幾何可以說是初中數學的半壁江山，囊括了無數的重點知識、難點知識、無數的中考考點……
學好幾何，初中數學自然不會低！！
在幾何問題中，添加輔助線可以說是解題的關鍵！
輔助線畫得好，解題輕鬆又快速！
輔助線畫不對，可能就是解題繞彎又出錯！
如何快速、添加利於解題的輔助線？訣竅都在下面了！
幾何常見輔助線口訣：
三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
也可將圖對摺看，對稱以後關係現。
角平分線平行線，等腰三角形來添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
線段和差及倍半，延長縮短可試驗。
線段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，倍長中線得全等。
四邊形
平行四邊形出現，對稱中心等分點。
梯形問題巧轉換，變為三角或平四。
平移腰，移對角，兩腰延長作出高。
如果出現腰中點，細心連上中位線。
上述方法不奏效，過腰中點全等造。
證相似，比線段，添線平行成習慣。
等積式子比例換，尋找線段很關鍵。
直接證明有困難，等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線，比例中項一大片。
圓形
半徑與弦長計算，弦心距來中間站。
圓上若有一切線，切點圓心半徑聯。
切線長度的計算，勾股定理最方便。
要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。
弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和絃端點連。
弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。
要想作個外接圓，各邊作出中垂線。
還要作個內接圓，內角平分線夢圓。
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。
內外相切的兩圓，經過切點公切線。
若是添上連心線，切點肯定在上面。
要作等角添個圓，證明題目少困難。
由角平分線想到的輔助線
一、截取構全等
如圖，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。
分析：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達到證明的目的。這裡面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交於一點來證明。自己試一試。
二、角分線上點向兩邊作垂線構全等
如圖，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180
分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。
三、三線合一構造等腰三角形
如圖，AB=AC，∠BAC=90 ，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。
分析：延長此垂線與另外一邊相交，得到等腰三角形，隨後全等。
四、角平分線+平行線
如圖，AB>AC, ∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。
分析：AB上取E使AC=AE，通過全等和組成三角形邊邊邊的關係可證。
由線段和差想到的輔助線
截長補短法
AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。
分析：過C點作AD垂線，得到全等即可。
由中點想到的輔助線
一、中線把三角形面積等分
如圖，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。
分析：利用中線分等底和同高得面積關係。
二、中點聯中點得中位線
如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。
分析：聯BD取中點聯接聯接，通過中位線得平行傳遞角度。
三、倍長中線
如圖，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。
分析：倍長中線得到全等易得。
四、RTΔ斜邊中線
如圖，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。
分析：取AB中點得RTΔ斜邊中線得到等量關係。
由全等三角形想到的輔助線
一、倍長過中點得線段
已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值範圍是。
分析：利用倍長中線做。
二、截長補短
如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分 ，求證：∠A+∠C=180
分析：在角上截取相同的線段得到全等。
三、平移變換
如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE
分析：將△ACE平移使EC與BD重合。
四、旋轉
正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數
分析：將△ADF旋轉使AD與AB重合。全等得證。
由梯形想到的輔助線
一、平移一腰
所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的長。
分析：利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四邊形。
