03.09 见过的“欧拉恒等式”最完美的几何解释

欧拉公式被称为世界上最完美的公式，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中。让人惊叹不已

现在我们就来看这个公式背后隐藏的含义：

首先欧拉公式的乘积运算：

结果正好是两个角度之和

我们在来看两个复数的乘法

我们用0， 1 ，1.5+i 三个顶点连接一个三角形

再用0， 1 -0.5+4i 三个顶点连接一个三角形

将第一个三角形换个方向叠加到第二上面

然后拉伸红色的底边和蓝色的对齐，就得到他们乘积的三角形，你知道为什么？

这正是运用欧拉公式乘积就是角度叠加的原理，原点处两个夹角之和就是乘积后的角度，是不是很神奇

例如：复数平方

例如圆内一个等腰三角形，深蓝处是复数，复数的8次方是所少？

因为等腰所以不要拉伸，直接叠加就得到复数的8次方

如果不是等腰三角形，复数的8次方就得到如下图形

所以与圆相切的地方的边越小，越逼近圆弧

如图m=3和m=6时，复数乘积在单位圆上的几何图形

m=15时，复数几何图形

m=100时，复数几何图形，我们看到m越大越接近-1

为什么m越大只能接近-1呢，因为π被分成了m份，m趋于无穷大时，只能接近-1

大家熟悉的公式

所以这才是欧拉公式最完美的解释，在图形上一目了然。