今天的開篇就是標題
你一直幻想的情人就像是有理數，明明知道到處都是，但你往數軸上隨便一戳，戳中的概率是0！
不管你信也好，不信也罷，這的確是個事實……
要說明這個問題，需要一步步來證明：
1. 有理數的可數性；
2. 實數的不可數性；
3. 克服心理障礙去理解概率.
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01
有理數的可數性證明
什麼是“可數”？
如果元素能像整數集那樣排成一個序列，就稱這個集合為可數的.
有理數也可排成一行，每個元素與整數集的每個元素，
是一對一的，因此有理數集也就是可數的.
整 數： 1 2 3 4 5 ...... n ......
有理數：r1 r2 r3 r4 r5 ...... rn ......
證明：一個有理數，可以表示為q/p形式（p與q都為整數）.
所有有理數（每一個都是q/p），都能佈置成在第a列第b行.
比如：2/5 在第二列第5行；1/3 在第一列第3行……
然後，在這個佈陣中畫一條連續的折線，
沿這條折線走，
再消去所有p和q有公因子的數,
能得到一個序列，這個序列，
使每一個有理數以最簡單的方式恰好出現一次——
因為每一個正有理數出現一次，而且只出現一次，
說明全體正有理數是可數的.
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02
實數的不可數證明
由於有理數集是可數的，
因此人們可能猜測任何無限集都是可數的，
但是，實數（有理數和無理數）卻是不可數的！
證明簡介：康託用反證法，天才地給出了一個證明。
證明的大概意思：如果假設實數集可數，那所有實數集元素，就可以排列成一個無限的十進位小數表.
可以取一個數，其第一個小數位，不同於前述小數表第一個數的小數位第一位；
其第二個小數位，不同於小數表第二個數的小數位第二位；
……
以此類推，小數第n位，不同於小數表第n個數的小數位第n位；
這樣得到的數，不同於小數表上的任何一個數，因此假設不成立，所以實數集不可數.
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03
在單位區間（0,1）中，隨機選取一個實數，則其為有理數的概率是多大？
構造區間 （0,1） 上的函數:
D(x)=1，x∈有理數；D(x)=0，x∈無理數；
其實這就是狄利克雷(Dirichlet)函數.
即該函數取值為1時的概率.
答案是0.
簡單理解：
在實數範圍內，取任意一個實數，得到有理數的概率，
根據有理數可數性，假設有理數勢為單位1，實數為：+∞，
則：P=1/（+∞）=0.
這裡需要克服心理障礙，
比如在區間（0,1）內，我們明明可以取到有理數0.5、0.3之類的，
為什麼概率為 0 呢？
用一句話來表示就是：
一件事情不可能發生，則其發生的概率為0；
如果一件事發生的概率為0，但是卻可能發生.
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