二、平移兩腰
如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。
分析：利用平移兩腰把梯形底角放在一個三角形內。
三、平移對角線
已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積。
分析：通過平移梯形一對角線構造直角三角形求解。
四、作雙高
在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。
分析：作梯形雙高利用勾股定理和三角形邊邊邊的關係可得。
五、作中位線
（1）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：EF//AD
分析：聯DF並延長，利用全等即得中位線。
（2）在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，E是DC上的中點，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
分析：在梯形中出現一腰上的中點時，過這點構造出兩個全等的三角形達到解題的目的。
圓中常見輔助線的添加（歸納分析）
常說“輔助線是幾何的生命線”，可見添加輔助線的重要，而圓這一章涉及面廣，綜合性強，大多數解題往往是圍繞“如何添加輔助線”展開的，下面從具體實例談談圓中如何添加輔助線。
一、解有關弦的問題時，常常需要作“垂直於弦的直徑”和用垂徑定理相關知識解題。
例1：已知：如圖一，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為F。
求證：⑴EC＝DF
⑵當EF向下平移時，若與AB相交，其它條件不變，那麼CE是否與DF相等？［相等，證法與（1）同］
證明（1）
（變式練習）例2：已知：如圖二，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CE、DF⊥AB於E、F。
求證：AE＝BF
略證：作OK1⊥CD於K1，證法與上相仿。
二、涉及弦長半徑、弓形高、弦心距、弧長、圓心角等相關量計算時，常構造直角三角形，利用解直角三角形的相關知識解題。
在處理圓與圓的公切線長a，兩圓半徑（R、r），圓心距d等相關量的計算問題時，亦屬構造直角三角形解題。
即此弦中點到這弦所對劣弧的中點距離為1cm。
例4：“圓材埋壁”是我國古代茂名的數學著作《九章算術》中的一個問題，“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現在的數學語言表達為“如圖四，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長？
略解：連OA，在Rt△AEO中，設OA＝r，則OE＝r-1，AE=5（寸）
由勾股定理知：
即直徑CD的長為26寸。
例5：如圖五：⊙O1、⊙O2外切於點A，外公切線BC、DE分別與⊙O1、⊙O2切於點B、C和D、E，並相交於點P。已知∠BPD＝60°。
⑴求⊙O1與⊙O2半徑的比。
三、圓中出現直徑時，常添加輔助線，構成直徑上的圓周角，以便利用直徑上的圓周角是直角的性質。
例6：如圖六，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑，求證：AB·AC＝AE·AD
四、在解有關圓的切線問題時，常作出過切點的半徑，以便利用切線的性質定理。
例7：如圖七，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB。
分析：（1）連結OC
五、在處理內心的問題時，常需連結頂點與內心，以便利用內切圓的圓心是三角形內角平分線交點這一性質。
例8：如圖八，點I是△ABC的內心，AI交邊BC於點D，交△ABC外接圓於點E，求證：IE是AE和DE的比例中項
略證：連結BI、BE
六、兩圓相切時，可作過切點的公切線，它對兩圓起著一個“橋樑”的作用，對於每一個圓，公切線都會產生切線的性質，另外，公切線和過切點的兩圓的弦會產生弦切角定理運用的前提。
例9：已知如圖九、十：⊙O1、⊙O2相切於點T，直線AB、CD經過點T交⊙O1於點A、C，交⊙O2於點B、D。求證：AC∥BD。
七、兩圓相交、相切時常連結公共弦、連心線等。利用連心線垂直平分公共弦這一性質。
例10、如圖十一、十二，半徑為5cm和4cm的兩圓相交於A、B兩點，AB＝6cm，則兩圓的連心線⊙O1、⊙O2的長是多少？
八、添加輔助圓證題。
例11：如圖十三，在△ABC中，OA＝OB＝OC。求證：△ABC是Rt△。
如圖十四，在△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＝∠C
總結：在解決與圓的性質有關的問題時，通常可以考慮添加什麼樣的輔助線？
（1）遇到有弦時，常常添加弦心距，以便利用垂徑定理或圓心角及其所對的弧、弦和絃心距之間的關係的定理等；
（2）遇到有直徑時，常常添加（畫直徑所對的圓周角，將直徑條件轉化為直角條件，遇到有切線時，常常添加經過切點的半徑，以便利用切線的性質定理；
（3）遇到兩圓，常常添加經過點的半徑，以便利用切線的性質定理；
（4）遇到兩圓，常常添加它們的連心線，以便密切兩圓之間的聯繫；
（5）遇到兩圓相交，常常添加它們的公共弦；
（6）遇到兩圓相切，常常添加它們的公切線，以便利用切線的性質或弦切角定理；
（7）遇到四邊形對角互補，或兩個三角形同底同側並有相等頂角時，常常添加輔助圓，以便利用圓的性質。
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