一、基本題型（已知頭和腳的總數）例1有若干只雞和兔子,它們共有88個頭,244只腳,雞和兔各有多少隻
解：假設全是雞88×2=176
由假設算出來的總腳數244-176=68 比題中實際條件少的腳數4-2=2 拿一隻兔換一隻雞，每換一次會補上2只腳68÷2=34
要換34次，因每換一次就有一隻兔,即為兔的數目88-34=54 雞的數目（如果假設全是兔呢？）練習：1.學校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120個學生同時進行活動.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副2、自行車和汽車共7輛，輪子有20個，它們各多少輛？3、蜘蛛和蛐蛐共10只，腿66條，它們各幾隻？（蜘蛛8條腿、蛐蛐6條腿）4、有5分和1分硬幣共18枚，共3角8分，它們各幾枚？5、雞兔同籠，共10個頭，26條腿，雞兔各幾隻？6、有10元幣和5元幣共6張，正好是50元，它們各幾張？7、把44粒棋子放在10只盒子裡，每隻大盒子放6個，每個小盒子放4個，恰好放完，問：大、小盒子各幾個8、8人去公園玩，買門票共花102元，已知成人票每張15元，兒童票每張9元，那麼這8人中有幾名大人？幾名兒童？9、雞兔同籠，共14個頭，38條腿，雞兔各幾隻？※10、老師帶9名同學去種63棵樹，老師先種下1棵，然後全部同學動手種，男同學每人種8棵，女同學每人種3棵，剛好種完，男女同學各幾人？二,"兩數之差"的問題(假設法、“補”或“減”的方法)（一）已知總腳數、頭數之差例1雞兔共籠，雞比兔多30只，共有腳168只，雞兔各幾隻？解法一、假設法假設全是雞，共有168÷2=84（只），這時兔為0只，雞比兔多84只。而題是雞比兔多30只，相差54只，所以要換。為保持總腳數不變，必須用兩隻雞換一隻兔，換一次，雞少兩隻兔多一隻，相差三隻，共換：54÷（2+1）=18次，即兔為18只，雞就是48只解法二、“減”因為雞比免多30只，如果把30只雞拿走，那總腳數就變成：168-60=108只，這時雞兔一樣多，都是：108÷（2+4）=18只，原來雞就有48只解法三、“補”因為兔比雞少30只，如果補上30只兔，這時雞兔數目一樣多，而總腳數就變成了：168+30*4=288只，288÷（2+4）=48只，48-30=18只，題庫：1、雞兔同籠，雞比兔多19只，共有腿230，雞兔各幾隻？2、杯子和熱水瓶共170元，單價分別為2元和15元，杯子比熱水瓶多34只，它們各多少隻3、買甲、乙兩種戲票，甲票每張4元，乙票每張3元，乙票比甲票多買了9張，共用去97元，兩種票各幾張？2、1、100個和尚140個饃，大和尚1人分3個，小和尚1人1個，問大小和尚各幾人？3、雞兔共有腳48只，若將雞兔互換，則共有腳42只，雞兔各幾隻？4、大油瓶裝4千克，小油瓶兩瓶裝1千克，現在100千克油裝了60個瓶，大小油瓶各幾個？5、師父和徒弟共100人做零件，師父每人做3個零件，徒弟平均每3人做1個零件，一共做了100個，他們各多少人？6、買一些4分與8分的郵票共花6元8角，已知8分的郵票比4分的多40張，那麼8分的郵票有多少張。（二）已知總頭數、腳數之差例9雞與兔共100只,雞的腳數比兔的腳數少28.問雞與兔各幾隻解一：假設全是兔100×4=400 假設中的兔腳，此時雞腳為0，少400只腳400-28=372 實際少28，相差372只腳2+4=6 雞換兔， 換一次，雞腳增加2條，兔腳減少4條相差6只372÷6=62 換了62次，說明有雞62只100-62=38只即為兔子數解二:假如再補上28只雞腳,也就是再有雞28÷2=14(只),雞與兔腳數就相等,兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍),於是雞的只數是兔的只數的2倍.兔的只數是(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).雞是100-38=62(只).答:雞62只,兔38只.當然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只數是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).解法三、也可以採用減去28只兔腳，自己不妨試下題庫：1、雞兔共45只，雞腳比兔腳多60只，雞兔各幾隻？2、雞兔共100只，雞腳比兔腳多80只，雞兔各幾隻？3、10、雞兔共200只，雞的腳比兔的腳少56只，則雞兔各幾隻？（三）已知頭數之差和腳數之差例1、雞免同籠，已知雞比兔多4只，但腳卻比兔腳少8只，雞兔各幾隻？解：如果拿走四隻雞，即拿走8只雞腳，這時雞兔一樣多，腳比兔腳少8+8=16只，一雞比一兔少2只腳，可知此時雞兔都為8只，原來雞就有12只
