01
魔術是一種違反客觀規律的表演，
它有很多種的表現形式，
有一種是表演者完完全全的不用敏捷的手法
和特殊裝置，
而是運用大量的科學、心理學、數學等知識
完成的心靈魔術又稱讀心術，
用極敏捷、使人不易覺察的手法或
用特殊的裝置將變化的真相掩蓋住，
而使觀眾不會感到奇幻莫測……
我們今天只談數學，不談藝術，解謎的魔術都是基於數學知識所演變的！
希望魔術師勿怪……
▼ ▼▼ ▼ ▼ ▼ ▼▼ ▼
02
數學思維有很多種，
無論是哪種，
均是基於數學知識，使用邏輯發現問題，或者預見到不得不做的事情.
我們可以先介紹一個直覺性思維.
直覺性思維說白了就是我們日常生活中的第一印象，
或者第一種感覺，
通常帶有欺騙性.
Lisa過生日，定了個12寸的蛋糕，
可是付過款之後，
店員告訴她沒有那麼大的了，
問她能否用一個8寸和一個6寸的蛋糕頂替？
如果用直覺性思維的話，
8+6 > 12 去思考的話，
我們會覺得一個8寸和一個6寸的蛋糕的體積
是大於一個12寸的蛋糕的體積的，
（假定蛋糕高度一致，且只有一層）
當然，學過圓柱體積公式的小夥伴們都能得到這個結論是錯誤的.
通過很簡單的計算，
8^2+6^2 =100 < 12^2=144，
很明顯，一個12寸的蛋糕的體積要更大些.
再看這一個例子：
同樣的是Lisa過生日，買了一個蛋糕（單層的），
她和閨蜜一起吃這個蛋糕，
她閨蜜有個癖好，
吃蛋糕只吃外圈的，
於是，她閨蜜提出：
我只吃直徑30%的外圈部分，裡面70%的部分歸你，這樣你吃的比我多，可以嗎？
如果單從吃的多少的角度考慮，
你是Lisa的話會同意朋友的建議嗎？
直覺又會告訴我們，同意！
這個反差很大啊，
可是通過簡單的計算，我們就會發現：
也就是說，藍色部分面積佔整個面積的49%，
是小於外圈紅色部分的面積的.
那麼二者什麼時候相等呢？
很好計算，若內圈半徑佔整體半徑的x，
則：
我們再看最後一個例子，
Lisa父親買了個大西瓜，
很特別的是，這個西瓜去皮後是個特別規則的球體，
她父親將外圈的 30% 剝給了Lisa，
剩下內圈的70% 給了她的妹妹，
並且還說：讓Lisa少吃點，減肥！
請問：Lisa究竟是少吃了還是多吃了？
我相信，看了上面那麼多的結論後，
你應該會覺得Lisa是多吃了，而不是少吃，
簡單計算一下：
也就是說，Lisa僅僅吃了外圈的30%，
卻吃掉了整個西瓜的65.7%.
和上面方法一樣，我們很快就能得到
當Lisa吃掉外圈部分佔比為(1-x)時，
即1-x ≈ 20.6%時，基本上吃掉了西瓜的一半.
她父親讓她減肥的想法落空了……
▼ ▼▼ ▼ ▼ ▼ ▼▼ ▼
03
下面給大家介紹一個 經典的 21 張牌魔術，
相信很多小夥伴們都見過或聽說過或表演過這個魔術，
【視頻版】建議wifi下觀看 土豪請忽略
如果是第一次接觸這個魔術的小夥伴，
在看完視頻後會驚呼神奇，
其實視頻中魔術師說過了，
這是數學原理！
那是什麼數學原理呢？我們就來掰扯掰扯……
▼ ▼▼ ▼ ▼ ▼ ▼
不動點理論.
簡單來說，
方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ這個運動之下
被留在原地不動的點，
故稱不動點.
21張牌分成 3 疊，每疊 7 張，
21張牌的中間那一張牌——第11 張，
如果將這張牌所在的疊一直保持在中間的話，
那麼這張牌是不變的.
舉例：
初始位置
重新發牌（A疊在上，B疊居中，C疊最下）
或（C疊在上，B疊居中，A疊最下）
11的位置是不變化的，
有了這個原理後，只要我們經過有限次變換，
將初始那張牌所在的疊都可以變為第11張牌即可.
和什麼例子一樣，
我們假定21張牌是：1、2、3、4、5、6、7……21.
分成三疊，A、B、C，
假定我們要尋找的牌在C疊（即15~21中的一個數字）中，
現在我們將C疊放在中間，
A疊、B疊順序沒有關係，定為A在最上層，
看結果：
我們不難發現：
【第一種情況】
數字10、11和12處於同一位置，
如果是這三個數字之一的話，
其所在的疊放於中間，這兩個數字從上往下數是第 11 張 牌了，
根據上面的解釋，這幾張牌的位置就固定不變了，
牌就確定找到了.
【第二種情況】
數字8和9處於同一位置，
如果是這兩個數字之一的話，
其所在的疊放於中間，這兩個數字從上往下數是第 10 張 牌了，
我們再看上表中的數字 10 是不是處於A疊的中間位置，
也就是說將數字8或9所在的那一疊放於中間，
則8 或9 出現的位置是 表中數字 10 所在位置，
這就變成了第一種情況了……
問題得到解決.
【第三種情況】
數字13和14處於同一位置，
如果是這兩個數字之一的話，
其所在的疊放於中間，這兩個數字從上往下數是 第 12 張 牌了，
也就是說將數字13或14所在的那一疊放於中間，
則13 或 14 出現的位置是 表中數字 12 所在位置，
這也就變成了第一種情況了……
問題得到解決.
文章發於 公 號 【趣味數學故事】
閱讀更多 日則三省吾身 的文章
