具體數學表象
第一階段，主要研究數學現象問題，數學抽象一般是從數學認識活動最初接觸的表象開始的，但並非所有的數學表象都能成為抽象的材料。人們在進行數學研究和應用的過程中發現一些反覆出現的、預示著某種規律性的數學現象，引起了注意並深入探討，才能進行自覺的抽象思維活動。最初的數學表象大都是在生產活動中產生的。比如，變分法理論的產生起源於“最速降線”問題，群論的一個來源是對晶體結構的研究。數學抽象往往開始只能抓住一些特殊的表象,而數學工作者的任務就在於從特殊中發現一般。
分析具體的數學屬性
第二階段，主要是對各種具體數學屬性進行分析,逐步去掉非本質屬性，而只保留能表明本質屬性的數量關係。對於一些新發現的數量關係，還需要有新的符號加以表示，這實際上是一個創造的過程。有相同數量關係的數學問題在結構上是相同的。同構是類別的基礎，而同一類的數學問題才有可能抽象出共同的本質屬性或特徵。比如17世紀有四種主要類型的問題：求運動著的物體在任意時刻的速度和加速度；求曲線的切線；求函數的最大值和最小值；求曲線長。這四個問題的數學結構實質上是一致的,因而該類問題的進一步研究就導致了統一的微積分運算的出現。
新舊數學理論或結構的融合
第三階段，對於已經瞭解其結構的數學事實，需要根據它和別的數學理論的關係確定其本質屬性或特徵，新的數學概念總是在原有的數學體系上生長出來的，連接兩者的紐帶需要牢固的邏輯推理。希爾伯特曾經做過這樣的比喻:“一個新的問題，特別是當它來源於外部經驗世界時，很像一株幼嫩的新枝，只要我們小心地、按照嚴格的園藝學規則將它移植到已有數學成就粗實的老幹上去，就會茁壯成長，開花結果。”
不過，在數學中往往有這樣的情況,給一個數學概念下確切的定義比使用這個概念要困難得多，這是由於定義反映的不僅僅是運算規則本身，而且包括概念之間的內在聯繫，而這種聯繫必須在數學體系發展的一定階段上才能完全確定下來。
數學概念的深化
第四階段，一個數學概念基本上被確定下來之後，需要有一個比較長期的過程使之不斷純化。它可以分成兩個方面，一個方面是在概念的內涵方面不斷深化。比如“函數”概念，它最早是由菜布尼茨在1673年提出來的，但它的定義卻經過多次演變，達朗貝爾把函數看作一個“解析式”，歐拉把它看作是在幾何上“能用曲線表示”這一屬性。柯西把在歐拉那個時代混在一起的連續性、可微性、能展開成泰勒級數的性質從函數一般概念中分辨出來。而直到黎曼那裡，才得出現代通用的定義，即作為一種規律，根據它由自變量的值確定因變量的值。一方面，概念的外延也要不斷擴張，數學概念外延的推廣有時會搞得表面上面目皆非。比如乘法運算,限於數字的乘法與矩陣、向量的乘法，其中的交換律或結合律等運算是不統一的。歡迎關注微信公眾號：中學高分寶典
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