显然，我们在曲线的一点上定义了切线，那么在平滑曲线的其它点上也能定义切线。因为每条切线都有一个斜率，所以，曲线上的任何一点都有一个斜率值跟它对应。两个量之间存在一种对应关系，这是什么？这就是函数啊。
函数y=f(x)不就是告诉我们：给定一个x，就有一个y跟它对应么？现在我们是给定一个点（假设横坐标为x），就有一个斜率dy/dx跟它对应。显然，这也是个函数，这个函数就叫导函数，简称导数。
在中学的时候，我们通常在函数f(x)的右上角加上一撇表示这个函数的导数，那么现在这两种情况就都表示导数：
所以，导数f’(x)就可以表示横坐标为x的地方对应切线的斜率，它表示曲线在这一点上的倾斜程度。如果导数f’(x)的值比较大，曲线就比较陡，f’(x)比较小，曲线就比较平缓。于是，我们就可以用导数来描述曲线的倾斜程度了。
下面我们来看一个简单的例子，看看如何实际求一个函数的导数。
例1：求函数f(x)=x²的导数。
这还是我们前面说的抛物线，它的函数图像是这样的：
求函数的导数，就是求函数在每一点切线的斜率，而切线就是曲线上两个相距无穷小的点确定的直线。
那就好说了，我们假设曲线上有一个横坐标为x的点，那么，跟它距离无穷小的点的横坐标就是x+dx，由于这个点也在曲线f(x)=x²上，所以它的纵坐标就是(x+dx)²，即：
然后，我们用这两个点的纵坐标之差f(x+dx)-f(x)除以横坐标之差(x+dx)-x就能算出x点的切线斜率。因为这个x是任意取的，所以得到的结果就是任意点的切线斜率，那么这就是导数了：
到这一步都很简单，接下来就有问题了：这上面和下面的dx到底能不能约掉？
我们知道，除数是不能为0的，如果你想分子分母同时除以一个数，就必须保证这个数不是0。现在我们是想除以dx，这个dx就是我们前面定义的无穷小量，它无限接近于0却又不等于0。
所以，似乎我们姑且把它当作一个非零的量直接给约掉，那么导数上下同时除以dx就成了这样：
这个式子看起来简洁了一些，但是后面还是拖了一个小尾巴dx。
2x是一个有限的数，一个有限的数加上一个无穷小量，结果是多少？似乎还是应该等于这个具体的数。比如，100加上一个无穷小，结果应该还是100，因为如果等于100.00…0001那就不对了，无穷小肯定比你所有能给出的数还小啊，那么也肯定必须比0.00…001还小。
所以，我们似乎又有充足的理由把2x后面的这个dx也给去掉，就像丢掉一个等于0的数一样，这样最终的导数就可以简单地写成这样：
大家看这个导数，当x越来越大（x>0）的时候，f(x)’的值也是越来越大的。而导数是用来表示函数的倾斜程度的，也就是说，当x越来越大的时候，曲线就越来越陡，这跟图像完全一致。
所以，我们通过约掉一个（非零的）dx，再丢掉一个（等于零的）dx得到的导数f(x)’=2x竟然是正确的。
但是这逻辑上就很奇怪了：一个无限趋近于0的无穷小量dx到底是不是0？如果是0，那么为什么可以让分子分母同时除以它来约分；如果不是0，那又为什么可以把它随意舍弃？
总不能同时等于零又不等于零吧？你又不是薛定谔家的无穷小量。
数学不是变戏法，怎么能这么随意呢？于是，这个无穷小量就又招来了一堆批判。为什么说“又”呢？因为我在前面讲积分的时候就说了一次，在这里就体现得更明显了，眼见第二次数学危机大兵压境~。
閱讀更多 邏輯智能 的文章
