通信中的調製，我們可以看作為在頻域範圍內的頻譜搬移技術。

對於一個原始信號m(t)，我們加上一個直流分量A0，再乘以載波信號，就得到了調幅AM信號。

AM信號，之前的文章介紹過。

對於AM信號，其時域與頻域的變化過程如圖1所示。原始信號m(t)加上一個直流分量A0，然後再與載波相乘，得到已調信號Sam(t)；與之對應的，原始信號m(t)的頻譜為M(ω),經過載波調製後，已調信號Sam(t)的頻譜出現了搬移。

DSB信號

AM信號中，加一個直流分量A0。由"典型信號傅里葉變換"可知，直流分量的傅里葉變換為衝激函數，所以圖1中，可以在頻域中看到衝激(紅色箭頭)

為什麼要加上一個直流分量？

這個直流分量的累加(需要滿足一定的條件)，是保證已調製信號的包絡與原始信號m(t)保持一致。然後通過簡易的包絡檢波器進行檢波。

現在我們把直流分量去掉，如圖3所示

此時已調信號Sdsb(t)的包絡已經不再與m(t)保持一致了，所以此時不能用包絡解調器，而需要用相干解調器。

時域表達式可以寫作

頻域表達式為

截止目前，我們所說的基帶信號頻譜均是關於縱座標軸(零點)對稱的，因此會出現負頻率。負頻率只有數學上的意義，並不實際佔用帶寬。但是基帶信號調製到高頻之後，形成了關於Wc的對稱頻譜，原來的負頻率是佔用了實實在在的頻率資源的。

我們把這種信號叫作雙邊帶信號

DSB(Double Side Band)，Wc左邊的邊帶叫下邊帶，Wc右邊的邊帶叫上邊帶。我們在接收端，通過一些濾波操作，獲取這些頻譜信息，然後恢復出原始信號。

很明顯，我們希望佔用少量的帶寬，就可以恢復出原來的信號。

因為頻譜資源非常稀缺，在同一個頻率段，如果張三用了，李四就不能用了，會造成相互間干擾！

雙邊帶信號佔用了兩倍的頻率資源，造成了浪費。

|那怎麼辦呢？最直接的辦法就是把基帶信號的頻譜砍掉一半|

SSB信號

用階躍函數可以實現這個目的，圖像為

用兩倍的階躍函數與基帶信號的頻譜相乘，得到基帶信號的單邊帶信號(SSB,Single Side Band)的頻譜，

2倍因子是為了使信號的形式更簡單（還有一層原因，是引入負頻率後，原先正頻率的幅度值降低一半，這裡把負頻率削去，自然要補上這一半）。調製到射頻後，得到射頻的單邊帶頻譜，如圖6所示。

上下邊帶的頻譜是對稱的，我們只要知道一個邊帶，其他的信息自然就知道了。

Hilbert變換

圖6已經清楚的描述了M(w)被"削"去一半邊帶的過程。那麼其時域的情況呢？

根據傅里葉變換的性質，頻域相乘對應時域卷積，我們得到

根據之前班長與大家所述的內容，階躍函數的傅里葉變換為

那麼根據傅里葉變換的對稱與尺度特性

最終可以得出頻域階躍函數的時域表達式。

那麼，

我們做一個定義

可以認為信號s(t)經過一個系統後的響應，系統的衝激響應為h(t)=1/πt。

在零點處，可以認為h(t)=0，如圖8所示。這個系統有一個專門的名字叫作希爾伯特變換。

沒錯，我們在推導SSB信號的時域表達式時，不小心"發現"了希爾波特變換。

頻域表達式可以寫成

頻域乘積，時域卷積，可以得出

根據兩種不同的表達形式，我麼可以得出希爾伯特變換的頻域特性：

也可以直接通過沖激響應h(t)=1/πt，取傅里葉變換得出。這個積分需要一定技巧。

我們知道引入虛數j，可以更加方便的表達旋轉。

所以從頻域響應可以看出，希爾伯特變換不會改變幅度值，對於正頻率w>0，相移-90度；對於負頻率w<0，相移+90度；

圖8描述了對信號進行4次希爾伯特變換，頻域的變化過程。每一次在時域進行希爾伯特變換，那麼在頻域就出現一次90度相位翻轉。二次希爾伯特變換後，得到了原頻域信號的相；四次希爾伯特變換後，恢復原頻域信號。

|希爾伯特的逆變換|

很明顯，如果我知道一個信號的希爾伯特變換，那麼我們再對他進行一次希爾伯特變換，然後再求傅里葉反變換，就可以得到原始的時域信號了。

總結

到這裡，我們知道對於一個雙邊帶信號m(t)，只需要加上自身的希爾伯特變換，就可以得到單邊帶信號SSB了，

此時，節省了一半帶寬。

更為一般的，實數信號x(t)，Hilbert變換信號為x~(t),那麼把兩者相加，

得到的信號我們叫做解析信號。

有SSB推導過程看出，解析信號的頻譜只有正頻段且幅度值為原來的兩倍，實現了信號由雙邊譜轉換成單邊譜。

將實數信號變換成解析信號的結果就是，把一個一維的信號變成了二維複平面上的信號，複數的模和幅角代表了信號的幅度和相位，如圖9所示。

歐拉公式表明，復指數信號e^jx可以表示成一個實數信號和一個虛數信號的和的形式，看著和解析信號是多麼的相似啊！

歐拉公式實際上是一種特殊的，或者說，最簡單的Hilbert變換。