03.30 漫谈：“一元高次方程的单个根”与系数之间的内在关系

本文不是在阐述根与系数之间的韦达定理，韦达定理阐述的是一个方程所有根与系数之间的关系。那你知道一元N次方程（或高次方程）的单个根与系数之间的关系么？

本文从另一种角度分析任意一个一元n次方程单个根与系数之间的关系。学习后你看到任意一个方程如果存在实数根，就会知道这个根的结构是什么样子。

例如一个一元6次方程

存在有理数根，则根可以写成两个最简分数之比

带入得到

化简得到：

你会发现分U与3V^6存在着整数倍关系

进步分析，因为U/V是最简分数（没有公约数），U/V^6肯定也是没有公约数的，但U与3V^6却存在着整数倍关系，所以U和3肯定存在着整数倍关系。

我们再次对上式经过变形

得到V与2U^6存在着整数倍关系

同理得到：V和2存在着整数倍关系

所以得到如果一个一元高次方程存在有理数解，则可以写成两个最简分数之比，分母与方程的最高次项系数存在整数倍关系，分子与方程的常数项存在整数倍关系。

如果一个方程存在无理数根，是什么情况呢：

假设：

整理

得到

发现一个整数系数的方程的根却是无理数，常数项为1，这点可以猜到一个高次方程如果

常数项为1，它的根存在无理数的可能。

但分圆方程除外：例如7次方程

根的分布

所以一个高次方程如果常数项为+1，-1，且存在实数根的话，那他的根如果不是0,1的话，就是一个无理数。因为没有N倍的整数等于1，否则就是有理数

上述只是基于例子得出的有趣结论，更严格的结论需要严密的数学推导和数学计算得出。