可不可以採用補上4只兔子？練習：古詩中,五言絕句是四句詩,每句都是五個字;七言絕句是四句詩,每句都是七個字.有一詩選集,其中五言絕句比七言絕句多13首,總字數卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首.（五言絕句48首,七言絕句35首）.三、變型題例1有一輛貨車運輸2000只玻璃瓶,運費按到達時完好的瓶子數目計算,每隻2角,如有破損,破損瓶子不給運費,還要每隻賠償1元.結果得到運費379.6元,問這次搬運中玻璃瓶破損了幾隻解:如果沒有破損,運費應是400元.但破損一隻要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).答:這次搬運中破損了17只玻璃瓶.請你想一想,這是"雞兔同籠"同一類型的問題嗎題庫1、某商店委託搬運站送500只花瓶，雙方商定每隻運費0。24元，但每損壞一隻不僅不給運費，還要賠償1。26元，結果搬運站共得運費115。5元，問損壞幾隻？2、某商店委託搬運站送20000只茶杯，雙方商定每100只運費8元，但每損壞一隻不僅不給運費，還要賠償1。20元，結果搬運站共得運費1566。7元，問損壞幾隻？3、某小學一次數學競賽，共12題，做對一題得10分，做錯（含不做）一題倒扣5分，結果小英得了90分，她做對幾題？4、某商店委託搬運站送400箱襯衫，雙方商定每箱運費30元，但每損壞一箱不僅不給運費，還要賠償100元，結果搬運站共得運費8880元，問損壞幾箱？7、某車間生產一批服裝共250件，生產一件可得25元，如果有一件不符合要求，則倒扣20元，生產後得到費用5350元，幾件不合格？8、水果糖是巧克力的3倍，如果小紅每天吃2塊水果糖、1塊巧克力，若干天后，水果糖還剩7塊，巧克力正好吃完，原來水果糖有幾塊？9、紅氣球是黃氣球的4倍，每天賣出2只紅氣球和1只黃氣球，若干天后，紅氣球剩下12只，黃氣球正好賣完，紅氣球原來有多少隻？10、白粉筆是彩色粉筆的7倍，每天用去2盒白粉筆和1盒彩色粉筆，當彩色粉筆全部用完時還剩白粉筆10盒，原來白粉筆有幾盒？11、買4張桌子9把椅子共用252元，1張桌子和3把椅子的價錢一樣，桌、椅單價各多少元？12、2個乒乓球和4個皮球共52元，6個乒乓球的價錢相當於一個皮球，它們的單價各是多少？13、一批貨物，用小車裝要用15輛，用大車要用12輛，每輛大車比小車多裝10噸，這批貨物有多少噸？14、小明種樹，晴天每天種20棵，雨天每天種12棵，他一連種了112棵，平均每天種14棵，這幾天當中有幾個雨天？15、某校有100名學生參加數學競賽，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分，男同學比女同學多多少人。16、有黑白棋子一堆，其中黑子的個數是白子個數的2倍，如果從這堆棋子中每次同時取出黑子4個，白子3個，那麼取出幾次後，白子餘1個，而黑子餘18個。17、學校買回4個籃球和5個排球一共用185元，一個籃球比一個排球貴8元，籃球的單價是多少元。四、較複雜題型（一） 從"二"到"三""雞"和"兔"是兩種東西,實際上還有三種或者更多種東西的類似問題.只要我們把“換”的思維做細，或把"三種"轉化成"二種"來考慮，這類問題也就迎刃而解了，下面通過一些例題,分別告訴大家如何細化“換”和如何進行“轉化”例1某場足球賽比賽前售出甲、乙、丙三類門票共400張，甲類票50元/張，乙類票40元/張，丙類票30元/張，共收入15500元，其中乙、丙類門票張數相同，則三種票各多少張？假設全是甲類票 共收入400*50=20000元，比實際多收入了20000-15500=4500元，有什麼辦法減少這部分多出來的收入呢？“換”，用乙、丙類門票換甲類門票，為了保證400張總數目不變，而乙丙兩類門票的張數又要一樣多，所以，只能是用乙、丙類門票各一張換兩張甲類門票，換一次就會減少收入50*2-40-30=30元，共需要換4500÷30=150次，所以乙、丙類門票各150張，甲類門票400-150*2=100張例2蜘蛛有8條腿,蜻蜓有6條腿和2對翅膀,蟬有6條腿和1對翅膀.現在這三種小蟲共18只,有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾隻解:因為蜻蜓和蟬都有6條腿,所以從腿的數目來考慮,可以把小蟲分成"8條腿"與"6條腿"兩種.