2019-12-10 11:26:47 物理哲學

假如粒子研究不能適合空間和時間，那麼它整個目的就失敗了，我們就不知道它的作用究竟是什麼。——薛定諤

薛定諤方程在量子力學中的地位相當於牛頓第二定律在經典力學中的地位，二者描述的都是事物的運動變化。

牛頓第二定律是表述質點運動的微分方程F=m(d²x/dt²)，而薛定諤方程是描述波函數變化的偏微分方程，它最簡單的形式是不含時勢（時間和勢能）的表達式（-ℏ²/2m）∂²ψ/∂x²=Eψ。

薛定諤

方程的由來

當位置波函數ψ(x)確定之後，根據其係數可以求出動量波函數ψ(p)，從而引出不確定性原理ΔxΔp≥ℏ/2（上一篇內容）。在經典力學中，已知位置和動量，就可以計算一切運動變化，但對於量子力學，還剩下最重要的一個量——能量，它是質點運動唯一可以保持不變的量。為了確定粒子能量的概率波函數ψₑ(x)，於是構造了薛定諤方程。

文章導圖

能量波函數

在牛頓力學體系中，已知x和p，則不用再單獨進行能量的計算，因為有動量—能量公式E=p²/2m。而微觀粒子的能量必須具有概率詮釋，根據求動量波函數的方法，可知能量的概率波函數需滿足：

ψ(x)=∑Aₑψₑ(x)

Aₑ=∫ ψₑ*(x)ψ(x) dx

接下來最重要的一步就是合理的假設與猜測，為了求解能量波函數，薛定諤根據經典的關係式E=p²/2m，大膽地構建了一個自由粒子的方程：

（-ℏ²/2m）d²ψ/dx²=Eψ

通過解上述方程得到了能量的

概率波函數：

ψₑ(x)=Ae^-i(p/ℏ)x + Be^-i(p/ℏ)x，其中p=√2mE。

方程的解很好的符合了實驗測量結果以及玻爾的能級理論，根據動量只能取離散值p=2nπℏ/L，便可得到能量也只能取分立值E=(2nπℏ/L)²/2m。

束縛於諧振子勢阱的八個不同能級的能量本徵波函數(n=0~7)

薛定諤方程

我們的任務不是去發現一些別人還沒有發現的東西，而是針對所有人都看見的東西做一些從未有過的思考。——薛定諤

下一個的核心問題是波函數如何隨時間變化，也就是把時間加入到概率波函數之中，將ψₑ(x)變為ψₑ(x,t)。薛定諤認識到，首先要建立關於波函數的波動方程，並在時間過程中追蹤概率波函數的改變，形式變化需要符合系統的測量結果。經過不斷地嘗試，在1926年，薛定諤終於得出完整的方程，揭開了量子世界的基本規律。