函数的奇偶性与周期性

最新考纲　

1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；

2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；

3. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

知 识 梳 理

1．函数的奇偶性

<table><tbody>

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

/<tbody>/<table>

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

[常用结论与微点提醒]

1．函数奇偶性的三个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性的三个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

(2)若f(x＋a)＝f（x）(1)，则T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝－f（x）(1)，则T＝2a.(a＞0)

3．函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．

考点突破

考点一　函数奇偶性的判断

规律方法　

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．

考点二　函数奇偶性的应用

规律方法

(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．

(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值．

考点三　函数的周期性及其应用(变式迁移)

规律方法

(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．

(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期．

考点四　函数性质的综合运用

规律方法　

(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性．

(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

幂函数与二次函数

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

2.二次函数的图象和性质

[常用结论与微点提醒]

1．一元二次不等式恒成立的条件

2．二次函数表达式的三种形式

考点突破

考点一　幂函数的图象和性质

规律方法　

(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；

(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降；

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

考点二　二次函数的解析式

规律方法　

用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：

考点三　二次函数的图象与性质

规律方法　

解决二次函数图象与性质问题时要注意：

(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．

考点四　二次函数的应用(多维探究)

命题角度1　二次函数的恒成立问题

规律方法

(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．

(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.

命题角度2　二次函数的零点问题

规律方法

(1)解本题的关键是抓住两函数的图象关于直线x＝1对称，利用中点坐标公式求解，考查分类讨论、数形结合思想．

(2)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化．