利用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數=(118-6×18)÷(8-6)=5(只).因此就知道6條腿的小蟲共18-5=13(只).也就是蜻蜓和蟬共有13只,它們共有20對翅膀.再利用一次公式蟬數=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).因此蜻蜓數是13-6=7(只).答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蟬.例3某次數學考試考五道題,全班52人參加,共做對181道題,已知每人至少做對1道題,做對1道的有7人,5道全對的有6人,做對2道和3道的人數一樣多,那麼做對4道的人數有多少人解:對2道,3道,4道題的人共有52-7-6=39(人).他們共做對181-1×7-5×6=144(道).由於對2道和3道題的人數一樣多,我們就可以把他們看作是對2.5道題的人((2+3)÷2=2.5).這樣兔腳數=4,雞腳數=2.5,總腳數=144,總頭數=39.對4道題的有(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31(人).答:做對4道題的有31人.例4學校組織新年遊藝晚會,用於獎品的鉛筆,圓珠筆和鋼筆共232支,共花了300元.其中鉛筆數量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元,圓珠筆每支2.7元,鋼筆每支6.3元.問三種筆各有多少支解:從條件"鉛筆數量是圓珠筆的4倍",這兩種筆可併成一種筆,四支鉛筆和一支圓珠筆成一組,這一組的筆,每支價格算作(0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).現在轉化成價格為1.02和6.3兩種筆.用"雞兔同籠"公式可算出,鋼筆支數是(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支).鉛筆和圓珠筆共232-12=220(支).其中圓珠筆220÷(4+1)=44(支).鉛筆220-44=176(支).答:其中鋼筆12支,圓珠筆44支,鉛筆176支.例5商店出售大,中,小氣球,大球每個3元,中球每個1.5元,小球每個1元.張老師用120元共買了55個球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個解:因為總錢數是整數,大,小球的價錢也都是整數,所以買中球的錢數是整數,而且還是3的整數倍.我們設想買中球,小球錢中各出3元.就可買2箇中球,3個小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個價錢是(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).從公式可算出,大球個數是(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個).買中,小球錢數各是(120-30×3)÷2=15(元).可買10箇中球,15個小球.答:買大球30個,中球10個,小球15個.例4是從兩種東西的個數之間倍數關係,例5是從兩種東西的總錢數之間相等關係(倍數關係也可用類似方法),把兩種東西合井成一種考慮,實質上都是求兩種東西的平均價,就把"三"轉化成"二"了.例6某人去時上坡速度為每小時走3千米,回來時下坡速度為每小時走6千米,求他的平均速度是多少解:去和回來走的距離一樣多.這是我們考慮問題的前提.平均速度=所行距離÷所用時間去時走1千米,要用20分鐘;回來時走1千米,要用10分鐘.來回共走2千米,用了30分鐘,即半小時,平均速度是每小時走4千米.千萬注意,平均速度不是兩個速度的平均值:每小時走(6+3)÷2=4.5千米.例7從甲地至乙地全長45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強上坡速度是每小時3千米,平路上速度是每小時5千米,下坡速度是每小時6千米.從甲地到乙地,李強行走了10小時;從乙地到甲地,李強行走了11小時.問從甲地到乙地,各種路段分別是多少千米解:把來回路程45×2=90(千米)算作全程.去時上坡,回來是下坡;去時下坡回來時上坡.把上坡和下坡合併成"一種"路程,根據例15,平均速度是每小時4千米.現在形成一個非常簡單的"雞兔同籠"問題.頭數10+11=21,總腳數90,雞,兔腳數分別是4和5.因此平路所用時間是(90-4×21)÷(5-4)=6(小時).單程平路行走時間是6÷2=3(小時).