）。
如果不借用电脑或专用计算器的话，只能试算，找近似值，比如i=1%试试，太高了换0.9%，这样找出近似值，方法很笨。
但是我们有“神器”Excel电子表格呀，已知现值、周期金（年金A），使用IRR函数就可以求i了，而且周期金可以不相等，见下图（其他的相关函数见附录）：
Excel使用的是迭代法计算函数IRR。从试算值开始，IRR不断修正计算结果，直至其精度小于0.00001%。如果IRR反复运算20次，仍未找到结果，则返回错误值“#NUM!”，充分发挥了电脑在计算能力上的优势。
可是微软好像也没有找到好的计算方法，人类就是这么笨了！明明知道可解，就是一次性算不出来。
计算结果与粗略算法计算出来的年化利率12%相差0.92%，如果懒得精确计算的话，采用粗略算法可以大概有个数。
小明的分期消费贷款利率经计算的结果就是11.08%，与银行说的分期费率0.5%（年化6%）是不是有很大差距？
所以小明对分期贷款的利率感到困惑也是正常，对于银行来讲，这个i其实就是它的“内部收益率”，对于小明来讲，就是其借款利率。
延伸出的“内部收益率（IRR ，Internal Rate of Return）”概念，就是未来项目产生的资金流入的现值总额与资金流出的现值总额相等（净现值等于零）时的折现率，IRR越高，项目的收益就越好。
此外还可延伸出“净现值（NPV，Net Present Value）”的概念。净现值是指投资方案实施后，未来所产生的全部收入的净流量以资金成本为贴现率（i）换算为现值之后，与总投资额（统一换算为现值）的差额。净现值法就是按净现值大小来评价投资方案优劣的一种方法，显然净现值大于零则方案可行,且净现值越大,方案越优,投资效益越好。
净现值、IRR是在投资回报测算中常见的计算方法。
附录：其他Excel相关函数
1、 FV（Rate,Nper,Pmt,Pv,Type），已知利率（Rate）、总期数（Nper）、周期金（年金Pmt）、现值（Pv）转换为终值。
2、 PV（Rate,Nper,Pmt,Fv,Type），已知利率（Rate）、总期数（Nper）、周期金（年金Pmt）、终值（Fv）转换为现值。
3、 PMT（Rate,Nper,Pv,Fv,Type），已知利率（Rate）、总期数（Nper）、现值（Pv）、终值（Fv）求每期的周期金（年金A）。
4、 NPV（Rate,Value1，Value2，……），已知贴现率（Rate）、每期的净现金流（Value，最多254期），转换为净现值。
（end）
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