從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時)行走路程是45-5×3=30(千米).又是一個"雞兔同籠"問題.從甲地至乙地,上坡行走的時間是(6×7-30)÷(6-3)=4(小時).行走路程是3×4=12(千米).下坡行走的時間是7-4=3(小時).行走路程是6×3=18(千米).答:從甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.做兩次"雞兔同籠"的解法,也可以叫"兩重雞兔同籠問題".例7是非常典型的例題.例8某種考試已舉行了24次,共出了426題.每次出的題數,有25題,或者16題,或者20題.那麼,其中考25題的有多少次解:如果每次都考16題,16×24=384,比426少42道題.每次考25道題,就要多25-16=9(道).每次考20道題,就要多20-16=4(道).就有9×考25題的次數+4×考20題的次數=42.請注意,4和42都是偶數,9×考25題次數也必須是偶數,因此,考25題的次數是偶數,由9×6=54比42大,考25題的次數,只能是0,2,4這三個數.由於42不能被4整除,0和4都不合適.只能是考25題有2次(考20題有6次).答:其中考25題有2次.例9有50位同學前往參觀,乘電車前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下鐵路前往每人6元.這些同學共用了車費110元,問其中乘小巴的同學有多少位解:由於總錢數110元是整數,小巴和地鐵票也都是整數,因此乘電車前往的人數一定是5的整數倍.如果有30人乘電車,110-1.2×30=74(元).還餘下50-30=20(人)都乘小巴錢也不夠.說明假設的乘電車人數少了.如果有40人乘電車110-1.2×40=62(元).還餘下50-40=10(人)都乘地下鐵路前往,錢還有多(62>6×10).說明假設的乘電車人數又多了.30至40之間,只有35是5的整數倍.現在又可以轉化成"雞兔同籠"了:總頭數50-35=15,總腳數110-1.2×35=68.因此,乘小巴前往的人數是(6×15-68)÷(6-4)=11.答:乘小巴前往的同學有11位.在"三"轉化為"二"時,例4,例5,例6是一種類型.利用題目中數量比例關係,把兩種東西合併組成一種.例8,例9是另一種類型.充分利用所求個數是整數,以及總量的限制,其中某一個數只能是幾個數值.對幾個數值逐一考慮是否符合題目的條件.確定了一個個數,也就變成"二"的問題了.在小學算術的範圍內,學習這兩種類型已足夠了.更復雜的問題,只能藉助中學的三元一次方程組等代數方法去求解.題庫1、某場文藝演出售出10元、20元、30元門票共100張，收入1900元，其中20、30元門票的張數相等，每種票各多少張？2、有紅、黃、黑三種筆，價錢各是8角、6角、3角、，一共42枝，共24元6角，已知黃是黑的2倍，三種筆各多少枝？3、有8個謎語讓60人猜，猜對共338人次，每人至少猜對3個，猜對3個的有6人，猜對4個的有10人，猜對5個和7個的人數相同，猜對8個有多少人？4."京劇公演"共出售750張票得22200元.甲票每張60元,乙票每張30元,丙票每張18元.其中丙票張數是乙票張數的2倍.問其中甲票有多少張5.小明參加數學競賽,共做20題得67分.已知做一題得5分,不答得2分,做錯一題倒扣3分.又知道他做錯的題和沒答的題一樣多.問小明共做對幾題7、某人領得工資240元，有2元、5元、10元三種人民幣共50張，其中2元和5元的張數一樣多，那麼10元的有( )張5.甲地與乙地相距24千米.某人從甲地到乙地往返行走.上坡速度每小時4千米,走平路速度每小時5千米,下坡速度每小時6千米.去時行走了4小時50分,回來時用了5小時.問從甲地到乙地,上坡,平路,下坡各多少千米6.某學校有12間宿舍,住著80個學生.宿舍的大小有三種:大的住8個學生,不大不小的住7個學生,小的住5人.其中不大不小的宿舍最多,問這樣的宿舍有幾間測驗題1.松鼠媽媽採松籽,晴天每天可以採20個,雨天每天只能採12個.它一連幾天採了112個松籽,平均每天採14個. 問這幾天當中有幾天有雨2.有一水池,只打開甲水龍頭要24分鐘注滿水池,只打開乙水龍頭要36分鐘才注滿水池.現在先打開甲水龍頭幾分鐘,然後關掉甲,打開乙水龍頭把水池注滿.已知乙水龍頭比甲水龍頭多開26分鐘.問注滿水池總共用了多少分鐘3.某工程甲隊獨做50天可以完成,乙隊獨做75天可以完成.現在兩隊合做,但是中途乙隊因另有任務調離了若干天.從開工後40天才把這項工程做完.問乙隊中途離開了多少天4.小華從家到學校,步行一段路後就跑步.他步行速度是每分鐘600,跑步速度是每分鐘140米.雖然步行時間比跑步時間多4分鐘,但步行的距離卻比跑步的距離少400米.問從家到學校多遠5.有16位教授,有人帶1個研究生,有人帶2個研究生,也有人帶3個研究生.他們共帶了27位研究生.其中帶1個研究生的教授人數與帶2,3個研究生的教授人數一樣多.問帶2個研究生的教授有幾人6.某商場為招攬顧客舉辦購物抽獎.獎金有三種:一等獎1000元,二等獎250元,三等獎50元.共有100人中獎,獎金總額為9500元.問二等獎有多少名7.有一堆硬幣,面值為1分,2分,5分三種,其中1分硬幣個數是2分硬幣個數的11倍.已知這堆硬幣面值總和是1元,問5分的硬幣有多少個下面再舉四個稍有難度的例子.例1一份稿件,甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成,現在甲單獨打若干小時後,因有事由乙接著打完,共用了7小時.甲打字用了多少小時解:我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數),甲每小時打30÷6=5(份),乙每小時打30÷10=3(份).現在把甲打字的時間看成"兔"頭數,乙打字的時間看成"雞"頭數,總頭數是7."兔"的腳數是5,"雞"的腳數是3,總腳數是30,就把問題轉化成"雞兔同籠"問題了.根據前面的公式"兔"數=(30-3×7)÷(5-3)=4.5,"雞"數=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小時,乙打字用了2.5小時.答:甲打字用了4小時30分.例2今年是1998年,父母年齡(整數)和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年後(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那麼當父的年齡是兄的年齡的3倍時,是公元哪一年解:4年後,兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數,弟的年齡看作"兔"頭數.25是"總頭數".86是"總腳數".根據公式,兄的年齡是(25×4-86)÷(4-3)=14(歲).1998年,兄年齡是14-4=10(歲).父年齡是(25-14)×4-4=40(歲).因此,當父的年齡是兄的年齡的3倍時,兄的年齡是(40-10)÷(3-1)=15(歲).這是2003年.答:公元2003年時,父年齡是兄年齡的3倍.例3有兩次自然測驗,第一次24道題,答對1題得5分,答錯(包含不答)1題倒扣1分;第二次15道題,答對1題8分,答錯或不答1題倒扣2分,小明兩次測驗共答對30道題,但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分,問小明兩次測驗各得多少分解一:如果小明第一次測驗24題全對,得5×24=120(分).那麼第二次只做對30-24=6(題)得分是8×6-2×(15-6)=30(分).兩次相差120-30=90(分).比題目中條件相差10分,多了80分.說明假設的第一次答對題數多了,要減少.第一次答對減少一題,少得5+1=6(分),而第二次答對增加一題不但不倒扣2分,還可得8分,因此增加8+2=10分.兩者兩差數就可減少6+10=16(分).(90-10)÷(6+10)=5(題).因此,第一次答對題數要比假設(全對)減少5題,也就是第一次答對19題,第二次答對30-19=11(題).第一次得分5×19-1×(24-9)=90.第二次得分8×11-2×(15-11)=80.答:第一次得90分,第二次得80分.解二:答對30題,也就是兩次共答錯24+15-30=9(題).第一次答錯一題,要從滿分中扣去5+1=6(分),第二次答錯一題,要從滿分中扣去8+2=10(分).答錯題互換一下,兩次得分要相差6+10=16(分).如果答錯9題都是第一次,要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分.比題目中條件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此,第二次答錯題數是(6×9+10)÷(6+10)=4(題)·第一次答錯9-4=5(題).第一次得分5×(24-5)-1×5=90(分).第二次得分8×(15-4)-2×4=80(分).
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